1、第7讲 正弦定理与余弦定理基础达标1ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2ac，c2a，则cos C()ABCD解析：选B.由题意得，b2ac2a2，ba，所以cos C，故选B.2已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcos Cc(13cos B)，则sin Csin A()A23B43C31D32解析：选C.由正弦定理得3sin Bcos Csin C3sin Ccos B，3sin(BC)sinC，因为ABC，所以BCA，所以3sin Asin C，所以sin Csin A31，选C.3在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，
2、a3，SABC2，则b的值为()A6B3C2D2或3解析：选D.因为SABC2bcsin A，所以bc6，又因为sin A，所以cos A，又a3，由余弦定理得9b2c22bccos Ab2c24，b2c213，可得b2或b3.4在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsin Aacos B0，且b2ac，则的值为()ABC2D4解析：选C.在ABC中，由bsin Aacos B0，利用正弦定理得sin Bsin Asin Acos B0，所以tan B，故B.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，即b2(ac)23ac，又b2ac，所以4b2(ac)2，求得
3、2.5(2019杭州市高三期末检测)设点P在ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设ABP与ACP的外接圆面积之比为，当点P不与B，C重合时()A先变小再变大B当M为线段BC中点时，最大C先变大再变小D是一个定值解析：选D.设ABP与ACP的外接圆半径分别为r1，r2，则2r1，2r2，因为APBAPC180，所以sinAPBsinAPC，所以，所以.故选D.6在ABC中，|3，则ABC面积的最大值为()ABCD3解析：选B.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为|3，所以bccos Aa3.又cos A11，所以cos A，所以0sin A，所以ABC的面积Sbcsin Atan A
4、，故ABC面积的最大值为.7在ABC中，A，b2sin C4sin B，则ABC的面积为_解析：因为b2sin C4sin B，所以b2c4b，所以bc4，SABCbcsin A42.答案：28若锐角ABC的面积为10，且AB5，AC8，则BC等于_解析：由面积公式，得SABACsin A10，所以sin A.因为 A(0，)，所以A.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A2564258cos49，所以BC7.答案：79(2019温州市高考模拟)在ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，记S为ABC的面积，若A60，b1，S，则c_，cos B_解析：因为A60，b1
5、，Sbcsin A1c，所以解得c3.由余弦定理可得a，所以cos B.答案：310(2019金丽衢十二校联考模拟)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acos Bbcos A，4S2a2c2，其中S是ABC的面积，则C的大小为_解析：ABC中，acos Bbcos A，所以sin Acos Bsin Bcos A，所以sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)0，所以AB，所以ab；又ABC的面积为Sabsin C，且4S2a2c2，所以2absin C2a2c2a2b2c2，所以sin Ccos C，所以C.答案：11在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的
6、对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解：(1)由题意知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因为0B90，0C0，则cos B，故a5.(2)由(1)知，sin B，由Sacsin B9，得c6.由b2a2c22accos B13，得b.故ABC的周长为11.能力提升1在ABC中，角A，B，C
7、的对边分别是a，b，c，若b1，a2c，则当C取最大值时，ABC的面积为()ABCD解析：选B.当C取最大值时，cos C最小，由cos C，当且仅当c时取等号，且此时sin C，所以当C取最大值时，ABC的面积为absin C2c1.2在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a，a2.若b1，3，则c的最小值为()A2B3C2D2解析：选B.由a，得sin C由余弦定理可知cos C，即3cos Csin C，所以tan C，故cos C，所以c2b22b12(b)29，因为b1，3，所以当b时，c取最小值3.3已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asin Bb
8、，b2，c3，AD是内角的平分线，则BD_解析：由2asin Bb及正弦定理得2sinBACsin Bsin B，所以sinBAC.因为BAC为锐角，所以BAC.因为AD是内角平分线，所以.由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosBAC492237，所以BC，BD.答案：4(2019金华十校联考)设ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若ABC的三个内角大小满足ABC345，则的值为_解析：在ABC中，ABC，又ABC345，所以A，B，C.由正弦定理2R(a、b、c为ABC中角A、B、C的对边，R为ABC的外接圆半径)可得，ac，bc，R.所以S1absin Cc2sin Csin
9、 Asin Bsin C，S2R2，所以.答案：5(2019浙江省名校协作体高三联考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c2，C.(1)当2sin 2Asin(2BC)sin C时，求ABC的面积；(2)求ABC周长的最大值解：(1)由2sin 2Asin(2BC)sin C得4sin Acos Asin(BA)sin(AB)，得2sin Acos Asin Bcos A，当cos A0时，A，B，a，b，当cos A0时，sin B2sin A，由正弦定理得b2a，联立，解得a，b.故ABC的面积为SABCabsin C.(2)由余弦定理及已知条件可得：a2b2ab4，
10、由(ab)243ab43得ab4，故ABC周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形时取到6(2019杭州市高考模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msin Asin Bsin C(mR)(1)当m3时，求cos A的最小值；(2)当A时，求m的取值范围解：(1)因为在ABC中msin Asin Bsin C，当m3时， 3sin Asin Bsin C，由正弦定理可得3abc，再由余弦定理可得cos A，当且仅当bc时取等号，故cos A的最小值为.(2)当A时，可得msin Bsin C，故msin Bsin Csin Bsinsin Bsin Bcos Bsin Bsin Bcos B2sin，因为B，所以B，所以sin，所以2sin(1，2，所以m的取值范围为(1，28