1、2.2 函数的单调性与最值,第二章 函数概念与基本初等函数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),知识梳理,ZHISHISHULI,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫做yf(x)
2、的单调区间.,上升的,下降的,增函数,减函数,区间D,2.函数的最值,f(x)M,f(x0)M,f(x)M,f(x0)M,1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.( ) (2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).( ) (3)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).( ) (4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( ) (5)所有的单调函
3、数都有最值.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,8,题组二 教材改编,2.函数f(x)x22x的单调递增区间是_.,1,2,3,4,5,6,1，)(或(1，),3.函数y 在2,3上的最大值是_.,2,7,8,4.若函数f(x)x22mx1在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_.,解析 由题意知，2，)m，)， m2.,1,2,3,4,5,6,(，2,7,8,5.函数y (x24)的单调递减区间为_.,(2，),1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,6.若函数f(x)|xa|1的增区间是2，)，则a_.,2,解析 f
4、(x)|xa|1的单调递增区间是a，)， a2.,1,2,3,4,5,6,7.函数yf(x)是定义在2,2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_.,1,1),解得1a1.,7,8,1,2,3,4,5,6,2,所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1； 当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2. 故函数f(x)的最大值为2.,7,8,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 确定函数的单调性,多维探究,命题点1 求函数的单调区间 例1 (1)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是 A.(，2) B.(，1) C.(1，) D.(4，
5、),解析 函数yx22x8(x1)29图象的对称轴为直线x1， 由x22x80，解得x4或x2， 所以(4，)为函数yx22x8的一个单调递增区间. 根据复合函数的单调性可知， 函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间为(4，).,(2)函数yx22|x|3的单调递减区间是_.,1,0，1，),解析 由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24； 当x0时，yx22x3(x1)24， 二次函数的图象如图. 由图象可知， 函数yx22|x|3的单调递减区间为1,0，1，).,命题点2 讨论函数的单调性,证明：设1x1x22，则,由1x10,2x1x24，,又因为1a3，所以2a(x1x2)1
6、2，,从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增.,如何用导数法求解本例？,因为1x2，所以1x38，又10，所以f(x)0，,确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接.,跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是 A.f(x)2x B.f(x)|x1| C.f(x) x D.f(x)ln(x1),解析 由(x1x2)f(x1)f(x2
7、)0可知，f(x)在(0，)上是减函数， A，D选项中，f(x)为增函数； B中，f(x)|x1|在(0，)上不单调；,因此f(x)在(0，)上是减函数.,(2)函数f(x)(a1)x2在R上单调递增，则函数g(x)a|x2|的单调递减区间是_.,(，2,解析 因为f(x)在R上单调递增， 所以a10，即a1， 因此g(x)的单调递减区间就是y|x2|的单调递减区间(，2.,(3)函数f(x)|x2|x的单调递减区间是_.,1,2,由图知f(x)的单调递减区间是1,2.,题型二 函数的最值,1,1),故所求函数的值域为1,1).,自主演练,2.函数yx 的最大值为_.,解析 由1x20，可得1
8、x1. 可令xcos ，0，,3.函数y|x1|x2|的值域为_.,3，),作出函数的图象如图所示. 根据图象可知， 函数y|x1|x2|的值域为3，).,4.函数y 的值域为_.,y|yR且y3,ylog2(x2)在1，1上单调递增， 所以f(x)在1,1上单调递减， 故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.,5.函数f(x) log2(x2)在区间1,1上的最大值为_.,3,6.若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关,解析 方法一 设x1，x2分别是函数
9、f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，,显然此值与a有关，与b无关.故选B. 方法二 由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值， 则二次函数图象的形状一定.随着b的变动，相当于图象上下移动， 若b增大k个单位， 则最大值与最小值分别变为Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm， 故与b无关.随着a的变动，相当于图象左右移动，则Mm的值在变化， 故与a有关，故选B.,求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求
10、最值.,(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.,题型三 函数单调性的应用,命题点1 比较函数值的大小 例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab B.cba C.acb D.bac,多维探究,解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，,命题点2 解函数不等式 例4 (2018四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则f(x)3 B.x|x3 D.x|3x0或0x3,解析 f(x)是奇函数，f(3)0， f(3)f(3)0
11、，解得f(3)0. 函数f(x)在(0，)内是增函数， 当03时，f(x)0. 函数f(x)是奇函数，当30； 当x3时，f(x)0. 则不等式f(x)0的解集是x|0x3或x3.,命题点3 求参数的取值范围,例5 (1)(2018全国)若f(x)cos xsin x在0，a上是减函数，则a的最大值是,(2)已知函数f(x) 若f(x)在(0，)上单调递增，则实数a 的取值范围为_.,(1,2,则a2，又yaxa (x1)是增函数， 故a1， 所以a的取值范围为1a2.,(3)(2018安徽滁州中学月考)已知函数f(x)log2(x2ax3a)在2，)上是增函数，则实数a的取值范围是_.,解析
12、 设g(x)x2ax3a，根据对数函数及复合函数的单调性知，g(x)在2，)上是增函数，,实数a的取值范围是(4,4.,(4,4,函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小. (2)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. 依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； 需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.,所以yf(x)在(，)上是增函数.,(2)已知函数f(x)是定义在区间0，)上
