1、第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础达标1从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数的个数是()A30B42C36D35解析：选C.因为abi为虚数，所以b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数2用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有()A3种B5种C9种D12种解析：选C.只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，
2、1张5元，5张1元，共1种由分类加法计数原理得，共有3519(种)3某电话局的电话号码为139，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A20B25C32D60解析：选C.依据题意知，最后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为2532.4用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为()A24B48C60D72解析：选B.先排个位，再排十位，百位，千位，万位，依次有2，4，3，2，1种排法，由分步乘法计数原理知偶数的个数为2432148.5已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8
3、个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40B16C13D10解析：选C.分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定8513个不同的平面6如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字，表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()A26B20C24D19解析：选D.因为信息可以从分开不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B
4、传递有四种办法：1253；1264；1267；1286.故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：346619.7如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A11种B20种C21种D12种解析：选C.电路接通，则每一个并联电路中至少有一个开关闭合，再利用乘法原理求解两个开关并联的电路接通方式有3种，即每个开关单独接通共2种两个开关都接通有一种，所以共有3种，同理三个开关并联的电路接通方式有7种，由乘法原理可知不同的闭合方式有3721(种)8某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，
5、有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A180种B360种C720种D960种解析：选D.按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有53444960(种)9直线l：1中，a1，3，5，7，b2，4，6，8若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为()A6B7C8D16解析：选B.l与坐标轴围成的三角形的面积为Sab10，即ab20.当a1时，不满足；当a3时，b8，即1条当a5，7时，b4，6，
6、8，此时a的取法有2种，b的取法有3种，则直线l的条数为236.故满足条件的直线的条数为167.故选B.10在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A24种B48种C72种D96种解析：选C.分两种情况：(1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有43224(种)(2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有432248(种)综上两种情况，不同的涂色方法共有482472(种)11从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不
7、能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有34336(种)答案：3612乘积(abc)(defh)(ijklm)展开后共有_项解析：由(abc)(defh)(ijklm)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积，由分步乘法计数原理可得其展开式共有34560(项)答案：6013在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足ab，且a，b都是集合1，2，
8、3，4，5，6中的元素又点P到原点的距离|OP|5，则这样的点P的个数为_解析：依题意可知：当a1时，b5，6，两种情况；当a2时，b5，6，两种情况；当a3时，b4，5，6，三种情况；当a4时，b3，5，6，三种情况；当a5或6时，b各有五种情况所以共有22335520种情况答案：2014如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种解析：采用排除法各个焊点有2种情况，所以四个焊点共有24种可能，其中能使线路通的情况有：1，4同时通，且2和3至少有一个通时线路才能通，共有3种可能，故不通的情况共有24313种情况答案：
9、1315将4个不同小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有_种解析：必有一个盒子放2个小球，将4个小球分3组，其中有2个小球为一组，另外2个小球为两组，共有6种分组方法然后，每一种分组的小球放入3个不同盒子，按分步乘法计数原理，有321种放法，共有6(321)36(种)放法答案：3616如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_解析：分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与
10、一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)答案：3617已知集合A最大边长为7，且三边长均为正整数的三角形，则集合A的真子集共有_个解析：另外两个边长用x，y(x，yN*)表示，且不妨设1xy7，要构成三角形，必须xy8.当y取7时，x可取1，2，3，7，有7个三角形；当y取6时，x可取2，3，6，有5个三角形；当y取5时，x可取3，4，5，有3个三角形当y取4时，x只能取4，只有1个三角形所以所求三角形的个数为753116.其真子集共有(2161)个答案：2161能力提升1有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加
11、，(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类各自有3、6、8种方法，总方法数为36817(种)(2)分两步，先选老师共3种选法，再选学生共6814种选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为31442(种)(3)老师、男、女同学各一人可分三步，每步方法依次为3，6，8种，由分步乘法计数原理知，总方法数为368144(种)2同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有几种？解：设四
12、个人为甲、乙、丙、丁，依次写的贺年卡为A，B，C，D.第一步：甲有3种拿法，即拿了B，C或D.第二步：对甲的每一种拿法，不妨设拿了乙的B卡，则乙也有3种拿法，即拿A，C或D，有3种拿法若乙拿了甲的A卡，则丙、丁只能是丙拿D，丁拿C.若乙拿了丙的C卡，则丙只能拿D卡，丁拿A卡若乙拿了丁的D卡，则丁只能拿C卡，丙拿A卡所以分配方式共有339(种)3由数字1，2，3，4，(1)可组成多少个三位数？(2)可组成多少个没有重复数字的三位数？(3)可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的三位数？解：(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步乘
13、法计数原理知共可组成4364个三位数(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步乘法计数原理知共可排成没有重复数字的三位数43224(个)(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个4已知集合M3，2，1，0，1，2，若a，b，cM，则：(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数？(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数？解：(1)yax2bxc表示二次函数时，a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180个不同的二次函数(2)当yax2bxc的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以表示26672个图象开口向上的二次函数7