1、第5讲 椭圆基础达标1已知椭圆1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于()A8B7C6D5解析：选A.因为椭圆1的焦点在x轴上所以解得6mb0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为_解析：由题意可知e，2b4，得b2，所以解得所以椭圆的标准方程为1.答案：18(2019义乌模拟)已知圆(x2)2y21经过椭圆1(ab0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e_解析：圆(x2)2y21经过椭圆1(ab0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1，0)，一个顶点为A(3，0)，所以c1，a3，因此椭圆的离心率为.答案：9(2019瑞安四校联考)椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线x
2、m与椭圆相交于点A，B.若FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_解析：设椭圆的右焦点为F，如图，由椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当AB过右焦点F时等号成立此时周长最大，即4a12，则a3.故椭圆方程为1，所以c2，所以e.答案：10已知F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，点在椭圆上，且点(1，0)到直线PF2的距离为，其中点P(1，4)，则椭圆的标准方程为_解析：设F2的坐标为(c，0)(c0)，则kPF2，故直线PF2的方程为y(xc)，即xy0，点(1，0)到直线PF2的距离d，即
3、4，解得c1或c3(舍去)，所以a2b21.又点在椭圆E上， 所以1，由可得所以椭圆的标准方程为y21.答案：y2111已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点求该椭圆的标准方程解：由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，所以b212.故椭圆方程为1或1.12已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三
4、角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.能力提升1(2019浙江百校联盟联考)已知椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()ABCD解析：选A.因为圆
5、O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即|OC|，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得1，所以5e22e30，又0e1，所以e.故选A.2(2017高考全国卷)设A、B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0，19，)B(0，9，)C(0，14，)D(0，4，)解析：选A.依题意得，或，所以或，解得0b0)经过点(，1)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为.若动点P满足2，求点P的轨迹方程解：(1)因为e，所以，又椭圆C经过点(，1)，所以1，解得a24，
6、b22，所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2得xx12x2，yy12y2，因为点M，N在椭圆1上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220，故点P的轨迹方程是1.6已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且2.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，由题意知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，得则(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0.由根与系数的关系知，又由2，即(x1，my1)2(x2，y2m)，得x12x2，故可得2，整理得(9m24)k282m2，又9m240时不符合题意，所以k20，解得m20，解不等式m24，得m2或2m，所以m的取值范围为.9