1、高考专题突破三高考中的数列问题题型一子数列问题例1设无穷数列an满足：nN*，anan1，anN*.记bn，cn (nN*)(1)若bn3n(nN*)，求证：a12，并求c1的值；(2)若cn是公差为1的等差数列，问an是否为等差数列？证明你的结论解(1)因为anN*，所以若a11，则b1aa1a11，与b13矛盾，若a13，由anan，可知当n2时，anan1，所以anan11，所以anam(nm)(mn)，所以an11(an1)，即cn1cnan1an，由题设，1an1an.又an1an1，所以an1an1，即an是等差数列思维升华子数列问题的关键是找清数列的项an与其序号n的关系，进而写
2、出通项公式跟踪训练1设等差数列an的前n项和为Sn，已知a12，S622.(1)求Sn；(2)若从an中抽取一个公比为q的等比数列，其中k11，且k1k2kn1.要使q最小，只需要k2最小即可若k22，则由a2，得q，此时22.由(n2)，解得nN*，所以k22.同理k23.若k24，则由a44，得q2，此时2n.因为(kn2)，所以(kn2)2n，即kn32n12，所以对任何正整数n，是数列an的第32n12项，且最小的公比q2，则kn32n12(nN*)题型二新数列问题例2(2018扬州模拟)对于数列xn，若对任意nN*，都有xn2xn1xn1xn成立，则称数列xn为“增差数列”设an，若
3、数列a4，a5，a6，an(n4，nN*)是“增差数列”，则实数t的取值范围是_答案解析数列a4，a5，a6，an(n4，nN*)是“增差数列”，故得到an2an2an1(n4，nN*)，即2(n4，nN*)，化简得到(2n24n1)t2(n4，nN*)，即t对于n4恒成立，当n4时，2n24n1有最小值15，故实数t的取值范围是.思维升华根据新数列的定义建立条件和结论间的联系是解决此类问题的突破口，灵活对新数列的特征进行转化是解题的关键跟踪训练2(1)(2018江苏省海门中学考试)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做
4、该数列的公积已知数列an是等积数列且a12，前21项的和为62，则这个数列的公积为_答案0或8解析当公积为0时，数列a12，a20，a360，a4a5a210满足题意；当公积不为0时，应该有a1a3a5a212，且a2a4a6a20，由题意可得，a2a4a6a206221140，则a2a4a6a204，此时数列的公积为248.综上可得，这个数列的公积为0或8.(2)(2018盐城模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波
5、那契数列”若an是“斐波那契数列”，则(a1a3a)(a2a4a)(a3a5a)(a2017a2019a)的值为_答案1解析因为a1a3a12121，a2a4a13221，a3a5a25321，a4a6a38521，a2017a2019a1，共有2017项，所以(a1a3a)(a2a4a)(a3a5a)(a2017a2019a)1.题型三数列与不等式例3已知数列an中，a1，其前n项的和为Sn，且满足an(n2，nN*)(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1S2S3Sn1.证明(1)当n2时，SnSn1，整理得Sn1Sn2SnSn1(n2)，又S1a1，2，从而构成以2为首项，2为公差的
6、等差数列(2)由(1)可知，2(n1)22n，Sn.当n1时，Sn1，方法一当n2时，Sn，S1S2S3Sn11.原不等式得证方法二当n2时，S1S2S3Sn，1.原不等式得证思维升华数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到跟踪训练3已知数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且b1a11，b2a1a2，a32b36.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn0，所以Tn.又因
7、为Tn在1，)上单调递增，所以当n1时，Tn取最小值T1，所以Tn80，A97680，所以必须在第9年年初对M进行更新思维升华数列应用题要找准题中的变化关系，提炼出an和n的关系，建立数列模型跟踪训练4(1)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有_盏灯答案3解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.(2)气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的
8、第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(nN*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了_天答案800解析由第n天的维修保养费为元(nN*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为4.95，当且仅当时，取得最小值，此时n800.1(2018江苏省如皋中学月考)已知数列an的首项a1，an1，nN*.(1)求证：数列为等比数列；(2)问：是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且am1，as1，an1成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明
9、理由(1)证明a1，an1，1，又1，是以为首项，为公比的等比数列(2)解假设存在，则有由(1)可知1n1，an，代入得2，化简得23s3m3n，又由3m3n223s，当且仅当mn时，等号成立又m，n，s互不相等，故23s3m3n不成立因此不存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am1，as1，an1成等比数列2某企业2018年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500
10、万元(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金)，求An与Bn的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解(1)依题设An(50020)(50040)(50020n)490n10n2；Bn500600500n100.(2)BnAn(490n10n2)10n210n10010.因为函数yx(x1)10在(0，)上为增函数，而nN*，所以当1n3时，n(n1)1012100.所以当且仅当n4时，BnAn.答至少经过4年，该企业进行技术改造后
11、的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润3(2018扬州期末)已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意nN*，an1an2(bn1bn)恒成立(1)若Ann2，b12，求Bn；(2)若对任意nN*，都有anBn及成立，求正实数b1的取值范围解(1)因为Ann2，所以当n2时，anAnAn1n2(n1)22n1，又a11也符合此式，所以an2n1(nN*)，故bn1bn(an1an)1，所以数列bn是以2为首项，1为公差的等差数列，所以Bn2n1n2n(nN*)(2)依题意知Bn1Bn2(bn1bn)，即bn12(bn1bn)，即2，所以数列bn是以b1为首项，2为公比的等比数列
12、，所以anBnb1b1(2n1)，所以，所以，所以原不等式可化为3，所以b13，即正实数b1的取值范围是(3，)4若正项数列an的前n项和为Sn，首项a11，点P(，Sn1)在曲线y(x1)2上(1)求数列an的通项公式an；(2)设bn，Tn表示数列bn的前n项和，若Tna恒成立，求Tn及实数a的取值范围解(1)由Sn1(1)2，得1，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以(n1)1n，即Snn2，由an得an所以an2n1(nN*)(2)因为bn，所以Tnb1b2bn，显然Tn是关于n的增函数，所以Tn有最小值(Tn)minT1.由于Tna恒成立，所以a，于是a的取值范围是.5设等比
13、数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q1，d0.记ciaibi (i1,2,3,4)(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2)设a11，q2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3)数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由(1)证明假设数列c1，c2，c3是等差数列，则2c2c1c3，即2.因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2b1b3.从而2a2a1a3.又因为a1，a2，a3是等比数列，所以aa1a3.所以a1a2a3，这与q1矛盾，从而假设不成立所以数列c1，c2，c3不是等差数列
14、(2)解因为a11，q2，所以an2n1.因为cc1c3，所以2，即b2d23d，由c22b20，得d23d20，所以d1且d2.又d0，所以b2d23d，定义域为.(3)解设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，则将2得，a1(q1)2c1(q11)2，将2得，a1q2c1q12，因为a10，q1，由得c10，q11.由得qq1，从而a1c1.代入得b10.再代入，得d0，与d0矛盾所以c1，c2，c3，c4不成等比数列6已知各项均不相等的等差数列an的前三项和为9，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前三项(1)分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn；(2)记数列anbn的前n项和为Kn，设cn，求证：cn1cn(nN*)(1)解设数列an的公差为d，则解得或(舍去)，所以ann1，Sn.又b1a12，b2a34，所以bn2n，Tn2n12.(2)证明因为anbn(n1)2n，所以Kn221322(n1)2n，所以2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，所以Knn2n1.则cn，cn1cn0，所以cn1cn(nN*)11