1、7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，中低档难度1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
2、目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题概念方法微思考1不等式x0表示的平面区域是什么？提示不等式x0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)2可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示不一定最优解是可行解中的一个或多个最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0
3、的上方()(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示()(4)线性目标函数的最优解是唯一的()(5)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()题组二教材改编2P74T1点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是_答案(7,24)解析点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，说明将这两点坐标代入3x2ya后，符号相反，所以(92a)(1212a)0
4、，解得7a24.3P77T2不等式组所表示的平面区域的面积是_答案25解析直线xy40与直线xy0的交点为A(2，2)，直线xy40与直线x3的交点为B(3,7)，直线xy0与直线x3的交点为C(3，3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(2,2)，B(3,7)，C(3，3)为顶点的三角形及其内部，所以其面积为SABC51025.4P84T4设变量x，y满足约束条件则zx3y的最小值为_答案8解析画出可行域与目标函数线如图(阴影部分含边界)，由图可知，目标函数在点(2,2)处取最小值8.题组三易错自纠5(2018全国)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_答案6解析作出满足约束条件的
5、可行域如图阴影部分(包含边界)所示由z3x2y，得yx.作直线l0：yx，平移直线l0，当直线yx过点(2,0)时，z取最大值，zmax32206.6已知x，y满足若使得zaxy取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为_答案1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线zaxy和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，akAB1，a1.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_答案解析作出不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(2，0)和A(1，)为顶点的三角形及内部区
6、域，即如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为2.命题点2含参数的平面区域问题例2若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是_答案(0,1解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论跟踪训练1(1)不等式组表示的
7、平面区域的形状为_三角形答案等腰直角解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)(2)已知由不等式组确定的平面区域的面积为7，则k的值为_答案1解析作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线ykx2恒过点B(0，2)，且原点的坐标恒满足ykx2，当k0时，y2，此时平面区域的面积为6，由于67，由此可得k0.由可得D，依题意应有21，解得k1或k3(舍去)题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值例3(1)(2018全国)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_答案9解
8、析由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)目标函数xy取得最大值斜率为1的直线xyz(z看作常数)在y轴上的截距最大，由图可得当直线xyz过点C时，z取得最大值由得点C(5,4)，zmax549.(2)(2018南通模拟)已知实数x，y满足约束条件则z|x|y3|的取值范围是_答案1,7解析作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则0x4且0y3，所以z|x|y3|xy3，平移目标直线yxz3经过点A(4,0)时，z取得最大值7，经过点B(1,3)时，z取得最小值1，所以z的取值范围为1,7命题点2求非线性目标函数的最值例4(1)(2018徐州模拟)已知(x，y)满足则k的最大
9、值为_答案1解析画出可行域如图阴影部分(含边界)：因为k的几何意义为可行域内的点P(x，y)与定点A(1，0)连线的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中B(0,1)，此时k1.(2)(2018扬州模拟)若实数x，y满足约束条件则x2y2的取值范围是_答案解析作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则x2y2表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方由图知(x2y2)max423225，(x2y2)min2，所以x2y2的取值范围为.命题点3求参数值或取值范围例5已知实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m_.答案5解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界
10、)，联立直线方程可得交点坐标为A，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，所以1，解得m5.思维升华常见的三类目标函数(1)截距型：形如zaxby.(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.跟踪训练2(1)若实数x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_答案10解析先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，将z2xy的最大值转化为直线y2xz在y轴上截距的最小值当直线y2xz经过点A时，在y轴上的截距最小，z最大，又A(3，4)，故z的最大值为10.(2)已知x，y满足且z3xy的最大值为2，则实数m的值为_答案2解析由约束条件作出可行域(图略)，z
11、3xy的最大值为2，联立解得A(2,4)，可知直线mxy0必须过点A，可得2m40，解得m2.(3)已知实数x，y满足不等式组则(x3)2(y2)2的最小值为_答案13解析画出不等式组表示的平面区域(图略)，易知(x3)2(y2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，2)两点间距离的平方，可知当(x，y)为直线xy2与y1的交点(1,1)时，(x3)2(y2)2取得最小值，最小值为13.1设点(x，y)满足约束条件且xZ，yZ，则这样的点共有_个答案12解析画出表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足xZ，yZ的(x，y)为(4，1)，(3,0)，(2,1)，(2,0)，(1,0)
