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浙江专用2020版高考数学大一轮复习 第九章平面解析几何 第4讲 直线与圆圆与圆的位置关系练习(含解析)

1、第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系基础达标1已知集合A(x,y)|x,y为实数,且x2y21,B(x,y)|x,y为实数,且xy1,则AB的元素个数为()A4B3C2D1解析:选C.(直接法)集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线xy1的距离d1r,所以直线与圆相交2直线l:xym0与圆C:x2y24x2y10恒有公共点,则m的取值范围是()A,B2,2C1,1D21,21解析:选D.圆C的标准方程为(x2)2(y1)24,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线的距离d,若直线l与圆C恒有公共点,则2,解得21m21,故选D.3若圆x2y2a2与圆x2y2ay60的公共弦长为

2、2,则a的值为()A2B2C2D无解解析:选A.圆x2y2a2的圆心为原点O,半径r|a|.将x2y2a2与x2y2ay60左右分别相减,可得a2ay60,即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2ay60.原点O到直线a2ay60的距离d,根据勾股定理可得a2()2,所以a24,所以a2.故选A.4(2019台州中学高三月考)若直线ykx42k与曲线y有两个交点,则k的取值范围是()A1,)BCD(,1解析:选B.曲线y 即x2y24(y0),表示一个以(0,0)为圆心,以2为半径的位于x轴上方的半圆,如图所示直线ykx42k即yk(x2)4,表示恒过点(2,4),斜率为k的直线,结合图形可得kA

3、B1,因为2,解得k,即kAT,所以要使直线与半圆有两个不同的交点,k的取值范围是.5圆C:x2y2DxEy30(D0,E为整数)的圆心C到直线4x3y30的距离为1,且圆C被截x轴所得的弦长|MN|4,则E的值为()A4B4C8D8解析:选C.圆心C.由题意得1,即|4D3E6|10,在圆C:x2y2DxEy30中,令y0得x2Dx30.设M(x1,0),N(x2,0),则x1x2D,x1x23.由|MN|4得|x1x2|4,即(x1x2)24x1x216,(D)24(3)16.因为D0),若圆C上存在点P,使得APB90,则当t取得最大值时,点P的坐标是()ABCD解析:选D.设P(a,b

4、)为圆上一点,由题意知,0,即(at)(at)b20,a2t2b20,所以t2a2b2|OP|2,|OP|max213,即t的最大值为3,此时kOP,OP所在直线的倾斜角为30,所以点P的纵坐标为,横坐标为3,即P.7(2019浙江高中学科基础测试)由直线3x4y50上的一动点P向圆x2y24x2y40引切线,则切线长的最小值为_解析:当直线上的点到圆心(2,1)的距离最短时,切线长最小此时,圆心到直线的距离d3,r1,所以切线长为2.答案:28(2019杭州七校联考)已知圆C:(x3)2(y5)25,直线l过圆心且交圆C于A,B两点,交y轴于P点,若2 ,则直线l的斜率k_解析:依题意得,点

5、A是线段PB的中点,|PC|PA|AC|3,过圆心C(3,5)作y轴的垂线,垂足为C1,则|CC1|3,|PC1|6.记直线l的倾斜角为,则有|tan |2,即k2.答案:29已知圆C:(x1)2(y2)22,若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦,则|PC|的最大值为_解析:已知圆C:(x1)2(y2)22,所以圆心为C(1,2),半径r,若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦,则PCAB.在PAC中,APC30,由正弦定理得,所以|PC|2sinPAC2,故|PC|的最大值为2.答案:210(2019绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点(0,1),若两圆与直线4x3y50及y1

6、0均相切,则|O1O2|_解析:如图,因为原点O到直线4x3y50的距离d1,到直线y1的距离为1,且到(0,1)的距离为1,所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O,不妨看作是圆O1,设O2(a,b),则由题意:,解得.所以|O1O2|.答案:11(2019浙江省名校协作体高三联考)已知圆C:(x1)2y29内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长解:(1)已知圆C:(x1)2y29的圆心为C(1,0),因为直线过点P,C,所以kPC2,直线l的方程为y2(x1),即2xy20.(2)当直线l的倾斜

