1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2015湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件.故选A.答案A2.(2017郑州联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A
2、.相交或平行 B.相交或异面C.平行或异面 D.相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案D3.给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是()A. B. C. D.解析显然命题正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，错.命题中，两个平面重合或相交，错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题正确.答案B4.(2017济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c
3、相交，则a，c相交C.若ab，则a，b与c所成的角相等D.若ab，bc，则ac解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.答案C5.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析连接DF，则AEDF，D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.设正方体棱长为a，则D1Da，DFa，D1Fa，cosD1FD.答案B二、填空题6.如图，在正方体ABCDA1B1
4、C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为_(填序号).解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，C1AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，错；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，BMB1，因此直线BN与MB1是异面直线，正确；连接D1C，因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60.答案7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同
5、一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.解析取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CDEH，CDHF，且EHFHH，所以CD平面EFH，所以AB平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交.答案48.(2014全国卷改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.解析如图所示，取BC中点D，连接MN，ND，AD.M，N分别是A1B1，A1C1的中点，MN綉B1C1.又BD綉B1C1，MN綉BD，则四边形BDNM
6、为平行四边形，因此NDBM，AND为异面直线BM与AN所成的角(或其补角).设BC2，则BMND，AN，AD，在ADN中，由余弦定理得cosAND.故异面直线BM与AN所成角的余弦值为.答案三、解答题9.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解(1)AM，CN不是异面直线.理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1A綉C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，
7、M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.(2)直线D1B和CC1是异面直线.理由：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面矛盾.所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线.10.(2017成都月考)如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.解(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22 .(2
8、)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.11.以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3解析假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A，B
9、，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.答案B12.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定解析如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA.若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C.若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直.
10、因此l1与l4的位置关系不能确定.答案D13.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为_.解析取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綉AD.GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角).在GHF中，可求HF，GFGH，cosHFG.答案14.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点.(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥OABCD的体积V42.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE.又M为OA中点，MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM为直角三角形，tanEMD.异面直线OC与MD所成角的正切值为.5