13、的函数，且在该区间上单调递增，则 满足f(2x1) 的x的取值范围是_.,解析 因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，,3,课时作业,PART THREE,1.下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是,解析 函数yln(x2)的增区间为(2，)， 所以在(0，)上一定是增函数.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.已知函数f(x) ，则该函数的单调递增区间为 A.(，1 B.3，) C.(，1 D.1，),解析 设tx22x3，由t0，即x22x30，
14、 解得x1或x3，所以函数f(x)的定义域为(，13，). 因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1， 所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增， 所以函数f(x)的单调递增区间为3，).,3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是 A.f()f(3)f(2) B.f()f(2)f(3) C.f()f(3)f(2) D.f()f(2)f(3),解析 因为f(x)是偶函数， 所以f(3)f(3)，f(2)f(2). 又因为函数f(x)在0，)上是增函数， 所以f()f(3)f(2)， 即f()f(3)f(2).,1,2,3,
15、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)是R上的减函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.设f(x) 若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为 A.1,2 B.1,0 C.1,2 D.0,2,解析 当x0时，f(x)(xa)2，f(0)是f(x)的最小值， a0.当x0时，f(x)x a2a，当且仅当x1时取“”. 要满足f(0)是f(x)的最小值，需2af(0)a2， 即a2a20，解得1a2. a的取值范围是0a2.故选D.
16、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 若函数f(x)在R上单调递增， 则需log21c1，即c1. 由于c1，即c1，但c1不能得出c1， 所以“c1”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.,6.已知函数f(x) 则“c1”是“函数f(x)在R上单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,7.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为_.,解析 f(x)在R上是奇函数，
17、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,abc,又f(x)在R上是增函数， 且log25log24.1log24220.8， f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.,8.如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围 是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当a0时，f(x)2x3在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；,9.记mina，b 若f(x)minx2,10x(x0)，则f(x)的最大值 为_.,6,易知f(x)maxf(4)6.,1,
18、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.设函数f(x) 若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增， 则实数a的取值范围是_.,(，14，),解析 作函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增， 需满足a4或a12， 即a1或a4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知f(x) (xa). (1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为(x12)(x22)0，x1x20， 所以f(x1)
19、f(x2)0，即f(x1)f(x2)， 所以f(x)在(，2)上单调递增.,(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设1x1x2，,因为a0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0， 只需(x1a)(x2a)0恒成立， 所以a1.综上所述，0a1.,12.(2018河南南阳一中月考)设函数f(x)ax2bx1(a，bR)，F(x) (1)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)的解析式；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解
20、f(1)0，ba1. 由f(x)0恒成立，知a0且方程ax2bx10中b24a(a1)24a (a1)20，a1. 从而f(x)x22x1.,(2)在(1)的条件下，当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由(1)可知f(x)x22x1， g(x)f(x)kxx2(2k)x1，,即实数k的取值范围为(，26，).,13.已知函数f(x) 若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是 A.(，1)(2，) B.(，2)(1，) C.(1,2) D.(2,1),解析 当x0时，两个表达式对
21、应的函数值都为0， 函数的图象是一条连续的曲线. 又当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数， 函数f(x)是定义在R上的增函数.因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x， 即x2x20，解得2x1.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.已知f(x) 不等式f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成 立，则实数a的取值范围是_.,(，2),解析 二次函数y1x24x3的对称轴是x2， 该函数在(，0上单调递减， x24x33，同样可知函数y2x22x3在(0，)上单调递减， x22x3f(2ax)
22、得到xa2ax， 即2xa，2xa在a，a1上恒成立，2(a1)a，a2， 实数a的取值范围是(，2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知，f(x)f(x)2， f(2x1)f(2x)2可化为f(2x1)f(2x)， 又由题意知函数f(x)在R上单调递增，,16.已知定义在区间(0，)上的函数f(x)是增函数，f(1)0，f(3)1. (1)解不等式0f(x21)1；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若f(x)m22am1对所有x(0,3，a1,1恒成立，求实数m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 函数f(x)在(0,3上是增函数， f(x)在(0,3上的最大值为f(3)1， 不等式f(x)m22am1对所有x(0,3，a1，1恒成立转化为1m22am1对所有a1,1恒成立，即m22am0对所有a1,1恒成立. 设g(a)2mam2，a1,1，,解该不等式组，得m2或m2或m0， 即实数m的取值范围为(，202，).,