1、6.2等差数列及其前n项和考情考向分析以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项4等差数列
2、的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmj(k，l，m，jN*)，则akalamaj.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)7等差数
3、列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值概念方法微思考1“a，A，b是等差数列”是“A”的什么条件？提示充要条件2等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数3如何推导等差数列的前n项和公式？提示利用倒序相加法题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)已知等差数列an的通项公式an
4、32n，则它的公差为2.()(5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()题组二教材改编2P47习题T5设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8_.答案32解析由已知可得解得S88a1d32.3P40习题T5在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.答案180解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.题组三易错自纠4一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差
5、d的取值范围是_答案解析由题意可得即所以0，a7a100，所以a80.又a7a10a8a90，所以a9.(1)证明an1，化简得2，即2，又1，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)知2n1，所以Snn2.1，nN*.题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例2(2018江苏省南京秦淮中学模拟)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7_.答案49解析因为a1a7a2a631114，所以S7(a1a7)49.命题点2等差数列前n项和的性质例3(1)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15_.答案42解析在等差数列an中，S5，S
6、10S5，S15S10成等差数列，即7，14，S1521成等差数列，所以7(S1521)214，解得S1542.(2)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12018，6，则S2020_.答案2020解析由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为d，则6d6，d1.故2019d201820191，S2020120202020.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，mjpq(m，j，p，qN*)，则amajapaq.(2)前n项和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.跟踪训练2(1)已知等差数列an的前n项
7、和为Sn，若6a32a43a25，则S7_.答案7解析由6a32a43a25，得6(a12d)2(a13d)3(a1d)5a115d5(a13d)5，即5a45，所以a41，所以S77a47.(2)设等差数列an的前n项和为Sn，若S130，S140，S140，a1a14a7a80，a80，所以Sn取最大值时n的值为7.1(2018常州期末)设Sn为等差数列an的前n项和，若a34，S9S627，则S10_.答案65解析因为S9S6a7a8a93a827，所以a89，即S105(a3a8)65.2已知等差数列an中，a10123，S20172017，则S2020_.答案4040解析由等差数列前
8、n项和公式结合等差数列的性质可得S2017201720172017a10092017，则a10091，据此可得S202020201010101044040.3在等差数列an中，Sn是其前n项和，a19，2，则S10_.答案0解析设公差为d，则a1d，2，dd2，d2，a19，S1010(9)20.4程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要长幼分明，使孝悌的美德外传，则第八个孩子分得棉_斤答案184解析根据题意
9、可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.由等差数列前n项和公式可得8a117996，解得a165.由等差数列通项公式得a865(81)17184.5(2019盐城模拟)若数列an的首项a1，且an(an1)an1，则_.答案解析an(an1)an1，得anan1anan1且an0，所以1，即是以2为首项，1为公差的等差数列，n1，从而.6已知数列an是等差数列，前n项和为Sn，满足a15a3S8，给出下列结论：a100；S10最小；S7S12；S200.其中一定正确的结论是_(填上所有正确结论的序号)答案解析a15(a12d)8a128d，所以a19d，a
10、10a19d0，正确；由于d的符号未知，所以S10不一定最大，错误；S77a121d42d，S1212a166d42d，所以S7S12，正确；S2020a1190d10d，错误所以正确的是.7在等差数列an中，若a7，则sin2a1cosa1sin2a13cosa13_.答案0解析根据题意可得a1a132a7，2a12a134a72，所以有sin2a1cosa1sin2a13cosa13sin2a1sin(22a1)cosa1cos(a1)0.8(2018江苏省盐城市东台中学检测)等差数列an的前n项和为Sn，已知a11，且数列也为等差数列，则a10_.答案19解析因为数列an是等差数列，设公
11、差为d，则Snnn2n，所以，又也为等差数列，所以10，所以d2.所以a101(101)219.9等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则_.答案解析在等差数列中，S1919a10，T1919b10，因此.10已知数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，则an_.答案(n23n3)2解析数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，(1)2(n1)，(1)2，3(1)2，a21.2n2，2(n1)22(n2)222122(n1)1n23n3.an(n23n3)2，n1时也成立an(n23n3)2.11已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证
12、明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明，bn1bn，bn是等差数列(2)解由(1)及b11，知bnn，an1，an(nN*)12(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17，得d2.所以an的通项公式为ana1(n1)d2n9(nN*)(2)由(1)得Snnn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.13已知等差数列an的前n项和为Sn，bn2an且b1b317，b2b468，则S10_.答案90解析设an公差为
13、d，2d4，d2，又b1b317，得1，a10，S1010a1d290.14设等差数列an的公差为，前8项和为6，记tank，则数列的前7项和是_答案解析等差数列an的公差d为，前8项和为6，可得8a1876，解得a1，tanantanan111，又tandtank，则数列tanantanan1的前7项和为(tana8tana7tana7tana6tana2tana1)7(tana8tana1)77777.15已知数列an与均为等差数列(nN*)，且a12，则a20_.答案40解析设an2(n1)d，所以，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d2)20，d2.所以a202(
14、201)240.16记m，若是等差数列，则称m为数列an的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列an的“dn等比均值”已知数列an的“2n1等差均值”为2，数列bn的“3n1等比均值”为3.记cnklog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有SnS6，求实数k的取值范围解由题意得2，所以a13a2(2n1)an2n，所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，两式相减整理得an(n2，nN*)当n1时，a12，符合上式，所以an(nN*)又由题意得3，所以b13b23n1bn3n，所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)，两式相减整理得bn32n(n2，nN*)当n1时，b13，符合上式，所以bn32n(nN*)所以cn2n1k(2n)(2k)n2k1，易知数列cn是等差数列因为对任意的正整数n都有SnS6，所以解得k.12