1、第六章 数列考试内容等级要求数列的概念A等差数列C等比数列C6.1数列的概念与简单表示法考情考向分析以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点本节内容在高考中以填空的形式进行考查，难度为低档1数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1_an其中nN*递减数列an1_an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为n1，nN*，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.6已知数列an的前n项和Snn21，
2、则an_.答案解析当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，又a12不满足an2n1，故an题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，；(2)1,7，13,19，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5555，.解(1)这是一个分数数列，其分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，而分子依次为2,4,6，相邻的偶数故所求数列的一个通项公式为an，nN*.(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故
3、数列的一个通项公式为an(1)n(6n5)，nN*.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an，nN*.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)，nN*.思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征(2)相邻项的变化特征(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征(4)各项符号特征等(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式跟踪训练1 (1)(2018江苏省海安中学月考)数列，的一个
4、通项公式为an_.答案(1)n1解析由已知，可以得到，则有，故数列的一个通项公式为an(1)n1.(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_.答案解析数列an的前4项可变形为，故an.题型二由an与Sn的关系求通项公式例2(1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，则an_.答案4n5解析当n1时，a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)(2018全国)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.答案63解析Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2
5、)，即an2an1(n2)当n1时，a1S12a11，得a11.数列an是首项a11，公比q2的等比数列，Sn12n，S612663.(3)已知数列an满足a12a23a3nan2n，则an_.答案解析当n1时，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得nan2n2n12n1，an.显然当n1时不满足上式，an思维升华已知Sn求an的常用方法是利用an一定要检验a1的情况跟踪训练2(1)已知数列an的前n项和Sn3n1，则an_.答案解析当n1时，a1S1314；当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，231
6、12a1，所以an(2)设数列an满足a13a232a33n1an，则an_.答案解析因为a13a232a33n1an，则当n2时，a13a232a33n2an1，得3n1an，所以an(n2)由题意知a1符合上式，所以an.(3)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时，a1S1a1，即a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列故an(2)n1.题型三数列的性质命题点1数列的周期性例3在数列an中，a10，an1，则S2020_.答案0解析a10，an1，a2，a3，a40，即数列an的取值具有周期
7、性，周期为3，且a1a2a30，则S2020S36731a10.命题点2数列的单调性和最值例4(1)已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sm12，Sm0，Sm13(m2)，则nSn的最小值为_答案9解析由Sm12，Sm0，Sm13(m2)可知，am2，am13，设等差数列an的公差为d，则d1，Sm0，a1am2，则ann3，Sn，nSn.设f(x)，x0，f(x)x25x，x0，f(x)的极小值点为x，nN*，且f(3)9，f(4)8，f(n)min9.(2)(2018江苏省新海中学质检)已知数列an的通项公式为an8n9n3n(其中nN*)，若第m项是数列an中的最小项，则am_.答案解析
8、令nt，由an8n9n3n，得an8t39t23t.设f(t)8t39t23t，则f(t)24t218t33(2t1)(4t1)0tn，且当0t时，f(t)0，当t0，f(t)在上单调递减，在上单调递增当t，即n2时，an最小，ama2829232，即am.思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断跟踪训练3(1)若数列an满足a12，an1，则a2020的值为_答案解析因为a12，an1，所以a23，a3，a4，a52，故数列an是以4为周期的周期数列，故a2020a505
9、4a4.(2)若数列an的前n项和Snn210n(nN*)，则数列nan中数值最小的项是第_项答案3解析Snn210n，当n2时，anSnSn12n11；当n1时，a1S19也适合上式an2n11(nN*)记f(n)nann(2n11)2n211n，此函数图象的对称轴为直线n，但nN*，当n3时，f(n)取最小值数列nan中数值最小的项是第3项1已知数列，则5是它的第_项答案21解析数列，中的各项可变形为，所以通项公式为an，令5，得n21.2若数列an满足a12，a23，an(n3且nN*)，则a2018_.答案3解析由已知得a3，a4，a5，a6，a72，a83，数列an具有周期性，且T6
10、，a2018a33662a23.3(2018扬州期末)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Snn2n(nN*)，则数列an的通项公式an_.答案2n解析Snn2n(nN*)，Sn1(n1)2n1(n2)，两式作差得到an2n(n2)，检验当n1时，a12，符合S1a1，故数列an的通项公式an2n.4若Sn为数列an的前n项和，且Sn2an2，则S8_.答案510解析当n1时，a1S12a12，可得a12，当n2时，Sn2an2，Sn12an12，两式作差可得an2an2an1，则an2an1，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S82925122510.5(2019江苏省
11、南京师范大学附属中学模拟)在数列an中，a41，a125，且任意连续三项的和都是15，则a2018_.答案9解析由题意可得anan1an215，将n换为n1，得an1an2an315，可得an3an，可得数列an为周期为3的数列，a41，a125，即有a4a11，a12a35，由任意连续三项的和都是15，可得a29，所以a2018a67232a29.6记Sn为数列an的前n项和“任意正整数n，均有an0”是“Sn是递增数列”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析“an0”“数列Sn是递增数列”，“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分条件如数列
12、an为1,1,3,5,7,9，显然数列Sn是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，“数列Sn是递增数列”不能推出“an0”，“an0”是“数列Sn是递增数列”的不必要条件“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分不必要条件7数列an的通项an(nN*)，则数列an中的最大项的值为_答案解析令f(x)x(x0)，运用基本不等式，得f(x)2，当且仅当x3时等号成立因为an，所以，由于nN*，不难发现，当n9或n10时，an最大8若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.答案解析当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n
13、1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列an的通项公式为an9已知数列an的通项公式an，若a1a2ana1a2ak对nN*恒成立，则正整数k的值为_答案5解析an，当n5时，an1；当n6时，an0，即为递增数列，c12，即实数的取值范围为(，2)13已知数列an的前n项和为Sn，若3Sn2an3n，则a2019_.答案220191解析由题意可得3Sn2an3n，3Sn12an13(n1)，两式作差可得3an12an12an3，即an12an3，an112(an1)，结合3S12a133a1可得a13，a112，则数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，所以a20191(2)(2)20
14、1822019，所以a2019220191.14已知数列an满足an且an是递增数列(nN*)，则实数a的取值范围是_答案(2,5)解析an且an是递增数列(nN*)，解得2a5.15已知数列an的首项a1a，其前n项和为Sn，且满足SnSn14n2(n2，nN*)，若对任意nN*，anan1恒成立，则a的取值范围是_答案(3,5)解析SnSn14n2，Sn1Sn4(n1)2，当n2时，Sn1Sn18n4，即an1an8n4，即an2an18n12，故an2an8(n2)，由S2S1422知a22a116，a2162a1162a，a32S243236，a3362S2362(16a)42a，a4242a；若对任意nN*，anan1恒成立，只需使a1a2a3a4，即a162a42a242a，解得3a5.16已知数列an是递增的等比数列且a1a49，a2a38，设Sn是数列an的前n项和，数列的前n项和为Tn，若不等式Tn对任意的nN*恒成立，则实数的最大值是_答案解析数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38，a1a4a2a3，a1，a4是方程x29x80的两个根，且a1a4，解方程x29x80，得a11，a48，q38，解得q2，ana1qn12n1.Sn2n1，令bn，数列bn的前n项和Tn11在正整数集上单调递增，TnT1，Tn，且对一切nN*成立，实数的最大值是.14