1、第2讲 平面向量基本定理及坐标表示基础达标1.已知a(1，1)，b(1，1)，c(1，2)，则c等于()AabBabCabDab解析：选B.设cab，则(1，2)(1，1)(1，1)，所以所以所以cab.2.设向量a(x，1)，b(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A2B2C2D0解析：选B.因为a与b方向相反，所以bma，m0，则有(4，x)m(x，1)，所以解得m2.又m0，所以m2，xm2.3.已知A(1，4)，B(3，2)，向量(2，4)，D为AC的中点，则()A(1，3)B(3，3)C(3，3)D(1，3)解析：选B.设C(x，y)，则(x3，y2)(2，4)，所以解得即C(
2、1，6).由D为AC的中点可得点D的坐标为(0，5)，所以(03，52)(3，3).4.(2019温州瑞安七中高考模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则()A8B4C4D2解析：选C.设正方形的边长为1，则易知c(1，3)，a(1，1)，b(6，2)；因为cab，所以(1，3)(1，1)(6，2)，解得2，故4.5.已知非零不共线向量、，若2xy，且(R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()Axy20B2xy10Cx2y20D2xy20解析：选A.由，得()，即(1).又2xy，所以消去得xy20，故选A.6.(2019金华十校联考)已知ABC的三个顶点A，B，C
3、的坐标分别为(0，1)，(，0)，(0，2)，O为坐标原点，动点P满足|1，则|的最小值是()A1B1C1D1解析：选A.设点P(x，y)，动点P满足|1可得x2(y2)21.根据的坐标为(x，y1)，可得|，表示点P(x，y)与点Q(，1)之间的距离.显然点Q在圆C：x2(y2)21的外部，求得QC，|的最小值为QC11，故选A.7.已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_.解析：因为ab，所以(1sin )(1sin )10，得cos2，所以cos ，又因为为锐角，所以.答案：8.设向量(1，2)，(a，1)，(b，0)，其中a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则ab
4、的最大值为_.解析：易知(a1，1)，(b1，2)，由A，B，C三点共线知，故2(a1)(b1)0，所以2ab1.由基本不等式可得12ab2，当且仅当2ab时等号成立，所以ab，即ab的最大值为.答案：9.(2019台州质检)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a(cos C，bc)，向量b(cos A，a)且ab，则tan A_.解析：ab(bc)cos Aacos C0，即bcos Accos Aacos C，再由正弦定理得sin Bcos Asin Ccos Acos Csin Asin Bcos Asin(CA)sin B，即cos A，所以sin A，tan A.答案
5、：10.如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且，则_.解析：因为DEBABC45，所以ABDE，过D作AB，AC的垂线DM，DN，则ANDMBMBDsin 45，所以DNAMABBM2，所以，所以，所以1.答案：111.已知a，b，c，d，e，设tR，如果3ac，2bd，et(ab)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？解：由题设，知dc2b3a，ec(t3)atb.C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.若a，b共线，则t可为任意实数；若a，b不共线，则有解之得t.综
6、上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t.12.(2019杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，且|DM|1，|DN|2，MDN.(1)试用向量，表示向量，；(2)求|，|；(3)设O为ADM的重心(三角形三条中线的交点)，若xy，求x，y的值.解：(1)如图所示，；.(2)由(1)知，所以|，|.(3)由重心性质知：0，所以有：0xyx()y()(xy1)(x)(y).所以(xy1)(x)(y)111xy.能力提升1.(2019宁波诺丁汉大学附中期中考试)在ABC中，BC7，AC6，cos C.若动点P满足(1)(R)，则点P的轨迹与直
7、线BC，AC所围成的封闭区域的面积为()A5B10C2D4解析：选A.设，因为(1)(1)，所以B，D，P三点共线.所以P点轨迹为直线BC.在ABC中，BC7，AC6，cos C，所以sin C，所以SABC7615，所以SBCDSABC5.2.设两个向量a(2，2cos2)和b，其中，m，为实数，若a2b，则的取值范围是()A6，1B4，8C(，1D1，6解析：选A.由a2b，得所以又cos22sin sin2 2sin 1(sin 1)22，所以2cos22sin 2，所以22m2，将2(2m2)2代入上式，得2(2m2)2m2，得m2，所以26，1.3.已知向量(3，4)，(0，3)，(
8、5m，3m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是_.解析：由题意得(3，1)，(2m，1m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则3(1m)1(2m)，解得m.答案：m4.(2019浙江名校新高考研究联盟联考) 如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，ADDCCBAB1，F为BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动，E为圆弧与AB的交点，若，其中，R，则2的取值范围是_.解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，E(1，0)，D，B(2，0)，C，F；设P(cos ，sin )(060)，因为，所以(cos ，sin ).所以所以2sin cos 2sin(
9、30)，因为060，所以12sin(30)1.答案：1，15.(2019嘉兴模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线.解：(1)t1t2t1(0，2)t2(4，4)(4t2，2t14t2).当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明：当t11时，由(1)知(4t2，4t22).因为(4，4)，(4t2，4t2)t2(4，4)t2，且有公共点A，所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线.6.已知a(1，0)，b(2，1).(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A、B、C三点共线，求m的值.解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2).因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：因为A、B、C三点共线，所以，即2a3b(amb)，所以，解得m.法二：2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m(2，1)(2m1，m).因为A、B、C三点共线，所以.所以8m3(2m1)0，即2m30，所以m.7