1、第1讲 绝对值不等式1已知|2x3|1的解集为m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求证：|x|a|1.解：(1)不等式|2x3|1可化为12x31，解得1x2，所以m1，n2，mn3.(2)证明：若|xa|1，则|x|xaa|xa|a|a|1.即|x|a|1.2已知函数f(x)|x1|x|a.(1)若a0，求不等式f(x)0的解集；(2)若方程f(x)x有三个不同的解，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)|x1|x|所以当x1时，f(x)10，不合题意；当1x0时，f(x)2x10，解得x0，符合题意综上可得f(x)0的解集为.(2)设u(x)|x1|x|，yu(x)的图象和
2、yx的图象如图所示易知yu(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与yx的图象始终有3个交点，从而1a9；(2)设关于x的不等式f(x)|x4|的解集为A，BxR|2x1|3，如果ABA，求实数a的取值范围解：(1)当a5时，f(x)|x5|x2|.当x2时，由f(x)9，得2x39，解得x3；当5x9，得79，此时不等式无解；当x9，得2x39，解得x9的解集为xR|x3(2)因为ABA，所以BA.又BxR|2x1|3xR|1x2，关于x的不等式f(x)|x4|的解集为A，所以当1x2时，f(x)|x4|恒成立由f(x)|x4|得|xa|2.所以当1x2时，|xa|2恒成立，即2
3、xa2x恒成立所以实数a的取值范围为1，05(2019湖北省七市(州)联考)已知函数f(x)|x2|2，g(x)m|x|(mR)(1)解关于x的不等式f(x)5；(2)若不等式f(x)g(x)对任意xR恒成立，求m的取值范围解：(1)由f(x)5，得|x2|3，所以x23，解得x5.故原不等式的解集为x|x5(2)由f(x)g(x)，得|x2|2m|x|对任意xR恒成立，当x0时，不等式40恒成立，当x0时，问题等价于m对任意非零实数恒成立，因为1，所以m1，即m的取值范围是(，11(2019湖北黄冈三月调研)已知函数f(x)|2xa|2x1|(aR)(1)当a1时，求f(x)2的解集；(2)
4、若f(x)|2x1|的解集包含集合，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)|2x1|2x1|，f(x)21，上述不等式的几何意义为数轴上点x到两点，距离之和小于或等于1，则x，即原不等式的解集为.(2)因为f(x)|2x1|的解集包含.所以当x时，不等式f(x)|2x1|恒成立，所以当x时，|2xa|2x12x1上恒成立所以2x2a2x2在x上恒成立，所以(2x2)maxa(2x2)min，所以0a3.2(2019山西太原模拟)已知函数f(x)|xa|(a0)(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a时，函数g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数a的取值范
5、围解：(1)因为f(x)|xa|，所以f(xm)|xma|，所以f(x)f(xm)|xa|xma|m|，所以|m|1，即1m1，所以实数m的最大值为1.(2)当a时，g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|所以g(x)minga0，所以或所以a0，所以实数a的取值范围是.3(2019郑州模拟)已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.当x时，即3x2x14，解得x；当x1时，即3x2x14，解得x1时，即3x2x14，无解综上所述，不等式的解集为.(2)(mn)114.令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|所以当x时，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0a.故实数a的取值范围为.4