1、2.8函数的图象考情考向分析函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以填空题为主，中档难度1函数的图象将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为(x，y)|yf(x)，xA，所有这些点组成的图形就是函数的图象2描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象3图象变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)y
2、f(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yax (a0且a1)ylogax(a0且a1)(3)伸缩变换yf(x)yf(ax)yf(x)yaf(x)(4)翻折变换yf(x)y|f(x)|.yf(x)yf(|x|)概念方法微思考1函数f(x)的图象关于直线xa对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？提示f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)2若函数yf(x)和yg(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)，g(x)的关系是_提示g(x)2bf(2ax)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单
3、位得到()(2)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(4)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称()题组二教材改编2P30练习T3若f(x)的图象如图所示，则f(x)_.答案3P31习题T6方程|x1|的正实数根的个数是_答案14P87习题T14改编任取x1，x2(a，b)，且x1x2，若ff(x1)f(x2)，则称f(x)是(a，b)上的凸函数在下列图象中，为凸函数图象的是_(填序号)答案题组三易错自纠5把函数f(x)lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象
4、的函数解析式是_答案yln解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为yln.6下列图象是函数y的图象的是_(填序号)答案7若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_答案(0，)解析在同一个坐标系中画出函数y|x|与yax的图象，如图所示由图象知，当a0时，方程|x|ax只有一个解题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y|lg(x1)|；(2)y2x11；(3)yx2|x|2；(4)y.解(1)首先作出ylgx的图象，然后将其向右平移1个单位，得到ylg(x1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y|lg(x1)|的图象，如图所示(实线部分)
5、(2)将y2x的图象向左平移1个单位，得到y2x1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y2x11的图象，如图所示(3)yx2|x|2其图象如图所示(4)y2，故函数的图象可由y的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图所示思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx的函数(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序题型二函数图象的变换例1作出函数f(x)x22x3的图象，然后根据f(x)的图象作出函数yf(x)的图象，并说明两函数图象的关
6、系解f(x)x22x3(x1)24，yf(x)的图象是开口向上的抛物线，其顶点为(1，4)，与x轴的两个交点是(3,0)，(1,0)，和y轴交点是(0，3)，图象如图(1)，yf(x)的图象如图(2)两图象关于x轴对称引申探究本例中，通过图象的变换分别画出函数yf(x)，yf(x)，yf(|x|)，y|f(x)|，yf(x1)，yf(x)1的图象，并说明各图象和函数f(x)图象的关系解各个函数图象如下图实线部分所示：各图象和yf(x)的图象关系如下：(1)函数yf(x)的图象与yf(x)的图象关于y轴对称；(2)函数yf(x)的图象与yf(x)的图象关于原点对称；(3)函数yf(|x|)即在y
7、轴上及其右侧图象与函数yf(x)图象相同，再将y轴右侧图象作y轴的对称图象可得x0时的图象；(4)函数y|f(x)|即在x轴上及其上方的图象与函数yf(x)图象相同，再将x轴下方的图象作x轴的对称图象可得f(x)0时的图象；(5)函数yf(x1)的图象是将yf(x)的图象向左平移一个单位得到的；(6)函数yf(x)1的图象是将yf(x)的图象向上平移一个单位得到的思维升华根据图象的变换作函数的草图要遵循函数的基本性质，在函数图象的应用中经常用到跟踪训练1若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为_(填序号)答案解析要想由yf(x)的图象得到yf(x1)的图象，需要先将yf(
8、x)的图象关于x轴对称得到yf(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到yf(x1)的图象，根据上述步骤可知正确题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例2(1)已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是_(填序号)f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，)f(x)是偶函数，单调递减区间是(，1)f(x)是奇函数，单调递减区间是(1,1)f(x)是奇函数，单调递增区间是(，0)答案解析将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值，得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减正确，其余错误(2)已知函数f(x)
9、|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.答案9解析作出函数f(x)|log3x|的图象，观察可知0m1n且mn1.若f(x)在m2，n上的最大值为2，从图象分析应有f(m2)2，log3m22，m2.从而m，n3，故9.命题点2解不等式例3函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式0.当x时，ycosx0.结合yf(x)，x0,4上的图象知，当1x时，0.又函数y为偶函数，所以在4,0上，0的解集为，所以0的解集为.命题点3求参数的取值范围例4(1)已知函数若关于x的方程f(x)k有两个不等的实数根，
10、则实数k的取值范围是_答案(0,1解析作出函数yf(x)与yk的图象，如图所示，由图可知k(0,1(2)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_答案解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题跟踪训练2(1)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k(x1)有两个不同的实数根，则实数k的取
