1、第2讲 空间几何体的表面积与体积基础达标1(2019嘉兴期中)某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是()A1B2C3D4解析：选C.设球的半径为r，则球的体积为r3，球的表面积为4r2.因为球的体积与其表面积的数值相等，所以r34r2，解得r3.2(2019义乌模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A124B188C28D208解析：选D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图则该几何体的表面积为S22242224208，故选D.3(2019浙江高校招生选考试题)如图(1)，把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如图(2
2、)所示几何体，则该几何体的体积为()ABCD解析：选B.把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到几何体的体积：VVABCDA1B1C1D1VAA1B1D1VBA1B1C1VNA1B1M11111.4(2019金华十校联考)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为()ABC3D3解析：选A.由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为，故体积为，故选A.5若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A48B48C482D482解析：选A.该几何体是正四棱柱挖
3、去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S2222451221248，故选A.6(2019台州四校高三联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADFBCE的体积为V2，则()ABCD不是定值，随点M位置的变化而变化解析：选B.由三视图可知多面体ADFBCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.因为M是AB上的动点，且易知AB平面DFEC，所以点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，为a，所以V
4、1VEFMCVMEFCaaa，又V2aaa，故，故选B.7. (2019宁波市余姚中学期中检测)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为_ cm3，表面积为_cm2.解析：由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉后得到的几何体所以该几何体的体积13 cm3.表面积4121212 cm2.答案：8(2019瑞安市龙翔高中高三月考)一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为_，正四棱锥的体积为_解析：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图，则该正四棱锥的正视图为三角形PEF(E，F分别为AD，BC的中点)，因为正四棱锥的所有棱长均为2，所以
5、PBPC2，EFAB2，PF，所以PO，所以该正四棱锥的正视图的面积为2；正四棱锥的体积为22.答案：9(2019温州市高考模拟)已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积为_，表面积为_解析：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为2的正方形，PE平面ABCD，且PE2，其中E、F分别是BC、AD的中点，连接EF、PA，所以几何体的体积V222，在PEB中，PB，同理可得PC，因为PE平面ABCD，所以PECD，因为CDBC，BCPEE，所以CD平面PBC，则CDPC，在PCD中，PD3，同理可得PA3，则PFAD，在PDF中，PF2，所以此几何体的表面积S222
6、22222622.答案：62210已知球O的表面积为25，长方体的八个顶点都在球O的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于_解析：设球的半径为R，则4R225，所以R，所以球的直径为2R5，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则长方体的表面积S2ab2ac2bca2b2a2c2b2c22(a2b2c2)50.答案：5011. 如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，求该多面体的体积解：如图，分别过点A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连接DG、CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，所以SAGDSBHC1，所以该
7、多面体的体积VVEADGVFBHCVAGDBHC1.12.如图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)解：(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为1.22r，所以塑料片面积Sr22r(1.22r)r22.4r4r23r22.4r3(r20.8r)所以当r0.4米时，S有最大值，约为1.51平方米(2)若灯
8、笼底面半径为0.3米，则高为1.220.30.6(米)制作灯笼的三视图如图能力提升1在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4BC6D解析：选B.由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R，该球的体积最大，VmaxR3.2(2019瑞安市龙翔高中高三月考)如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA底面ABCD，AB1，PAAC1，ABC，则四棱锥PABCD的体积V的取值范围是(
9、)ABCD解析：选A.由已知，四边形ABCD的面积Ssin ，由余弦定理可求得AC，所以PA，所以V，所以V.所以，当cos 0，即时，四棱锥PABCD的体积V的最小值是；当cos 1，即0时，四棱锥PABCD的体积V的最大值是.因为0，所以PABCD的体积V的取值范围是.3(2019浙江名校协作体高三联考)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 cm3，则正视图中的x的值是_cm，该几何体的表面积是_cm2.解析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，其直观图如图所示，由棱锥的体积公式得，(12)xx2，侧面ADS，CDS，ABS为直角三角形，侧面BCS是以BC为底的等腰三角
10、形，所以该几何体的表面积为S(12)22212.答案：24如图，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_解析：由ABBC2，ABC120，可得AC2，要求四面体PBCD的体积，关键是寻找底面三角形BCD的面积SBCD和点P到平面BCD的距离h.易知h2.设ADx，则DPx，DC2x，SDBC(2x)2sin 30，其中x(0，2)，且hx，所以VPBCDSBCDhhx，当且仅当2xx，即x时取等号故四面体PBCD的体积的最大值是.答案：5已知一个几何体的三视图如图所示(1)求此几何体的表面积；(2)
11、如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P到Q点的最短路径的长解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和S圆锥侧(2a)(a)a2，S圆柱侧(2a)(2a)4a2，S圆柱底a2，所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图则PQa，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.6已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，求此三棱柱的体积的最大值解：如图，设球心为O，三棱柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，底面正三角形的边长为a，则AO1aa.由已知得O1O2底面，在RtOAO1中，由勾股定理得OO1 ，所以V三棱柱a22，令f(a)3a4a6(0a2)，则f(a)12a36a56a3(a22)，令f(a)0，解得a.因为当a(0，)时，f(a)0；当a(，2)时，f(a)0，所以函数f(a)在(0，)上单调递增，在(，2)上单调递减所以f(a)在a 处取得极大值因为函数f(a)在区间(0，2)上有唯一的极值点，所以a 也是最大值点所以(V三棱柱)max1.9