1、第7讲 抛物线 基础达标1已知点A(2，3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CD解析：选C.由已知，得准线方程为x2，所以F的坐标为(2，0)又A(2，3)，所以直线AF的斜率为k.2已知抛物线C1：x22py(p0)的准线与抛物线C2：x22py(p0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若FAB的面积等于1，则C1的方程是()Ax22yBx2yCx2yDx2y解析：选A.由题意得，F，不妨设A，B(p，)，所以SFAB2pp1，则p1，即抛物线C1的方程是x22y，故选A.3(2019丽水调研)已知等边ABF的顶点F是抛物线C：y22px(p
2、0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且ABl，则点A的位置()A在C开口内B在C上C在C开口外D与p值有关解析：选B.设B，由已知有AB中点的横坐标为，则A，ABF是边长|AB|2p的等边三角形，即|AF| 2p，所以p2m24p2，所以mp，所以A，代入y22px中，得点A在抛物线C上，故选B.4已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|FP3|FP2|2解析：选C.根据抛物线的定义知|F
3、P1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，所以|FP1|FP3|(x1x3)p2x2p22|FP2|.5. 抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4B3C4D8解析：选C.F(1，0)，直线AF：y(x1)，代入y24x得3x210x30，解得x3或x.由于点A在x轴上方且直线的斜率为，所以其坐标为(3，2)因为|AF|AK|314，AF的斜率为，即倾斜角为60，所以KAF60，所以AKF为等边三角形，所以AKF的面积为424.6(2019杭州市高考模拟)设倾斜角为的直线l经过抛物线：y22px(p
4、0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方若m，则cos 的值为()ABCD解析：选A.设抛物线y22px(p0)的准线为l：x.如图所示，分别过点A，B作AMl，BNl，垂足分别为M，N.在三角形ABC中，BAC等于直线AB的倾斜角，由m，|AF|m|BF|，|AB|AF|BF|(m1)|BF|，根据抛物线的定义得：|AM|AF|m|BF|，|BN|BF|，所以|AC|AM|MC|m|BF|BF|(m1)|BF|，在直角三角形ABC中，cos cos BAC，故选A.7已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为_解析：设M(xM
5、，yM)，由抛物线定义可得|MF|xM2p，解得xM，代入抛物线方程可得yMp，则直线MF的斜率为.答案：8已知抛物线C的方程为y22px(p0)，M的方程为x2y28x120，如果抛物线C的准线与M相切，那么p的值为_解析：将M的方程化为标准方程：(x4)2y24，圆心坐标为(4，0)，半径r2，又因为抛物线的准线方程为x，所以2，p12或4.答案：12或49若点P在抛物线y2x上，点Q在圆(x3)2y21上，则|PQ|的最小值为_解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3，0)，则|PQ|PA|AQ|PA|1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|
6、最小设P(x0，y0)，则yx0，|PA| ，当且仅当x0时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值1.答案：110(2019浙江省名校协作体高三联考)抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，焦点为F.(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程；(2)P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程解：(1)抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，设抛物线解析式为y22px，把(4，4)代入，得1624p，所以p2，所以抛物线标准方程为y24x，焦点坐标为F(1，0)(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，F(1，0)，M是PF的中点，则x012x，0y02y，所以x02x1
7、，y02y，因为P是抛物线上一动点，所以y4x0，所以(2y)24(2x1)，化简得y22x1.所以M的轨迹方程为y22x1.11已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA，因为MNFA，所以kMN.又FA的方程为y(x1)，MN的
8、方程为y2x，联立，解得x，y，所以点N的坐标为.能力提升1(2019台州书生中学月考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120，过AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN，垂足为N，则的最大值为()AB1CD2解析：选A.过A、B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，连接AF、BF，由抛物线的定义知|MN|(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)，在AFB中，|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos 120|AF|2|BF|2|AF|BF|.所以，当且仅当|AF|BF|时取等号，所以的最大值为.2已知F为抛物线y2x的焦点，点A
9、，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2B3CD解析：选B.设A(x1，)，B(x2，)，则SAFO.由2得x1x22，即x1x220，解得x1x24，所以(|)2(xx1)(xx2)xxx1x2(x1x2)x1x2204(x1x2)，因为cosAOB，所以sinAOB.所以SAOB|sinAOB| ，所以SABOSAFO23，当，即x1时等号成立3如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0)经过C，F两点，则_解析：依题知C，F，因为点C，F在抛物线上，所以两式相除得2
10、10，解得1或1(舍)答案：14(2019台州市高考模拟)如图，过抛物线y24x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若4，则|_解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则DFp2，由抛物线的定义可知FBBB1，AFAA1，因为4，所以，所以FBBB1.所以FC4FB6，所以cos DFC，所以cos A1AC，解得AF3，所以ABAFBF3.答案：5已知抛物线x24y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点(1)当|PF|2时，求点P的坐标；(2)求点P到直线yx10的距离的最小值解：(1)由抛物线x24y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象
11、上的一个动点，故设P(a0)，因为|PF|2，结合抛物线的定义得12，所以a2，所以点P的坐标为(2，1)(2)设点P的坐标为P(a0)，则点P到直线yx10的距离为.因为a10(a2)29，所以当a2时，a10取得最小值9，故点P到直线yx10的距离的最小值为.6(2019杭州宁波二市三校联考)已知A，B，C是抛物线y22px(p0)上三个不同的点，且ABAC.(1)若A(1，2)，B(4，4)，求点C的坐标；(2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标解：(1)因为A(1，2)在抛物线y22px(p0)上，所以p2.所以抛物线方程为y24x.设C，则由kABkAC1，即1，解得t6，即C(9，6)(2)设A(x0，y0)，B，C，则y2px0，直线BC的方程为，即(y1y2)y2pxy1y2，由kABkAC1，得y0(y1y2)y1y2y4p2，与直线BC的方程联立，化简，得(y1y2)(yy0)2p(x2px0)，故直线BC恒过点E(x02p，y0)因此直线AE的方程为y(xx0)y0，代入抛物线的方程y22px(p0)，得点D的坐标为.因为线段AD总被直线BC平分，所以解得x0，y0p，即点A的坐标为.9