1、第8讲立体几何中的向量方法(二)求空间角一、选择题1.(2016长沙模拟)在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为()A. B. C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).(1，1，0)，(1，1，1)，1(1)110(1)0，AC与B1D所成的角为.答案D2.(2017郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直
2、角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1).令平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则nxy0，nxz0，令x1，可得n(1，1，1)，所以sin |cosn，|.答案B3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，
3、z)，所以有即解得n1(1，2，2).平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)， cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案B4.(2017西安调研)已知六面体ABCA1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为()A.45 B.60C.90 D.30解析如图所示，取AC的中点N，以N为坐标原点，建立空间直角坐标系.则A，C，B1，D，C1，(0，0，a).设平面AB1D的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，可取n(，1，2).cos，n，直线CC1与平面AB1D所成的角为45.答案A5.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长
4、为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B.C. D.解析如图建立坐标系.则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，则令z1，得n(1，1，1).D1到平面A1BD的距离d.答案D二、填空题6.(2017昆明月考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设ABBCAA12，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，
5、0，1)，则(0，1，1)，(2，0，2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60.答案607.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_.解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA12AB2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则(0，1，0)，(1，1，0)，(0，1，2).设平面BDC1的一个法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n (2，2，1).设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.答案8.已知点E，F分别在正方体ABCDA1
6、B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_.解析延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.设正方体的棱长为3，则GBBC3，作BHAG于点H，连接EH，则EHB为所求二面角的平面角.BH，EB1，tanEHB.答案三、解答题9.(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC，(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)证明如图，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形
7、ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在Rt EBG中，可得BE，故DF.在Rt FDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF，从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)解如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，0)，E(1，0，)，F，C(0，0).所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值
8、为.10.(2016全国卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值.(1)证明由已知可得AFDF，AFEF，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解过D作DGEF，垂足为G.由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG|.可得A(1，4，0)，B(
9、3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，).由已知得ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60.从而可得C(2，0，).所以(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0).设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3，0，).设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4).则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.11.(2017济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB
10、1夹角的余弦值为()A. B. C. D.解析不妨令CB1，则CACC12，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，(0，2，1)，(2，2，1)，cos，0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案A12.在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A.30 B.45 C.60 D.90解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(a，0，0)，P.
11、则(2a，0，0)，(a，a，0)，设平面PAC的一个法向量为n(x，y，z)，则解得可取n(0，1，1)，则 cos，n，又，n(0，180)，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案A13.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_.解析，| cos，24. cos，.又所求二面角与，互补，所求的二面角为60.答案6014.(2016四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(
12、1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，知BCED，且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角PCDA的平面角.所以PDA45.
13、设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA平面ABCD，从而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.法二由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角.所以PDA45.由PAAB，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，所以(1，0，2)，(1，1，0)，(0，0，2)，设平面PCE的一个法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2，1).设直线PA与平面PCE所成角为，则sin .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.9