1、微专题九 立体几何中的动态问题,第八章 立体几何与空间向量,解题策略 立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转.就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离.立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现.在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜.,1.去掉枝蔓见本质大道至简 在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决
2、“动态”问题的关键.,例1 如图1，直线l平面，垂足为O.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面内，则点O到线段CD1中点P的距离的最大值为_.,图1,解析 从图形分化出4个点O，A，B1，P，其中AOB1为直角三角形，固定AOB1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，,当且仅当OQAB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面成45角.,2.极端位置巧分析穷妙极巧 在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案.,例2 在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，
3、F为直线BD上的动点，则平 面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是_.,解析 本例可用极端位置法来加以分析. 先寻找垂直：记O为ACD的中心，G为OC的中点，则BO面ACD，EG面ACD.如图2，过点A，E，G的平面交直线BD于点F.此时，平面AEF与平面ACD所面二面角的正弦值为1. 由图形变化的连续性知，当点F在直线BD的无穷远处时，看成EF和BD平行，此时平面AEF与平面ACD所成二面角最小(如图3)，其正弦值为 .,图2,图3,3.用法向量定平面定海神针 在解决立体几何中的“动态”问题时，有关角度计算问题，用法向量定平面，可将线面角或面面角转化为线线角.,图4,又因为l与直
4、线AH所成的角和l与平面A1BD所成的角互余，,4.锁定垂面破翻折独挡一面 在解决立体几何中的“动态”问题时，对于翻折或投影问题，若能抓住相关线或面的垂面，化空间为平面，则容易找到问题的核心.,例4 如图5，在等腰RtABC中，ABAC，BC2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为线段BM上一个动点(异于两端点)，ABD沿AD翻折至B1DDC，点A在平面B1CD上的投影为点O，当点D在线段BM上运动时，以下说法错误的是,图5,解析 如图6， 记B2为B1在平面ADC上的射影，由B1DDC可得B2DDC. 记B2D交AB于点K，则DC平面B1B2K. 在B1DC中，作EMB1D交B1C于点E，连
5、接AE，则平面AEM平面B1B2K，平面AEM平面B1DC，从而点A在平面B1DC上的射影O在直线EM上.,图6,又AMOAME180，AMEB1DK，由最小角定理知B1DB2B1DA， 于是AMOB1DA180.故选C.,因为CO2MO2MC2，且MO(0，1)，,5.觅得定值明轨迹动中有静 在解决立体几何中的“动态”问题时，探寻变化过程中的不变关系，是解决动态问题的常用手段.,例5 如图7，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是O上的两个点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.不是平面图形,图7,解析 如图8，设O的半径为r，取BC
6、的中点M，则 OMBC，MHMC. 因为AB平面BCD，所以BC是AC在平面BCD上的射影，从而OM平面ABC，得OMMH，于是 OH2MO2MH2MO2MC2r2，,图8,即OHr，亦即动点H在以O为球心、r为半径的球面上. 又因为BHAD，B为定点，所以动点H又在过点B且垂直于直线AD的定平面上，故点H运动的轨迹是圆.,6.构建函数求最值以数解形 在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握运动模型(规律)的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形.,例6 (2016浙江)如图9，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外一点P和线段AC上一点D，满足PDDA，PBB
7、A，则四面体PBCD 的体积的最大值是_.,图9,解析 设M，N分别为AC，AP的中点， 因为BABPBC，PDDA，所以点B在平面PAC上的射影为PAC的外心O，且点O在直线ND上.,图10,当且仅当点O与点M重合时取到等号.,当且仅当点M与点D重合时取到等号.,此时点O，M，D重合，即点D为AC的中点，且平面PBD与平面ABC垂直相交于BD.,总之，解立体几何动态问题的过程实质是数学建模的过程，是创新的过程.方程、函数和图形变换是基础，因此夯实基础是解决此类问题的关键.化整为零的思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、分类讨论思想等是解决立体几何动态问题的最佳策略.真正破解动态立体几何问题，需要整体把握动态变化过程，更需要深厚的空间想象之内功.如果说招式是术，那么内功就是修行，即不断积累知识与技巧、经验与经历.,