1、第2讲 等差数列及其前n项和基础达标1等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8B10C12D14解析：选C.由题知3a1d12，因为a12，解得d2，又a6a15d，所以a612，故选C.2(2019浙江新高考冲刺卷)已知等差数列an，Sn是an的前n项和，则对于任意的nN*，“an0”是“Sn0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.对于任意的nN*，“an0”能推出“Sn0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列5，3，1，1，不满足条件，不是必要条件，故选A.3已知等差数列an，且3(a3a5)2(a7a10a13)
2、48，则数列an的前13项之和为()A24B39C104D52解析：选D.因为an是等差数列，所以3(a3a5)2(a7a10a13)6a46a1048，所以a4a108，其前13项的和为52，故选D.4(2019金华十校联考)在数列an中，若a12，且对任意正整数m，k，总有amkamak，则an的前n项和Sn()An(3n1)BCn(n1)D解析：选C.依题意得an1ana1，即有an1ana12，所以数列an是以2为首项、2为公差的等差数列，an22(n1)2n，Snn(n1)，选C.5若数列an满足a115，且3an13an2，则使akak10的k值为()A22B21C24D23解析：
3、选D.因为3an13an2，所以an1an，又a115，所以数列an是首项为15，公差为的等差数列，所以an15(n1)n，且an为递减数列，令ann0，得n23.5，可知使akak10的k值为23.6(2019温州十校联合体期初)已知等差数列an的前n项和为Sn，则()A若S9S8，S9S10，则S170，S180，S18S8，S8S10C若S170，S180，a180，a180，S18S8，且S9S8a9得a90，又S9S10，S10S9a10，则a100，S189(a10a9)符号不确定，A错误；B在等差数列an中，S170，且S180，S189(a10a9)0，a10a9，所以等差数列
4、an的公差dS8，S10S8a9a100，a180，S189(a1a18)9(a2a17)0，D错误故选B.7已知等差数列an的公差d0，且a3a9a10a8.若an0，则n_解析：因为a3a9a10a8，所以a12da18da19d(a17d)，解得a14d，所以an4d(n1)d(n5)d，令(n5)d0(d0)，可解得n5.答案：58在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时，Sn取得最大值，说明所以所以1d.答案：9已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意nN*，均有an，Sn，a成等差
5、数列，则an_解析：因为an，Sn，a成等差数列，所以2Snana，当n1时，2S12a1a1a，又a10，所以a11，当n2时，2an2(SnSn1)anaan1a，所以(aa)(anan1)0，所以(anan1)(anan11)0，又anan10，n2，所以anan11，n2，所以an是等差数列，其公差为1，因为a11，所以ann(nN*)答案：n10(2019嘉兴一中高考适应性考试)设等差数列an的前n项和为Sn，且满足a80，a8a90，则满足Sn0的n的最大值是_；数列(1n15)中最大的项为第_项解析：因为等差数列an满足a80，a8a90，S16(a1a16)8(a8a9)0的n
6、的最大值是15.因为等差数列an的前n项和为Sn，且满足a80，a8a90，所以该数列是递减数列，且|a8|最小，|S8|最大，所以数列(1n15)中最大的项为第8项答案：15811已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a64，S55.(1)求数列an的通项公式；(2)若Tn|a1|a2|a3|an|，求T5的值解：(1)由题知，解得，故an2n7(nN*)(2)由an2n70，得n，因为nN*，即n3，所以当n3时，an2n70，当n4时，an2n70.易知Snn26n，S39，S55，所以T5(a1a2a3)a4a5S3(S5S3)S52S313.12(2019嵊州模拟)已知函数f(x)
7、x22(n1)xn25n7(nN*)(1)设函数yf(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；(2)设函数yf(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列bn，求bn的前n项和Sn.解：(1)证明：因为f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8，所以an3n8，因为an1an3(n1)8(3n8)3，所以数列an为等差数列(2)由题意知，bn|an|3n8|，所以当1n2时，bn83n，Snb1bn；当n3时，bn3n8，Snb1b2b3bn521(3n8)7.所以Sn能力提升1下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增
8、数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中真命题为()Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4解析：选D.由an1and0，知数列an是递增数列，可知p1是真命题；由(n1)an1nan(n1)(a1nd)na1(n1)da12nd，仅由d0是无法判断a12nd的正负的，因而不能判定(n1)an1，nan的大小关系，故p2是假命题；显然，当ann时，1，数列是常数数列，不是递增数列，故p3是假命题；数列的第n1项减去数列的第n项an13(n1)d(an3nd)(an1an)3(n1)d3ndd3d4d0，所以an13(n1)dan3nd，即数列an3nd是递增数列，
9、p4是真命题2(2019金华市东阳二中高三调研)设数列an的前n项和为Sn，且a1a21，nSn(n2)an为等差数列，则an()ABCD解析：选A.设bnnSn(n2)an，则b14，b28，因为bn为等差数列，所以bn4n，即nSn(n2)an4n，Snan4.当n2时，SnSn1anan10，所以anan1，即2，又因为1，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以(nN*)，即an(nN*)，故选A.3已知等差数列an满足a90，且a8|a9|，数列bn满足bnanan1an2(nN*)，bn的前n项和为Sn，当Sn取得最大值时，n的值为_解析：设等差数列an的公差为d，因为a9|a9|，
10、所以d0，a8a90.所以当n8时，an0；当n9时，an0，当n9时，anan1an20，而a7a8a90，又a7a8a9a8a9a10a8a9(a7a10)a8a9(a8a9)0，所以当Sn取得最大值时，n6.答案：64(2019舟山市普陀三中高三期中)等差数列an的前n项和为Sn，且a4a28，a3a526.记Tn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，TnM都成立，则M的最小值是_解析：因为an为等差数列，由a4a28，a3a526，可解得Sn2n2n，所以Tn2，若TnM对一切正整数n恒成立，则只需Tn的最大值小于或等于M即可又Tn20，所以当n2时，数列bn是递增数列，则，所以实数t的取值范围是.7