1、第2讲空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛解析设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r.所以米堆的体积为Vr255(立方尺).故堆放的米约有1.6222(斛).答案B2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积
2、是3，则正视图中的x的值是()A.2 B. C. D.3解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底(12)23.Vx33，解得x3.答案D3.(2017合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1 B.2 C.12 D.2解析四面体的直观图如图所示.侧面SAC底面ABC，且SAC与ABC均为腰长是的等腰直角三角形，SASCABBC，AC2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SOAC，又SO平面SAC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.又OSOB1，SB，故SAB与SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的表面积为22()
3、22.答案B4.(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256解析因为AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥OABC的体积取得最大值.由R2R36，得R6.从而球O的表面积S4R2144.答案C5.(2017青岛模拟)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB2PN，则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为()A.12 B.18C.16 D.13解析设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P，N，则PP平面ABCD，NN平面ABCD
4、，所以PPNN，则在BPP中，由BN2PN得.V三棱锥NPACV三棱锥PABCV三棱锥NABCSABCPPSABCNNSABC(PPNN)SABCPPSABCPP，V三棱锥DPACV三棱锥PACDSACDPP，又四边形ABCD是平行四边形，SABCSACD，.故选D.答案D二、填空题6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.答案7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，
5、则该球的体积为_.解析依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R2，解得R1，所以VR3.答案8.(2017郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.解析由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.体积V122121.答案三、解答题9.已知一个几何体的三视图如图所示. (1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长.解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面
6、积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧(2a)(a)a2，S圆柱侧(2a)(2a)4a2，S圆柱底a2，所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图.则PQa，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.10.(2015全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)如图，作EMAB，垂
7、足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.11.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是()解析若俯视图为A，则该几何体为正方体，其体积为1，不满足条件.若俯视图为B，则该几何体为圆柱，其体积为1，不满足条件.若俯视图为C，则该几何体为三棱柱，其体积为111，满足条件.若俯视图为D，则该几何体为圆柱的，体积为1，不满足条件.答案
8、C12.(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r()A.1 B.2 C.4 D.8解析该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，如图.则表面积S4r2r2(2r)2r2r(54)r2，又S1620，(54)r21620，解得r2.答案B13.圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若r1，则该几何体的体积为_.解析根据三视图中的正视图和俯视图知
9、，该几何体是由一个半径r1的半球，一个底面半径r1、高2r2的圆锥组成的，则其体积为Vr3r22r.答案14.四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形.(1)解由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，又BDDCD，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理，EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形.又AD平面BDC，BC平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形.7