1、第7讲立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直一、选择题1.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()A.l B.lC.l D.l与相交解析n2a，a与平面的法向量平行，l.答案B2.若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交 B.平行C.在平面内 D.平行或在平面内解析，共面.则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案D3.已知平面内有一点M(1，1，2)，平面的一个法向量为n(6，3，6)，则下列点P中，在平面内的是()A.P(2，3，3) B.P(2，0，1)C.P(4，4，0) D.P(3，3，4)解析逐一验证法，对于选项A，(1，4，
2、1)，n61260，n，点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内.答案A4.(2017西安月考)如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点，若D1FDE，则有()A.B1EEBB.B1E2EBC.B1EEBD.E与B重合解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，(0，1，2)，(2，2，z)，02122z0，z1，B1EEB.答案A5.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各
3、棱长均相等，则：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上说法正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析，所以A1MD1P，由线面平行的判定定理可知，A1M面DCC1D1，A1M面D1PQB1.正确.答案C二、填空题6.(2017武汉调研)已知平面内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_.解析设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，取x1，m(1，1，1)，mn，mn，.答案7.(2016青岛模拟)已知(1，5，2)，
4、(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数xy_.解析由条件得解得x，y，z4，xy.答案8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的序号是_.解析0，0，ABAP，ADAP，则正确.又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确.由于(2，3，4)，(1，2，1)，与不平行，故错误.答案三、解答题9.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.证明：平面PQC平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA
5、，DP，DC分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0).0，0.即PQDQ，PQDC，又DQDCD，PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，平面PQC平面DCQ.10.(2017郑州调研)如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.(1)证明PAAD1，PD，PA2AD2PD2，即P
6、AAD.又PACD，ADCDD，PA平面ABCD.(2)解以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E，(1，1，0)，.设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则n(1，1，2).假设侧棱PC上存在一点F，且(01)，使得BF平面AEC，则n0.又(0，1，0)(，)(，1，)，n120，存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点.11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A.(1，1，1)
7、 B.C. D.解析设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线交点，M为线段EF的中点.在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，1).由中点坐标公式，知点M的坐标.答案C12.(2017成都调研)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定解析分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，A1MANa，则M，N，.又C1(0，0，0
8、)，D1(0，a，0)，(0，a，0)，0，.是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案B13.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_.解析以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1y)，B(1，1，1)，(x1，0，1)，(1，1，y)，由于B1E平面ABF，所以(1，1，y)(x1，0，1)0xy1.答案114.(2014湖北卷改编)如图，在棱长为2的正方体ABCDA
9、1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02).(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ平面PQMN？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.(1)证明以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，)，M(2，1，2)，N(1，0，2)，(2，0，2)，(1，0，)，(1，1，0)，(1，1，0)，(1，0，2).当1时，(1，0，1)，因为(2，0，2)，所以2，即BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)解设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，则由可得于是可取n(，1).同理可得平面PQMN的一个法向量为m(2，2，1).则mn(2，2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1.故存在1，使平面EFPQ平面PQMN.7