1、5.2 平面向量基本定理及坐标表示,第五章 平面向量与复数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数1，2，使a . 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .,不共线,有且只有,基
2、底,知识梳理,ZHISHISHULI,1e12e2,2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab ，ab ， a ，|a| . (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， . 3.平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共线 .,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x1，y1),(x2x1，y2y1),x1y2x2y10,1.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？,提示 不一样.因为
3、向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.,2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？,提示 不一定.当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.( ) (3)在等边三角形ABC中，向量 的夹角为60.( ) (4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)
4、，则ab的充要条件可表示成 ( ) (5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( ) (6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,2.已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_.,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,(1,5),3.已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则 _.,解析 由向量a(2,3)，b(1,2)， 得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1). 由manb与a2b共线，,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,4.
5、设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12_.,1,2,3,4,5,6,0,(7，4),1,2,3,4,5,6,6.已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.,6,解析 因为ab， 所以(2)m430，解得m6.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 平面向量基本定理的应用,师生共研,解 由题意知，A是BC的中点，,应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来. (2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等
6、. (3)强化共线向量定理的应用.,即P为AB的一个三等分点，如图所示. A，M，Q三点共线，,例2 (1)已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若 3a，则点N的坐标为 A.(2,0) B.(3,6) C.(6,2) D.(2,0),题型二 平面向量的坐标运算,解析 设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)， x2，y0.,师生共研,2,解析 由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8). mbnc(6mn，3m8n)，,mn2.,平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用“向量相等
7、，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.,2或6,综上可知，xy2或6.,题型三 向量共线的坐标表示,命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标,例3 已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_.,多维探究,(3,3),解析 方法一 由O，P，B三点共线，,所以点P的坐标为(3,3).,即xy.,所以(x4)6y(2)0，解得xy3， 所以点P的坐标为(3,3).,命题点2 利用向量共线求参数,例4 (2018洛阳模拟)已知平面向量a(2，1)，b(1,1)，c(5,1)，若(akb)c，则实数k的值为,解析 因为a(2，1)，b(1,
8、1)， 所以akb(2k，1k)， 又c(5,1)， 由(akb)c,平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R).,跟踪训练3 (1)(2018济南模拟)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与3ab平行，则实数x的值是_.,解析 a(1,1)，b(2，x)， ab(3，x1)，3ab(1,3x)， ab与3ab平行， 3(3x)(x1)0，解得x2.,2,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,
9、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018海南联考)设向量a(x，4)，b(1，x)，若向量a与b同向，则x等于 A.2 B.2 C.2 D.0,解析 由向量a与b共线得x24， 所以x2.又向量a与b同向， 所以x2.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表
10、示成cab(，为实数)，则实数m的取值范围是 A.(，2) B.(2，) C.(，) D.(，2)(2，),解析 由题意知向量a，b不共线， 故2m3m2，即m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 mn，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A(0，)，,7.若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_.,1,2,3,4,5
11、,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.设向量a，b满足|a| b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_.,解析 b(2,1)，且a与b的方向相反， 设a(2，)(0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(4，2),42220，24，2. a(4，2).,9.(2018全国)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，).若c(2ab)，则_.,解析 由题意得2ab(4,2)， 因为c(2ab)，所以42，得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,k1,解析 若点A，B，C能构
12、成三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1(k1)2k0，解得k1.,11.已知a(1,0)，b(2,1)， (1)当k为何值时，kab与a2b共线；,解 kabk(1,0)(2,1)(k2，1)， a2b(1,0)2(2,1)(5,2). kab与a2b共线， 2(k2)(1)50，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即2a3b(amb)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,
13、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，,所以B1OC90.,所以4，2，所以6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，,所以6.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系
14、如图， 则B(1,0)，E(1,1)，,又P为CD的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 则C点坐标为(2,1). 设BD与圆C切于点E，连接CE，则CEBD. CD1，BC2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)， D(0,2)，E(2,0)，F(3,1)，,又因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 建立如图所示的平面直角坐标系， 由tan 7知为锐角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,