1、微专题一分段函数探究一、分段函数的性质例1函数f(x)是(，)上的减函数，求a的取值范围解因为函数f(x)是(，)上的减函数，所以当x1时，f(x)x2(4a1)x8a4，x1是减函数，即1；当x1时，f(x)logax是减函数，即0a0时，x0)所以f(x)即f(x)xlg(2|x|)(xR)跟踪训练1(1)函数y(x3)|x|的单调增区间是_答案解析y(x3)|x|作出该函数的图象如图所示，观察图象知函数的单调增区间为.(2)已知函数f(x)是R上的增函数，则实数k的取值范围是_答案解析由题意得解得k0时，x0，g(x)g(x)，当x0，g(x)g(x)，又g(0)g(0)，所以g(x)为
2、偶函数(4)已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，求实数a的取值范围解当x0时，函数f(x)x24x在0，)上是增函数，当xf(a)，所以2a2a，所以2a1，所以12时，f(x)当x时，f(x)取得最小值3，此时1a3，解得a8，故a4或8.跟踪训练2(1)已知函数f(x)则函数f(x)的值域为_答案(1，)解析根据分段函数f(x)的图象(图略)可知，该函数的值域为(1，)(2)函数f(x)的最大值为_答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.(3)已
3、知aR，函数f(x)a在区间1,4上的最大值是5，则a的取值范围是_答案解析方法一当x1,4时，x4,5当a5时，f(x)axa2ax，函数的最大值为2a45，解得a(舍去)；当a4时，f(x)xaax5，此时符合题意；当4a5时，f(x)maxmax|4a|a，|5a|a，则或解得a或a.综上，a的取值范围是.方法二当x1,4时，令tx4,5则f(x)|ta|a，结合数轴易知，t为4,5的对称轴，当a时，a靠近左端点4，此时|ta|5a|5a，即f(x)max5aa5，符合题意当a时，a靠近右端点5，此时|ta|4a|a4，即f(x)maxa4a2a45，不符合题意综上可得，a的取值范围是.
4、方法三当x1,4时，x4,5结合数轴可知，f(x)maxmax|5a|，|4a|a令f(x)max5，得a.(4)函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围解因为当x1时，lnx0，又因为函数f(x)的值域为R，所以当x1时，f(x)(12a)x3a必须取到所有的负数，所以解得1a1时，log81x，即x9.故所求零点为1和9，g(x)的零点个数为2.(2)函数f(x)若关于x的方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_答案(1，)解析如图，作出函数图象，ykxk过定点(1,0)，临界点和(1,0)连线的斜率为，又f(1)1，由图象知实数k的取值范围是(1，)跟踪训练3
5、已知函数f(x)若函数g(x)2f(x)ax恰有2个不同零点，求实数a的取值范围解函数g(x)2f(x)ax恰有2个不同的零点，即方程2f(x)ax0恰有2个不相等的根，亦即方程组或共有2个不相等的根首先中2xax0，即(2a)x0，若a2，则x2都是方程2xax0的根，不符合题意，所以a2，因此由2xax0，解得x0，下面分情况讨论(1)若x0是方程的根，则必须满足0a，即a0，此时方程必须再有另一个根，即有一根，因为x0，由2x36xax0，得2x26a必须有满足x0，其次解得负根需满足a0，从而解得a0.(2)若x0不是方程的根，即方程无根，则必须满足00，此时方程必须有两个不相等的根，
6、即有两个不相等的根，由2x36xax0，得x0a适合，另外2x26a必须还有一个满足x0的非零实根，首先6a0，由于解得的负根0总成立，故要求解得的正根需满足a，从而解得0a2，但前面已经指出a2，故0a2.综合(1)(2)，得实数a的取值范围为.四、分段函数的综合问题例6已知函数f(x)x2(x1)|xa|.(1)若a1，解方程f(x)1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a1，且不等式f(x)2x3对一切实数xR恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)当x1时，令2x211，解得x1或x1；当x1时，f(x)1恒成立方程的解集为x|x1或x1(2)
7、f(x)若f(x)在R上单调递增，则有解得a.(3)设g(x)f(x)(2x3)，则g(x)即不等式g(x)0对一切实数xR恒成立a1，当xa时，g(x)单调递减，其值域为(a22a3，)a22a3(a1)222，g(x)0恒成立当xa时，a1，a，g(x)minga30，得3a5.a1，3a1.综上所述，3a1.跟踪训练4已知函数f(x)x22x|xa|，其中aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式4f(x)16在x1,2上恒成立，求实数a的取值范围解(1)由f(x)故当a0时，f(x)在(，a)和(a，)上递增，又f(a)a2，f(x)在R上递增，当a0时，f(x)在(，a)和上递增，在上递减(2)由题意只需f(x)min4，f(x)max16，首先，由(1)可知，f(x)在x1,2上递增，则f(x)minf(1)12|1a|4，解得a或a，其次，当a时，f(x)在R上递增，故f(x)maxf(2)4a416，解得a5，当a时，f(x)在x1,2上递增，故f(x)maxf(2)124a16，解得1a，综上实数a的取值范围为1a或a5.7