1、2.9函数与方程考情考向分析利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0
2、)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)0，得f(x)在R上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点3P97习题T8已知函数f(x)x2x
3、a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是答案(2,0)解析结合二次函数f(x)x2xa的图象(图略)知故所以2a0.题组三易错自纠4若函数f(x)exx2的零点所在的区间是(k，k1)，则k.答案0解析易知函数f(x)在R上单调递增，f(0)10，即f(0)f(1)0，由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内，即k0.5函数f(x)是1,1上的增函数，且ff0，则方程f(x)0在1,1内有个实数根答案1解析f(x)在1,1上是增函数，且ff0)，g(x)xex，h(x)xlnx(x0)的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(用“”连接)答案x2x30)，yex，
4、ylnx(x0)的图象，如图所示，可知x2x3x1.题型一函数零点所在区间的判定例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)x3x1，x1,2；(3)f(x)log2(x2)x，x1,3解(1)方法一因为f(1)200，所以f(1)f(8)0，故f(x)x23x18在1,8上存在零点方法二令x23x180，解得x3或6，所以函数f(x)x23x18在1,8上存在零点(2)因为f(1)10，f(1)f(2)log2210，f(3)log2(32)3log253log2830，所以f(1)f(3)0且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，
5、n1)，nN*，则n.答案2解析对于函数ylogax，当x2时，可得y1，在同一坐标系中画出函数ylogax，yxb的图象，判断两个函数图象的交点横坐标在(2,3)内，函数f(x)的零点x0(n，n1)时，n2.题型二函数零点个数的判断例2(1)函数f(x)的零点个数是答案2解析当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上，f(x)有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)函数f(x)|x2|lnx在定义域内的零点的个数为答案2解析由题意可知f(x)
6、的定义域为(0，)，在同一直角坐标系中画出函数y|x2|(x0)，ylnx(x0)的图象，如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(3)函数f(x)cosx在0，)内零点个数为答案1解析当x时，因为f(x)sinx，0，sinx0，所以f(x)0，故f(x)在0,1上单调递增，且f(0)10，所以f(x)在0,1内有唯一零点当x1时，f(x)cosx0，故函数f(x)在0，)上有且仅有一个零点思维升华函数零点个数的判断方法(1)直接求零点(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数(3)利用函数图象的交点个数判断跟踪训练2(1)已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1
7、的零点个数为答案3解析g(x)f(1x)1易知当x1时，函数g(x)有1个零点；当x1，函数f(x)的零点个数即为函数y1sin2x(x1)与y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3(1)若函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是答案解析由题意知方程axx21在上有解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是答案(0,1)解析画出函数f(x)的图象
8、，如图所示由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得0m1，即m(0,1)命题点2根据函数零点的范围求参数例4若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是答案解析依题意，结合函数f(x)的图象(图略)分析可知，m需满足即解得m.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解跟踪训练3(1)方程有解，则a的最小
9、值为答案1解析若方程有解，则2xa2x有解，即x2xa有解，因为x2x1，所以a1，故a的最小值为1.(2)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有三个零点，则实数m的取值范围是答案解析作出函数f(x)的图象如图所示当x0时，f(x)x2x2，若函数f(x)与ym的图象有三个不同的交点，则m0，即实数m的取值范围是.利用转化思想求解函数零点问题在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围(2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域解决例(1)若函数f(x)x2mcosxm23m8有唯一零点，则
10、满足条件的实数m组成的集合为答案2解析f(x)是偶函数，若f(x)有唯一零点，故f(0)0，由f(0)0，得m22m80，解得m2或m4.当m2时，f(x)x22cosx2x24sin2有唯一零点x0；当m4时，f(x)x24cosx4.因为f(2)4cos20，所以在(2，)内也有零点，不合题意(2)已知函数若关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是答案(1,0)解析关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，等价于函数yf(x)与函数yk的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(1,0)(3)若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a
11、的取值范围为答案(，22解析由方程，解得a，设t2x(t0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.(4)(2018全国改编)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是答案1，)解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时1a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)1
12、函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是答案(0,3)解析因为f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得0a0的解集是答案解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，解集为.4下列说法错误的是(填序号)对于不等式ax2bxc0，当b24ac0，则函数yf(x)在(a，b)内一定不存在零点答案解析在中，若a1时，令mx20，得m，故2m0，即当2m0时，方程f(x)0在(1，)上有且只有一个解，综上所述，若f(x)在区间0，)上
13、有且只有2个零点，则实数m的取值范围是m0.当2xa)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象(图略)可得ah(a)，即aa2，解得a1，故a(，0)(1，)9定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2019xlog2019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为答案3解析因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，当x0时，f(x)2019xlog2019x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数f(x)在R上的零点个数为3.10函数f(x)a
14、R，当0x1时，f(x)1x，则f(x)的零点个数为答案1解析当x0时，必存在x0ea0，使得f(x0)0，因此对任意实数a，f(x)在(，0)内必有一个零点；当x0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0x1)在区间2，6内恰有三个零点，则实数a的取值范围是答案(，2)解析根据题意得f(x2)2f(x2)2，即f(x)f(x4)，故函数f(x)的周期为4.若方程f(x)loga(x2)0(a1)在区间2,6内恰有三个不同的实根，则函数yf(x)和yloga(x2)的图象在区间2,6内恰有三个不同的交点，根据图象可知，loga(62)3且loga(22)3，解得a2.所以实数a的取值范围是(，2
15、)12关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围解显然x0不是方程x2(m1)x10的解，当0x2时，方程可变形为1mx，又yx在(0,1上单调递减，在1,2上单调递增，yx在(0,2上的取值范围是2，)，1m2，m1，故m的取值范围是(，113定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则函数F(x)f(x)的所有零点之和为答案解析由题意知，当x0时，f(x)是增函数，f(3)0，则函数g(x)f(x)lg|x1|的零点个数为答案3解析画出函数yf(x)和ylg|x1|的大致图象，如图所示由图象知，函数g(x)f(x)lg|x1|的零点的个数为3.16已知函数f(x)若f(x)m有四个零点a，b，c，d，则abcd的取值范围是答案(10,12)解析作出函数f(x)的图象，不妨设abcd，则log2alog2b，ab1.又根据二次函数的对称性，可知cd7，cdc(7c)7cc2(2c3)，10cd12，abcd的取值范围是(10,12)13