1、第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系基础达标1已知集合A(x，y)|x，y为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y为实数，且xy1，则AB的元素个数为()A4B3C2D1解析：选C.(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线xy1的距离d1r，所以直线与圆相交2直线l：xym0与圆C：x2y24x2y10恒有公共点，则m的取值范围是()A，B2，2C1，1D21，21解析：选D.圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d，若直线l与圆C恒有公共点，则2，解得21m21，故选D.3若圆x2y2a2与圆x2y2ay60的公共弦长为
2、2，则a的值为()A2B2C2D无解解析：选A.圆x2y2a2的圆心为原点O，半径r|a|.将x2y2a2与x2y2ay60左右分别相减，可得a2ay60，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2ay60.原点O到直线a2ay60的距离d，根据勾股定理可得a2()2，所以a24，所以a2.故选A.4(2019台州中学高三月考)若直线ykx42k与曲线y有两个交点，则k的取值范围是()A1，)BCD(，1解析：选B.曲线y 即x2y24(y0)，表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示直线ykx42k即yk(x2)4，表示恒过点(2，4)，斜率为k的直线，结合图形可得kA
3、B1，因为2，解得k，即kAT，所以要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是.5圆C：x2y2DxEy30(D0，E为整数)的圆心C到直线4x3y30的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|4，则E的值为()A4B4C8D8解析：选C.圆心C.由题意得1，即|4D3E6|10，在圆C：x2y2DxEy30中，令y0得x2Dx30.设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1x2D，x1x23.由|MN|4得|x1x2|4，即(x1x2)24x1x216，(D)24(3)16.因为D0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则当t取得最大值时，点P的坐标是()ABCD解析：选D.设P(a，b
4、)为圆上一点，由题意知，0，即(at)(at)b20，a2t2b20，所以t2a2b2|OP|2，|OP|max213，即t的最大值为3，此时kOP，OP所在直线的倾斜角为30，所以点P的纵坐标为，横坐标为3，即P.7(2019浙江高中学科基础测试)由直线3x4y50上的一动点P向圆x2y24x2y40引切线，则切线长的最小值为_解析：当直线上的点到圆心(2，1)的距离最短时，切线长最小此时，圆心到直线的距离d3，r1，所以切线长为2.答案：28(2019杭州七校联考)已知圆C：(x3)2(y5)25，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2 ，则直线l的斜率k_解析：依题意得，点
5、A是线段PB的中点，|PC|PA|AC|3，过圆心C(3，5)作y轴的垂线，垂足为C1，则|CC1|3，|PC1|6.记直线l的倾斜角为，则有|tan |2，即k2.答案：29已知圆C：(x1)2(y2)22，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为_解析：已知圆C：(x1)2(y2)22，所以圆心为C(1，2)，半径r，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PCAB.在PAC中，APC30，由正弦定理得，所以|PC|2sinPAC2，故|PC|的最大值为2.答案：210(2019绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x3y50及y1
6、0均相切，则|O1O2|_解析：如图，因为原点O到直线4x3y50的距离d1，到直线y1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O，不妨看作是圆O1，设O2(a，b)，则由题意：，解得.所以|O1O2|.答案：11(2019浙江省名校协作体高三联考)已知圆C：(x1)2y29内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长解：(1)已知圆C：(x1)2y29的圆心为C(1，0)，因为直线过点P，C，所以kPC2，直线l的方程为y2(x1)，即2xy20.(2)当直线l的倾斜
7、角为45时，斜率为1，直线l的方程为y2x2，即xy0，圆心C到直线l的距离为，又因为圆的半径为3，所以弦AB的长为.12圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心坐标为(2，1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解：(1)因为圆O1的方程为x2(y1)24，所以圆心O1(0，1)，半径r12.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|r1r2.又|O1O2|2，所以r2|O1O2|r122.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)2128.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，又圆O1的方程为x2(y1)
8、24，相减得AB所在的直线方程为4x4yr80.设线段AB的中点为H，因为r12，所以|O1H|.又|O1H|，所以，解得r4或r20.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.能力提升1两圆x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR且ab0，则的最小值为()A1B3CD解析：选A.由题意知两圆的标准方程为(xa)2y24和x2(y2b)21，圆心分别为(a，0)和(0，2b)，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有3，即a24b29，所以(144)1.当且仅当，即|a|b|时取等号，故选A.2在平面直角坐标系xOy中
9、，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上若圆C上存在点M，使MA2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是()AB0，1CD解析：选A.因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由1得5a212a80，解得aR；由3得5a212a0，解得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.3(2019浙江省镇海中学高三模拟)已知点P(a，b
10、)关于直线l的对称点为P(b1，a1)，则圆C：x2y26x2y0关于直线l对称的圆C的方程为_；圆C与圆C的公共弦的长度为_解析：由题设将圆C：x2y26x2y0中的x，y换为y1，x1可得圆C的方程为(y1)2(x1)26(y1)2(x1)0，即x2y24x4y20，也即(x2)2(y2)210；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为xy10，圆心C(2，2)到该直线的距离d，半径r，故弦长L2.答案：(x2)2(y2)2104(2017高考全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点
11、P(4，2)，求直线l与圆M的方程解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2.由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB.故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24.故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可得y1y24，x1x24.所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(
12、3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为.5(2019富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是正整数，且与直线4x3y290相切(1)求圆的方程；(2)设直线axy50(a0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(2，4)，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心为M(m，0)(mN*)由于圆与直线4x3y290相切，且半径为5，所以5，即|4m29|25.因为m为正整数，故m1.故所求圆的方程为(x1)2y225.(2)把直线axy50，即yax5代入圆的方程，消去y，整理得(a21)x22(5a1)x10，由于直线axy50交圆于A，B两点，故4(5a1)24(a21)0，即12a25a0，由于a0，解得a，所以实数a的取值范围是.(3)设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为y(x2)4，即xay24a0.由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上，所以1024a0，解得a.由于，故存在实数a，使得过点P(2，4)的直线l垂直平分弦AB.8