1、第8讲 离散型随机变量的均值与方差 基础达标1若随机变量X的分布列为，其中C为常数，则下列结论正确的是()XCP1AE(X)D(X)0BE(X)C，D(X)0CE(X)0，D(X)CDE(X)D(X)C解析：选B.E(X)C1C，D(X)(E(X)C)210，故选B.2(2019稽阳市联谊学校高三联考)随机变量的分布列如下，且满足E()2，则E(ab)的值为()123PabcA.0B1C2D无法确定，与a，b有关解析：选B.因为E()2，则a2b3c2，又abc1，联立两式可得ac，2ab1，E(ab)aE()b2ab1.3(2018高考浙江卷)设0pp2，E(1)E(2)Bp1E(2)Cp1
2、p2，E(1)E(2)Dp1p2，E(1)E(2)解析：选A.随机变量1，2的分布列为112P2123P所以E(1)，E(2)，所以E(1)0，所以p1p2.11某射击运动员在一次射击比赛中所得环数的分布列如下：3456Px0.10.3y已知的均值E()4.3，则y的值为_解析：由题意知，x0.10.3y1，又E()3x40.150.36y4.3，两式联立解得y0.2.答案：0.212已知X的分布列为X101P且YaX3，E(Y)，则a的值为_解析：E(X)101，E(Y)E(aX3)aE(X)3a3，所以a2.答案：213设口袋中有黑球、白球共9个从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为，
3、则口袋中白球的个数为_解析：设白球有m个，则取得白球的数学期望是012，即2，解得m3.答案：314随机变量的分布列如下表：101Pabc其中a，b，c成等差数列若E()，则D()的值是_解析：由题意可得解得所以D().答案：15已知随机变量的分布列为101P那么的数学期望E()_，设21，则的数学期望E()_解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得，E()101，E()E(21)2E()121.答案：16(2019浙江新高考冲刺卷)某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自
4、不同班级的概率为_，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为_解析：设“选出的3名同学是来自互不相同班级”为事件A，则P(A).随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(Xk)(k0，1，2，3)所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.答案：17从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有_种，记取出的4只鞋子中成双的鞋子对数为X，则随机变量X的数学期望E(X)_解析：从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有CCCC48.X0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列为X012PE(X)012.答案：4
5、8能力提升1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求a，b的值解：(1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为X01234P所以E(X)012341.5，D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D(Y)a2D(X)得2.75a211，得a2，又E(Y)aE(X)b，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4，所以或2设袋子中装有a个红球，b个黄球，
6、c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E，D，求abc.解：(1)由题意得2，3，4，5，6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123P所以E，D(1)2(2)2(3)2，化简得解得a3c，b2c，故abc321.3C1：yaxb，a，b1，2，3，4，5，C2：x2y22.(1)求
7、C1，C2有交点的概率P(A)；(2)求交点个数的数学期望E()解：(1)设圆心(0，0)到直线axyb0的距离为d，若C1，C2有交点，则db22(a21)当b1时，a1，2，3，4，5；当b2时，a1，2，3，4，5；当b3时，a2，3，4，5；当b4时，a3，4，5；当b5时，a4，5.共5543219种情况，所以P(A).(2)当交点个数为0时，直线与圆相离，有6种情况；当交点个数为1时，直线与圆相切，b22(a21)，只有a1，b2这1种情况；当交点个数为2时，由(1)知直线与圆相交，有18种情况所以E()012.4(2019温州八校联考)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工
8、程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择若投资甲项目一年后可获得的利润1(万元)的概率分布列如下表所示：1110120170Pm0.4n且1的期望E(1)120；若投资乙项目一年后可获得的利润2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0p1)和1p .若乙项目产品价格一年内调整次数X(次)与2的关系如下表所示：X012241.2117.6204(1)求m，n的值；(2)求2的分布列；(3)若E(1)E(2)，则选择投资乙项目，求此时p的取值范围解：(1)由题意得解得m0.5，n0.1.(2)2的可能取值为41.2，117.6，204，P(241.2)(1p)1(1p)p(1p)，P(2117.6)p1(1p)(1p)(1p)p2(1p)2，P(2204)p(1p)，所以2的分布列为241.2117.6204Pp(1p)p2(1p)2p(1p)(3)由(2)可得：E(2)41.2p(1p)117.6p2(1p)2204p(1p)10p210p117.6，由E(1)E(2)，得12010p210p117.6，解得：0.4p0.6，即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)10