11、值范围是_答案解析在同一个直角坐标系中，分别作出函数yf(x)及yk(x1)的图象，则函数f(x)maxf(1)1，设A(1,1)，B(1,0)，函数yk(x1)过点B，则由图可知，要使关于x的方程f(x)k(x1)有两个不同的实数根，则0k0且a1，bR)的图象如图所示，则ab的值是_答案解析由图象可知，函数过点(3,0)，(0，2)，所以得解得故ab.(2)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)_.答案ex1解析与yex图象关于y轴对称的函数为yex.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位长度，得yex的图象f(x)的图象由yex的图象向左平移
12、一个单位长度得到f(x)e(x1)ex1.(3)已知a0，且a1，若函数y|ax2|与y3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是_答案解析当0a1时，作出函数y|ax2|的图象，如图a.若直线y3a与函数y|ax2|(0a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，所以0a1时，作出函数y|ax2|的图象，如图b，若直线y3a与函数y|ax2|(a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_答案(3，)解析在同一坐标系中，作yf(x)与yb的图象当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，所以要使方程f(x)b有三个不
13、同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.(2)不等式3sin0的整数解的个数为_答案2解析不等式3sin0，即3sin.设f(x)3sin，g(x)，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)g(x)，所以不等式3sin0的整数解的个数为2.(3)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_答案(2,2021)解析函数f(x)的图象如图所示，不妨令abc，由正弦曲线的对称性可知ab1，而1c2020，所以2abc2021.1已知函数yf(x)是R上的奇函数，则函数yf(x3)2的图象经过的定点为_
14、答案(3,2)解析由于函数yf(x)是R上的奇函数，故它的图象过原点又由于yf(x)的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数yf(x3)2的图象，故yf(x3)2的图象过点(3,2)2若函数yf(2x1)是偶函数，则函数yf(x)图象的对称轴方程是_答案x1解析因为f(2x1)是偶函数，所以f(2x1)f(2x1)，所以f(x)f(2x)，所以f(x)图象的对称轴为直线x1.3在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_答案解析由图(图略)知，当且仅当直线y2a过函数y|xa|1图象的最低点(a，1)时，符合题意，故2a1，即a.
15、4方程2xx23的实数解的个数为_答案2解析画出函数y2x与y3x2的图象(图略)，可知两函数图象有两个交点，故方程2xx23的实数解的个数为2.5.若函数f(x)的图象如图所示，则f(3)_.答案1解析由图象可得ab3，ln(1a)0，解得a2，b5，f(x)故f(3)2(3)51.6设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a_.答案2解析由函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，可得f(x)alog2(x)，由f(2)f(4)1，可得alog22alog241，解得a2.7设函数yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，
16、0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x1)f(x)0的解集为_答案x|x0或1x2解析画出f(x)的大致图象如图所示不等式(x1)f(x)0可化为或由图可知符合条件的解集为x|x0或1x28已知函数f(x)的值域为0,2，则实数a的取值范围是_答案1，解析先作出函数f(x)log2(1x)1，1x0，得x1，由f(x)0，得0x1.又f(0)f()2，f(1)0.所以1a.9已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x，且在1,3内，关于x的方程f(x)kxk1(kR，k1)有四个根，则k的取值范围是_答案解析由题意作出f(x)在1,3上的示意图如图所示，记yk(x1
17、)1，函数yk(x1)1的图象过定点A(1,1)记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数f(x)与ykxk1的图象有四个交点，故kABk0，kAB，k0.10给定mina，b已知函数f(x)minx，x24x44，若动直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为_答案(4,5)解析作出函数f(x)的图象，函数f(x)minx，x24x44的图象如图所示，由于直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)11已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)若方程f(x)xa有两个不同实根，则a的取值范围为_答案(，1)解析当x0时，f(x)2x1，
18、当0x1时，10的部分是将x(1,0的部分周期性向右平移1个单位长度得到的，其部分图象如图所示若方程f(x)xa有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线yxa有两个不同交点，故a0在R上恒成立，求m的取值范围解(1)令F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出F(x)的图象如图所示由图象可知，当m0或m2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0m0)，H(t)t2t，t0，因为H(t)2在区间(0，)上是增函数，所以H(t)H(0)0.因此要使t2tm在区间(0，)上恒成立，应有m0，即所求m的取值范围为(，013已知定义在R上的函数f(x)关于x的方程f
19、(x)c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3_.答案0解析方程f(x)c有三个不同的实数根等价于yf(x)与yc的图象有三个交点，画出函数f(x)的图象(图略)，易知c1，且方程f(x)c的一根为0，令lg|x|1，解得x10或10，故方程f(x)c的另两根为10和10，所以x1x2x30.14已知函数f(x)，g(x)1，若f(x)g(x)，则实数x的取值范围是_答案解析f(x)g(x)作出两函数的图象如图所示当0x1时，由1x1，解得x.结合图象可知，满足f(x)g(x)的x的取值范围是.15已知函数g(x)|xk|x2|，若对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，则实数k的取值范围为_答案解析对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，即f(x)maxg(x)min.观察的图象可知，当x时，函数f(x)max.因为g(x)|xk|x2|xk(x2)|k2|，所以g(x)min|k2|，所以|k2|，解得k或k.故实数k的取值范围是.16已知函数f(x)若在该函数的定义域0,6上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得k，则实数k的取值范围是_答案解析由题意知，直线ykx与函数yf(x)的图象至少有3个公共点函数yf(x)的图象如图所示，由图知k的取值范围是.17