7、角为45时,斜率为1,直线l的方程为y2x2,即xy0,圆心C到直线l的距离为,又因为圆的半径为3,所以弦AB的长为.12圆O1的方程为x2(y1)24,圆O2的圆心坐标为(2,1)(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;(2)若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|2,求圆O2的方程解:(1)因为圆O1的方程为x2(y1)24,所以圆心O1(0,1),半径r12.设圆O2的半径为r2,由两圆外切知|O1O2|r1r2.又|O1O2|2,所以r2|O1O2|r122.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)2128.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r,又圆O1的方程为x2(y1)

8、24,相减得AB所在的直线方程为4x4yr80.设线段AB的中点为H,因为r12,所以|O1H|.又|O1H|,所以,解得r4或r20.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.能力提升1两圆x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三条公切线,若aR且ab0,则的最小值为()A1B3CD解析:选A.由题意知两圆的标准方程为(xa)2y24和x2(y2b)21,圆心分别为(a,0)和(0,2b),半径分别为2和1,因为两圆恰有三条公切线,所以两圆外切,故有3,即a24b29,所以(144)1.当且仅当,即|a|b|时取等号,故选A.2在平面直角坐标系xOy中

9、,点A(0,3),直线l:y2x4,设圆C的半径为1,圆心在l上若圆C上存在点M,使MA2MO,则圆心C的横坐标a的取值范围是()AB0,1CD解析:选A.因为圆心在直线y2x4上,所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x,y),因为MA2MO,所以2,化简得x2y22y30,即x2(y1)24,所以点M在以D(0,1)为圆心,2为半径的圆上由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|21|CD21,即13.由1得5a212a80,解得aR;由3得5a212a0,解得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.3(2019浙江省镇海中学高三模拟)已知点P(a,b

10、)关于直线l的对称点为P(b1,a1),则圆C:x2y26x2y0关于直线l对称的圆C的方程为_;圆C与圆C的公共弦的长度为_解析:由题设将圆C:x2y26x2y0中的x,y换为y1,x1可得圆C的方程为(y1)2(x1)26(y1)2(x1)0,即x2y24x4y20,也即(x2)2(y2)210;将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为xy10,圆心C(2,2)到该直线的距离d,半径r,故弦长L2.答案:(x2)2(y2)2104(2017高考全国卷)已知抛物线C:y22x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点

11、P(4,2),求直线l与圆M的方程解:(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:xmy2.由可得y22my40,则y1y24.又x1,x2,故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m,x1x2m(y1y2)42m24.故圆心M的坐标为(m22,m),圆M的半径r.由于圆M过点P(4,2),因此0,故(x14)(x24)(y12)(y22)0,即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可得y1y24,x1x24.所以2m2m10,解得m1或m.当m1时,直线l的方程为xy20,圆心M的坐标为(

12、3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时,直线l的方程为2xy40,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为.5(2019富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是正整数,且与直线4x3y290相切(1)求圆的方程;(2)设直线axy50(a0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由解:(1)设圆心为M(m,0)(mN*)由于圆与直线4x3y290相切,且半径为5,所以5,即|4m29|25.因为m为正整数,故m1.故所求圆的方程为(x1)2y225.(2)把直线axy50,即yax5代入圆的方程,消去y,整理得(a21)x22(5a1)x10,由于直线axy50交圆于A,B两点,故4(5a1)24(a21)0,即12a25a0,由于a0,解得a,所以实数a的取值范围是.(3)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为,l的方程为y(x2)4,即xay24a0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,所以1024a0,解得a.由于,故存在实数a,使得过点P(2,4)的直线l垂直平分弦AB.8