1、第1讲 平面向量的概念及线性运算基础达标1下列各式中不能化简为的是()A()B()()CD解析：选D.()；()()()()；，显然由得不出，所以不能化简为的式子是D.2设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是()Aa与a的方向相反Ba与2a的方向相同C|a|a|D|a|a解析：选B.对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反；B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小3(2019浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，|6，|，则|()A12B6C3
2、D解析：选C.因为|2|，|，所以2|6，所以|3，故选C.4已知a，b是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是()A|a|b|ab|B|ab|a|b|C(ab)2a22abb2D(ab)3a33a2b3ab2b3解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|b|ab|，所以A正确；因为|ab|a|b|cos a，b|，又|cos a，b|1，所以|ab|a|b|恒成立，B正确；由向量数量积的运算，得(ab)2a22abb2，C正确；根据排除法，故选D.5已知a，b是非零向量，命题p：ab，命题q：|ab|a|b|，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充
3、分也不必要条件解析：选A.若ab，则|ab|2a|2|a|，|a|b|a|a|2|a|，即pq，若|ab|a|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即ab，且0，故q p.所以p是q的充分不必要条件，故选A.6(2019温州市普通高中模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若(0，0)，则的取值范围是()A(0，1)B(1，)C(1， D(0， )解析：选B.由题意可得kkk(0k1)，又A，D，B三点共线，所以kk1，则1，即的取值范围是(1，)，选项B正确7已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示)解析：如图，ba，ab.答案：ba
4、ab8若|8，|5，则|的取值范围是_解析：，当，同向时，|853；当，反向时，|8513；当，不共线时，3|13.综上可知3|13.答案：3，139(2019温州质检)如图所示，在ABC中，BO为边AC上的中线，2，设，若(R)，则的值为 _解析：因为2，所以，又，可设m，从而.因为，所以，1.答案：10(2019杭州中学高三月考)已知P为ABC内一点，且520，则PAC的面积与ABC的面积之比等于_解析：因为520，所以，延长AP交BC于D，则，从而可以得到D是BC边的三等分点，且CDCB，设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为dd，所以PAC的面积与ABC的面积之比为.答案：1
5、1经过OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，求的值解：设a，b，则(ab)，nbma，(ab)maab.由P，G，Q共线得，存在实数使得，即nbmaab，从而消去，得3.12.在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解：()ab.()()ab.能力提升1设P是ABC所在平面内的一点，且2，则PAB与PBC的面积的比值是()ABCD解析：选B.因为2，所以，又PAB在边PA上的高与PBC在边PC上的高相等，所以.2(2019福建省普通高中质量检查)已知D，E是ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若
6、xy，则xy的取值范围是()ABCD解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数使，所以()，所以(1)，则，所以xy1且x，于是xyx(1x)，所以当x时，xy取得最大值；当x或x时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为，故选D.3(2019浙江名校协作体高三联考)如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn_解析：作BGAC，则BGNC，.因为O是BC的中点，所以NOCGOB，所以|BG|NC|，又因为|AC|n|AN|，所以|NC|(n1)|AN|，所以n1.因为|AB|m|AM|，所以|BM|(1m)|AM|，
7、所以1m，所以n11m，mn2.答案：24. (2019温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD中，AB3，AD4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足1，若xy，则xy的最小值为_解析：连接MN交AC于点G，由勾股定理，知MN2CM2CN2，所以1，即MNCMCN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线因为xy(xy)，所以由共线定理知，(xy)，所以xy，又因为|max514，所以xy的最小值为.答案：5如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若a，b，2.(1)用a，b表示；(2)证明A，M，C三点共线解：(1)abab，又E为AD中点，所以ab，因为EF是梯形的中位线，且2，所以()a，又M，N是EF的三等分点，所以a，所以abaab.(2)证明：由(1)知a，所以ab，又与有公共点M，所以A，M，C三点共线6已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)求证：A，P，B三点共线的充要条件是mn1.证明：充分性：若mn1，则m(1m)m()，所以m()，即m，所以与共线又因为与有公共点B，则A，P，B三点共线必要性：若A，P，B三点共线，则存在实数，使，所以()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.因为O，A，B不共线，所以，不共线，所以所以mn1.所以A，P，B三点共线的充要条件是mn1.8