12、，(1,1)，(1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个2设不等式表示的平面区域为M.若直线ykx2上存在M内的点，则实数k的取值范围是_答案2,5解析由约束条件作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示因为函数ykx2的图象为恒过定点A(0，2)，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B(1,3)时，k取最大值5，当直线l过点C(2,2)时，k取最小值2，故实数k的取值范围是2,53在直角坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为，则t的值为_答案1解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)由解得交点B(t，t1)在yx1中，令x0得y1，
13、即直线yx1与y轴的交点为C(0,1)由平面区域的面积S，得t22t30，解得t1或t3(不合题意，舍去)4已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，则m_.答案1解析作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示若m0，则zx，目标函数zxmy取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m0，则目标函数zxmy可看作斜率为的动直线yx.若m0，数形结合知使目标函数zxmy取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m0，则0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数zxmy取得最小值，即1，则m1.综上可
14、知，m1.5(2019如皋调研)已知实数x，y满足约束条件则zx2y的最大值为_答案解析约束条件对应的可行域如图阴影部分(含边界)所示：当目标函数所在直线过点A时，z取得最大值，解方程组得A，此时x2y.6(2018全国)若变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_答案3解析画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由zxy得y3x3z，作出直线y3x，并平移该直线，当直线y3x3z过点A(2,3)时，目标函数zxy取得最大值为233.7若不等式组表示的平面区域为三角形且其面积等于，则zxy的最小值为_答案2解析作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分含边界所示)，由得A(1m,1m)，同理B，C
15、(2，0)，D(2m,0)，SABCSADCSBDCDC(|yA|yB|)，解得m1或m3，由图象，得要使可行域ABC存在，则2m1，即m1，即A(0,2)，B，C(2,0)；由图象，得当直线zxy过点A(0,2)时，z取得最小值为2.8设变量x，y满足约束条件则目标函数z2xy的最大值为_答案解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，要求目标函数z2xy的最大值，只需求解函数z2xy的最小值，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点C(1,1)处取得最小值zmin213，则目标函数z2xy的最大值为3.9若x，y满足约束条件则的最小值为_答案解析画出x，y满足约束条件的可行域
16、如图阴影部分所示(含边界)的几何意义为可行域内的动点P(x，y)与定点Q(2，1)连线的斜率，当P位于B(1,1)时，直线PQ的斜率最小，此时kmin.10(2018南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为_kg.答案30解析设甲食物重xkg，乙食物重ykg，维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由得即A(20,10)，混合物重zxy，平移直线zxy，由图知，当直线过A(20,1
17、0)时，z最小值为201030.11变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y26x4y13，求z的最大值解由约束条件作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)因为z，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zminkOB.(2)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域内的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域内的点B到(3,2)的距离最大，dmax8，故z的最大值为64.12若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得
18、最小值，求a的取值范围解(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，当直线过A(3,4)时，z取最小值2，过C(1,0)时，z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故a的取值范围是(4,2)13(2018南通模拟)已知实数x，y满足且(k1)xyk20恒成立，则实数k的最小值是_答案4解析画出表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，直线l：(k1)xyk20过定点(1，1)，若(k1)xyk20恒成立，即可行域在直线下方，直线l的斜率为k1，当
19、斜率最小时，k最小当直线过点(0,2)时，k1有最小值3，k的最小值为4.14设x，y满足约束条件则z的最大值为_答案1解析由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z恒大于等于0，则目标函数z的几何意义是可行域内(包括边界)的点与点A(3,0)连线的斜率的绝对值的取值范围，由可行域可知直线|kAB|1，|kAC|，故最大值为1.15记不等式组的解集为D，若(x，y)D，不等式a3xy恒成立，则a的取值范围是_答案(，7解析若(x，y)D，不等式a3xy恒成立，即求z3xy的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示：当y3xz经过A(1,4)点时，z最小，此时zmi
20、n3147，a7.16已知函数yf(x)单调递增，函数yf(x2)的图象关于点(2,0)对称，实数x，y满足不等式f(x22x)f(2yy2)0，求zx2y26x4y14的最小值解因为函数yf(x2)的图象关于点(2,0)对称，所以函数yf(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数yf(x)是奇函数因为f(x22x)f(2yy2)0，所以f(x22x)f(2yy2)，所以f(x22x)f(2yy2)，因为函数yf(x)是增函数，所以x22xy22y，所以x2y22(xy)0，所以(xy)(xy)2(xy)0.所以(xy)(xy2)0，所以点(x，y)对应的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，因为zx2y26x4y14，所以z(x3)2(y2)21，所以z表示可行域内的点(x，y)到点(3，2)的距离的平方再加1，观察图形得，当圆和直线xy0相切时，z最小，因为d，所以d2，所以zmin1.15