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浙江专用2020版高考数学大一轮复习 第八章立体几何与空间向量 第2讲 空间几何体的表面积与体积练习(含解析)

1、第2讲 空间几何体的表面积与体积基础达标1(2019嘉兴期中)某球的体积与表面积的数值相等,则球的半径是()A1B2C3D4解析:选C.设球的半径为r,则球的体积为r3,球的表面积为4r2.因为球的体积与其表面积的数值相等,所以r34r2,解得r3.2(2019义乌模拟)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A124B188C28D208解析:选D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图则该几何体的表面积为S22242224208,故选D.3(2019浙江高校招生选考试题)如图(1),把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后,得到如图(2

2、)所示几何体,则该几何体的体积为()ABCD解析:选B.把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后,得到几何体的体积:VVABCDA1B1C1D1VAA1B1D1VBA1B1C1VNA1B1M11111.4(2019金华十校联考)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为()ABC3D3解析:选A.由题意得,该几何体为四棱锥,且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球,其半径为,故体积为,故选A.5若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()A48B48C482D482解析:选A.该几何体是正四棱柱挖

3、去了一个半球,正四棱柱的底面是正方形(边长为2),高为5,半球的半径是1,那么该几何体的表面积为S2222451221248,故选A.6(2019台州四校高三联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB上的动点,记四面体EFMC的体积为V1,多面体ADFBCE的体积为V2,则()ABCD不是定值,随点M位置的变化而变化解析:选B.由三视图可知多面体ADFBCE是直三棱柱,其底面是等腰直角三角形(直角边长为a),且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形,它们的边长均为a.因为M是AB上的动点,且易知AB平面DFEC,所以点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离,为a,所以V

4、1VEFMCVMEFCaaa,又V2aaa,故,故选B.7. (2019宁波市余姚中学期中检测)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为_ cm3,表面积为_cm2.解析:由三视图可知:该几何体是由一个半球去掉后得到的几何体所以该几何体的体积13 cm3.表面积4121212 cm2.答案:8(2019瑞安市龙翔高中高三月考)一个正四棱锥的所有棱长均为2,其俯视图如图所示,则该正四棱锥的正视图的面积为_,正四棱锥的体积为_解析:由正四棱锥的俯视图,可得到正四棱锥的直观图如图,则该正四棱锥的正视图为三角形PEF(E,F分别为AD,BC的中点),因为正四棱锥的所有棱长均为2,所以

5、PBPC2,EFAB2,PF,所以PO,所以该正四棱锥的正视图的面积为2;正四棱锥的体积为22.答案:9(2019温州市高考模拟)已知某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的体积为_,表面积为_解析:根据三视图可知几何体是一个四棱锥,底面是一个边长为2的正方形,PE平面ABCD,且PE2,其中E、F分别是BC、AD的中点,连接EF、PA,所以几何体的体积V222,在PEB中,PB,同理可得PC,因为PE平面ABCD,所以PECD,因为CDBC,BCPEE,所以CD平面PBC,则CDPC,在PCD中,PD3,同理可得PA3,则PFAD,在PDF中,PF2,所以此几何体的表面积S222

6、22222622.答案:62210已知球O的表面积为25,长方体的八个顶点都在球O的球面上,则这个长方体的表面积的最大值等于_解析:设球的半径为R,则4R225,所以R,所以球的直径为2R5,设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则长方体的表面积S2ab2ac2bca2b2a2c2b2c22(a2b2c2)50.答案:5011. 如图所示,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF2,求该多面体的体积解:如图,分别过点A、B作EF的垂线,垂足分别为G、H,连接DG、CH,容易求得EGHF,AGGDBHHC,所以SAGDSBHC1,所以该

7、多面体的体积VVEADGVFBHCVAGDBHC1.12.如图,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)(1)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼,请作出用于制作灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素)解:(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为1.22r,所以塑料片面积Sr22r(1.22r)r22.4r4r23r22.4r3(r20.8r)所以当r0.4米时,S有最大值,约为1.51平方米(2)若灯

8、笼底面半径为0.3米,则高为1.220.30.6(米)制作灯笼的三视图如图能力提升1在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC,AB6,BC8,AA13,则V的最大值是()A4BC6D解析:选B.由题意可得若V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上下底面相切,此时球的半径R,该球的体积最大,VmaxR3.2(2019瑞安市龙翔高中高三月考)如图,已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA底面ABCD,AB1,PAAC1,ABC,则四棱锥PABCD的体积V的取值范围是(

9、)ABCD解析:选A.由已知,四边形ABCD的面积Ssin ,由余弦定理可求得AC,所以PA,所以V,所以V.所以,当cos 0,即时,四棱锥PABCD的体积V的最小值是;当cos 1,即0时,四棱锥PABCD的体积V的最大值是.因为0,所以PABCD的体积V的取值范围是.3(2019浙江名校协作体高三联考)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 cm3,则正视图中的x的值是_cm,该几何体的表面积是_cm2.解析:由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,其直观图如图所示,由棱锥的体积公式得,(12)xx2,侧面ADS,CDS,ABS为直角三角形,侧面BCS是以BC为底的等腰三角

10、形,所以该几何体的表面积为S(12)22212.答案:24如图,在ABC中,ABBC2,ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PDDA,PBBA,则四面体PBCD的体积的最大值是_解析:由ABBC2,ABC120,可得AC2,要求四面体PBCD的体积,关键是寻找底面三角形BCD的面积SBCD和点P到平面BCD的距离h.易知h2.设ADx,则DPx,DC2x,SDBC(2x)2sin 30,其中x(0,2),且hx,所以VPBCDSBCDhhx,当且仅当2xx,即x时取等号故四面体PBCD的体积的最大值是.答案:5已知一个几何体的三视图如图所示(1)求此几何体的表面积;(2)

11、如果点P,Q在正视图中所示位置,P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P到Q点的最短路径的长解:(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和S圆锥侧(2a)(a)a2,S圆柱侧(2a)(2a)4a2,S圆柱底a2,所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面,如图则PQa,所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.6已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球,求此三棱柱的体积的最大值解:如图,设球心为O,三棱柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,底面正三角形的边长为a,则AO1aa.由已知得O1O2底面,在RtOAO1中,由勾股定理得OO1 ,所以V三棱柱a22,令f(a)3a4a6(0a2),则f(a)12a36a56a3(a22),令f(a)0,解得a.因为当a(0,)时,f(a)0;当a(,2)时,f(a)0,所以函数f(a)在(0,)上单调递增,在(,2)上单调递减所以f(a)在a 处取得极大值因为函数f(a)在区间(0,2)上有唯一的极值点,所以a 也是最大值点所以(V三棱柱)max1.9