1、7.2一元二次不等式及其解法考情考向分析以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识在高考中常以填空题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高一元二次不等式的解集判别式b24ac000)的图象方程ax2bxc=0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xRax2bxc0)的解集x|x1x0(a0)的解集与其对应的函数yax2bxc的图象有什么关系？提示ax2bxc0(a0)的解集就是其对应函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分所对应的
2、x的取值范围2一元二次不等式ax2bxc0(0恒成立的条件是ax2bxc0恒成立的条件是题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集为_答案x|3x1解析原不等式可化为x22x30，得3x0的解集是，则ab_.答案1
3、4解析x1，x2是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.题组三易错自纠4不等式x23x40的解集为_(用区间表示)答案(4,1)解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x1.5函数y的定义域为_答案(2,1解析由02x1，得函数的定义域为(2,16不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_答案(2,2解析设方程(a2)x22(a2)x40，当a2时，由题意得，2a2；当a2时，原式化为40，不等式恒成立，2a2.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1已知集合Ax|x2x20，By|y2x，则AB_.答案(0,2)解析由题意得Ax|x2x
4、20x|1x0，ABx|0x2(0,2)命题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax2(a1)x10)解原不等式变为(ax1)(x1)0，所以(x1)1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为.命题点3分式不等式例3已知关于x的不等式1.(1)当a1时，解该不等式；(2)当a为任意实数时，解该不等式解(1)当a1时，不等式化为1，可得0，1x2，不等式的解集为x|1x2(2)原不等式可化为0，可化为(ax2)(x1)1.当a0，x1或x0时，(x1)1，即0a2时，可得1x，若1，即a2时，x，若02时，x1.综上，当a1，当0a2时，原不等式的解集
5、为.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：根据二次项系数为正、负及零进行分类根据判别式判断根的个数有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论跟踪训练1解不等式12x2axa2(aR)解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为.题型二三个“二次”的关系例4(1)已知函数f(x)2x2bxc(b，cR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)m的解集为(n，n10)，求实数m的值解由已知可得b28c0，c，由不等式2x2bxm0的解集为(
6、n，n10)，可得方程2x2bxm0的两根为n，n10，10，m50.(2)已知方程x2ax20的两根都小于1，求实数a的取值范围解设f(x)x2ax2，由题意可得解得2a0(或ax2bxc0)的解集的两个端点跟踪训练2若，是方程x2(2m1)x42m0的两个根，且2，求实数m的取值范围解设f(x)x2(2m1)x42m，是方程f(x)0的根，且2，f(2)0，42(2m1)42m0，m3，故实数m的取值范围是(，3)题型三一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题例5已知函数f(x)mx2mx1.若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围解当m0时，f(x)10恒成立当m0时，
7、则即4m0.综上，4m0，故m的取值范围是(4,0命题点2在给定区间上的恒成立问题例6已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以m的取值范围是.引申探究1若将“f(x)5m恒成立”改为“f(x)5m无解”，如何求m的
8、取值范围？解若f(x)5m无解，即f(x)5m恒成立，即m恒成立，又x1,3，得m6，即m的取值范围为6，)2若将“f(x)5m恒成立”改为“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范围解由题意知f(x)5m有解，即m有解，则mmax，又x1,3，得m6，即m的取值范围为(，6)命题点3给定参数范围的恒成立问题例7若mx2mx10对于m1,2恒成立，求实数x的取值范围解设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1,2时，图象为一条线段，则即解得x，故x的取值范围为.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数跟踪
9、训练3函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围解(1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，即6a2，实数a的取值范围是6,2(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，有a24(3a)0，即6a2.如图，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x2，)时，g(x)0，即即可得解得a.如图，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x(，2时，
10、g(x)0.即即可得7a6，综上，实数a的取值范围是7,2(3)令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，)1已知集合Ax|x0，Bx|(x1)(x5)0，则AB_.答案0,5)解析由题意得Bx|1x5，故ABx|x0x|1x0的解集为x|1x0的解集为_答案解析不等式ax2bx20的解集为x|1x2，ax2bx20的两根为1,2，且a0，解得x.3(2018江苏省南京市秦淮中学模拟)不等式1的解集为_答案解析不等式10(3x2)(x3)0且x33x，即不等式的解集为.4若存在实数x2,4，使x22x5mx22x5，设f(x)x22x
11、5(x1)24，x2,4，当x2时f(x)min5，x2,4使x22x5mf(x)min，m5.5已知x2pxq0的解集为_答案x|2x3解析x2pxq0可化为x2x10，即x2x60，解得2x0的解集为x|2x320，即x228x1920，解得12x16，所以每件售价应定为12元到16元之间7不等式x22ax3a20)的解集为_答案x|ax3a解析x22ax3a20(x3a)(xa)0，a3a，不等式的解集为x|ax0时，f(f(x)f(x2)(x2)22x23，即(x23)(x21)0，解得0x；当2x0时，f(f(x)f(x22x)(x22x)22(x22x)3，即(x22x1)(x22
12、x3)0，即2x0；当x2时，f(f(x)f(x22x)(x22x)23，解得x2.综上，不等式的解集为x|x9已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为x|mxm6，则实数c的值为_答案9解析由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b，f(x)2.f(x)c，2c，即x0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,
13、3，解得12已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x1,1，不等式f(x)t2恒成立，求t的取值范围解(1)f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)，即2x2bxc0在区间1,5上有解，则a的取值范围是_答案解析方法一设f(x)x2ax2，由a280知方程恒有两个不等实根，又因为f(0)20，解得a.方法二因为不等式x2ax20在区间1,5上有解，所以ax在区间1,5上有解，因为函数y和yx在区间1,5上单调递减，所以x，所以a.14(2018苏北三市模拟)已知对于任意的x(，1)(5，)，都有x22(a2)xa
14、0，则实数a的取值范围是_答案(1,5解析设f(x)x22(a2)xa，当4(a2)24a0，即1a0对xR恒成立；当a1时，f(1)0，不合题意；当a4时，f(2)0符合题意；当0时，由即即4a5.综上所述，实数a的取值范围是(1,515在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是_答案1,3解析因为关于x的不等式x2(a1)xa0可化为(x1)(xa)1时，不等式的解集为x|1xa，当a1时，不等式的解集为x|ax1，当a1时，不等式的解集为，要使得解集中至多包含1个整数，则a1或1a3或1a1，所以实数a的取值范围是a1,316设a0，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，求ba的最大值解当ab0时，x(a，b)，2xb0，所以(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，可转化为x(a，b)，a4x2，所以a4a2，所以a0，所以0ba；当a0b时，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，当x0时，(4x2a)(2xb)ab0，不符合题意；当a0b时，由题意知x(a,0)，(4x2a)2x0恒成立，所以4x2a0，所以a0，所以0ba.综上所述，ba的最大值为.13