1、第3讲 平面向量的数量积及应用举例基础达标1已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量(1，1)，n(1，1)，且n2，则n等于()A2B2C0D2或2解析：选B.nn()nn(1，1)(1，1)2022.2(2019温州市十校联合体期初)设正方形ABCD的边长为1，则|等于()A0BC2D2解析：选C.正方形ABCD的边长为1，则|2|2|2|22121212124，所以|2，故选C.3(2019温州市十校联合体期初)已知平面向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，且ac0，bc0.()A若ab0，y0B若ab0则x0，y0则x0，y0则x0，y0解析：选A.由ac0，bc0，若ab0，b
2、c10，ab10，可举a(1，0)，b(2，1)，c(1，1)，则ac10，bc30，ab20，由cxayb，即有1x2y，1y，解得x1，y1，则可排除C，D.故选A.4在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：选C.由()|2，得()0，即()0，所以20，所以.所以A90，又因为根据条件不能得到|.故选C.5已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则的最大值为()A1B2C3D4解析：选B.以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1，0)，C(2，2)，
3、D(0，2)，设E(，)(02)，则(，2)，(1，2)，所以342.所以的最大值为2.故选B.6(2019金华市东阳二中高三月考)若a，b是两个非零向量，且|a|b|ab|，则b与ab的夹角的取值范围是()ABCD解析：选B.因为|a|b|ab|，不妨设|ab|1，则|a|b|.令a，b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形故有OAB为等腰三角形，故有OABOBA，且00，解得0b2.令f(b).所以当b时，f(b)取得最小值.又f(0)0，f(2)2.所以f(b)2.即的取值范围是.能力提升1(2019嘉兴市高考模拟)已知平面向量a、b满足|a|b|1，ab，
4、若向量c满足|abc|1，则|c|的最大值为()A1BCD2解析：选D.由平面向量a、b满足|a|b|1，ab，可得|a|b|cosa，b11cosa，b，由0a，b，可得a，b，设a(1，0)，b，c(x，y)，则|abc|1，即有1，即为1，故|abc|1的几何意义是在以为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c|的几何意义是表示向量c的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2(2019温州市高考模拟)记maxa，b，已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，ab0，cab(，0，且1)，则当maxca，cb取最小值时，|c|()ABC1D解析：选A.如图，设a，b，则
5、a(1，0)，b(0，2)，因为，0，1，所以01.又cab，所以ca(abb)a；cb(abb)b44.由44，得.所以maxca，cb.令f().则f().所以f()min，此时，所以cab.所以|c|.故选A.3(2019瑞安市龙翔高中高三月考)向量m，n(sin x，cos x)，x(0，)，若mn，则tan x_；若m与n的夹角为，则x_解析：m，n(sin x，cos x)，x(0，)，由mn，得cos xsin x0，即sin0，因为0x，所以x，则x，x.所以tan x1.由m与n的夹角为，得cossin，因为0x，所以x，则x，x.答案：14(2019宁波市余姚中学高三期中)
6、已知向量，的夹角为60，|2，|2，.若2，则|的最小值是_，此时，夹角的大小为_解析：向量，的夹角为60，|2，|2，即有|cos 60222，若2，可得2，则|2，当，1时，|的最小值为2.由 ，可得2426，则cos，由0，180，可得，30.答案：2305(2019绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a，b，c满足|a|4，|b|3，|c|2，bc3，求(ab)2(ac)2(ab)(ac)2的最大值解：设a，b，c，ab与ac所成夹角为，则(ab)2(ac)2(ab)(ac)2|AB|2|AC|2|AB|2|AC|2cos2|AB|2|AC|2sin2|AB|2|AC|2sin2CA
7、B4S，因为|b|3，|c|2，bc3，所以b，c的夹角为60，设B(3，0)，C(1，)，则|BC|，所以SOBC32sin 60，设O到BC的距离为h，则BChSOBC，所以h，因为|a|4，所以A点落在以O为圆心，以4为半径的圆上，所以A到BC的距离最大值为4h4.所以SABC的最大值为2，所以(ab)2(ac)2(ab)(ac)2的最大值为4(43)2.6. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(1，0)，|1，且AOC，其中O为坐标原点 (1)若，设点D为线段OA上的动点，求|的最小值；(2)若，向量m，n(1cos ，sin 2cos )，求mn的最小值及对应的值解：(1)设D(t，0)(0t1)，由题意知C，所以，所以|2tt2t2t1，所以当t时，|最小，为.(2)由题意得C(cos ，sin )，m(cos 1，sin )，则mn1cos2sin22sin cos 1cos 2sin 21sin，因为，所以2，所以当2，即时，sin取得最大值1.所以mn的最小值为1，此时.9