1、第2讲 不等式的证明 基础题组练1设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，求证：4.证明：由是3a与3b的等比中项得3a3b3，即ab1，要证原不等式成立，只需证4成立，即证2成立，因为a0，b0，所以22，(当且仅当，即ab时，“”成立)，所以4.2求证：2.证明：因为，所以1122.3(2019长春市质量检测(二)已知函数f(x)|2x3|3x6|.(1)求f(x)2的解集；(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足ab，求证：T.解：(1)f(x)|2x3|3x6|，其图象如图，由图象可知：f(x)1；(2)证明：|8x16|g(x)2f(x)解：(1)当x2时，f(x)2x1(2x4
2、)51恒成立，所以x2.当x1，得x1，所以1x2.当x1不成立综上，原不等式的解集为(1，)(2)证明：|8x16|g(x)2f(x)|8x16|2f(x)g(x)，因为2f(x)|8x16|4x2|4x8|(4x2)(4x8)|10，当且仅当x2时等号成立，所以2f(x)|8x16|的最小值是10，又g(x)(x1)21010，所以g(x)的最大值是10，当x1时等号成立因为1，所以2f(x)|8x16|g(x)，所以|8x16|g(x)2f(x)3(2019四川成都模拟)已知函数f(x)m|x1|，mR，且f(x2)f(x2)0的解集为2，4(1)求m的值；(2)若a，b，c为正数，且m
3、，求证：a2b3c3.解：(1)由f(x2)f(x2)0得，|x1|x3|2m，设g(x)|x1|x3|，则g(x)数形结合可得g(2)g(4)62m，得m3.(2)证明：由(1)得3.由柯西不等式，得(a2b3c)32，所以a2b3c3.4(2019高考全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解：(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.- 4 -
