1、第5讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2015浙江卷)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m()A.若l，则 B.若，则lmC.若l，则 D.若，则lm解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，与可能相交；D选项中，l与m可能异面.答案A2.(2017深圳四校联考)若平面，满足，l，P，Pl，则下列命题中是假命题的为()A.过点P垂直于平面的直线平行于平面B.过点P垂直于直线l的直线在平面内C.过点P垂直于平面的直线在平面内D.过点P且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面解析由于过点P垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线，
2、因此也平行于平面，因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面，不一定在平面内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确.答案B3.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面PAED.平面PDE平面ABC解析因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确.在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE，BC平面PAE，DFBC，则DF平面PAE，又DF平面PDF，从而平面PDF平面PAE.因此选项B，C均正确.答案D4.(2017西安调研
3、)设l是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若l，l，则 B.若l，l，则C.若，l，则l D.若，l，则l解析A中，或与相交，不正确.B中，过直线l作平面，设l，则ll，由l，知l，从而，B正确.C中，l或l，C不正确.D中，l与的位置关系不确定.答案B5.(2017天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是()A. B.C. D.解析由题意知，BD平面ADC，且AC平面ADC，故BDAC，正
4、确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错.答案B二、填空题6.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_.解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形.由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形.答案47.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解
5、析由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD.又PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC等)8.(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号).解析对于，可以平行，也可以相交但不垂直，故错误.对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，m，所以ml，所以mn，故正确.对于，因为，所以，没有公共点.又m，所以m，没有公共点，由线面平行的定义可知m，故正确.对于，因为mn，所以m
6、与所成的角和n与所成的角相等.因为，所以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相等，故正确.答案三、解答题9.(2017青岛质检)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积.(1)证明由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD.同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BCG.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)解在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC平面BCD，平面ABC平面BDCBC，AO
7、平面ABC，知AO平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在AOB中，AOABsin 60，所以VDBCGVGBCDSDBChBDBCsin 120.10.(2016北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由.(1)证明因为PC平面ABCD，所以PCDC.又因为ACDC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)证明因为ABCD，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，所以PCAB.又因为
8、PCACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.11.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面.则下列说法正确的是()A.若mn，n，则mB.若m，则mC.若m，n，n，则mD.若mn，n，则m解析A中，由mn，n可得m或m与相交或m，错误；B中，由m，可得m或m与相交或m，错误；C中，由m，n可得mn，又n，所以m，正确；D中，由mn，n，可得m或m与相交或m，错误.答案C1
9、2.(2017贵阳模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A.O是AEF的垂心 B.O是AEF的内心C.O是AEF的外心 D.O是AEF的重心解析由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA平面PEF，从而PAEF，而PO平面AEF，则POEF，因为POPAP，所以EF平面PAO，EFAO，同理可知AEFO，AFEO，O为AEF的垂心.答案A13.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE
10、；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上).解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；又平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，错；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正确.答案14.(2016四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得
11、直线CM平面PAB，并说明理由.(2)证明：平面PAB平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：因为ADBC，BCAD.所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB平面PAB.CM平面PAB.所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知，PAAB，PACD.因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD.又BD平面ABCD，从而PABD.因为ADBC，BCAD，M为AD的中点，连接BM，所以BCMD，且BCMD.所以四边形BCDM是平行四边形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.6