1、2.5 指数与指数函数,第二章 函数概念与基本初等函数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是 (a0，m，n
2、N*，且n1).于是，在条件a0，m，nN*，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 (a0，m，nN*，且n1).0的正分数指数幂等于 ；0的负分数指数幂 .,0,没有意义,知识梳理,ZHISHISHULI,(2)有理数指数幂的运算性质：aras ，(ar)s ，(ab)r ，其中a0，b0，r，sQ.,ars,ars,arbr,2.指数函数的图象与性质,R,(0，),(0,1),y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,1.如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则a，b，c，d与1之间的
3、大小关系为 .,提示 cd1ab0,【概念方法微思考】,2.结合指数函数yax(a0，a1)的图象和性质说明ax1(a0，a1)的解集跟a的取值有关.,提示 当a1时，ax1的解集为x|x0；当01的解集为x|x0.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1) a(nN*).( ) (2)分数指数幂 可以理解为 个a相乘.( ) (3)函数y32x与y2x1都不是指数函数.( ) (4)若am0，且a1)，则mn.( ) (5)函数y2x在R上为单调减函数.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,8,题组二 教材改编,2x2y,1,2
4、,3,4,5,6,7,8,3.若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点 则f(1) .,1,2,3,4,5,6,7,8,即ab1，,1,2,3,4,5,cba,cba.,6,7,8,2,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,7,8,2,1,2,3,4,5,6,6.若函数f(x)(a23)ax为指数函数，则a .,7,8,7.若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是 .,1,2,3,4,5,6,解析 由题意知0a211，即1a22，,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,8.若函数f(x)ax在1,1上的最大值为2，则a_.,解析 若a1，则f(x)maxf(1)
5、a2； 若0a1，则f(x)maxf(1)a12，得a .,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 指数幂的运算,1.若实数a0，则下列等式成立的是 A.(2)24 B.2a3 C.(2)01 D. ,自主演练,对于C，(2)01，故C错误；,2,4.化简： (a0).,a2,解析 原式,(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： 必须同底数幂相乘，指数才能相加； 运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.,题型二 指数函数的图象及应用,例1
6、 (1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 A.a1，b1，b0 C.00 D.0a1，b0,解析 由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减， 所以0a1，函数f(x)axb的图象是在yax的基础上向左平移得到的， 所以b0.,师生共研,(2)若函数y|4x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_.,解析 函数y|4x1|的图象是由函数y4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示. 由图象知，其在(，0上单调递减，所以k的取值范围是(，0.,(，0,(1)已知函数解析式判断
7、其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.,跟踪训练1 (1)已知实数a，b满足等式2 019a2 020b，下列五个关系式： 0ba；ab0；0ab；ba0；ab. 其中不可能成立的关系式有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,解析 如图，观察易知，a，b的关系为ab0或0ba或ab0.,(2)方程2x2x的解的个数是 .,1,解析 方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图).,由图象得
8、只有一个交点，因此该方程只有一个解.,题型三 指数函数的性质及应用,命题点1 比较指数式的大小,例2 (1)已知a ，b ，c ，则 A.bac B.abc C.bca D.cab,多维探究,解析 由a15(2 )15220，b15(2 )15212，c15255220，,可知b15a15c15，所以bac.,(2)若1”连接),3aa3a,解析 易知3a0，a 0，a30，,又由1a0，得0a1，,所以(a)3(a) ，,即a3a ，,所以a3a ，因此3aa3a .,命题点2 解简单的指数方程或不等式 例3 (1)(2018福州模拟)已知实数a1，函数f(x) 若f(1a) f(a1)，则
9、a的值为 .,(2)若偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为 .,x|x4或x0,解析 f(x)为偶函数， 当x0，则f(x)f(x)2x4，,解得x4或x4或x0.,命题点3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上单调递增，则m的取值范围是 .,(，4,而y2t在R上单调递增， 所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，,(2)函数f(x)4x2x1的单调增区间是 .,0，),解析 设t2x(t0)，则yt22t的单调增区间为1，)， 令2x1，得x0，又y2x在R上单调递增， 所以函数
10、f(x)4x2x1的单调增区间是0，).,(3)若函数f(x) 有最大值3，则a .,1,由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，,即当f(x)有最大值3时，a的值为1.,(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.,f(b)f(a),解析 易知f(x)2x2x在R上为增函数，,f(a)f(b).,(2)函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大
11、小关系是 A.f(bx)f(cx) B.f(bx)f(cx) C.f(bx)f(cx) D.与x有关，不确定,解析 f(x1)f(1x)，f(x)关于x1对称，易知b2，c3， 当x0时，b0c01，f(bx)f(cx)， 当x0时，3x2x1，又f(x)在(1，)上单调递增，f(bx)f(cx)， 当x0时，3x2x1，又f(x)在(，1)上单调递减， f(bx)f(cx)， 综上，f(bx)f(cx).,(3)若不等式12x4xa0在x(，1时恒成立，则实数a的取值范围 是 .,解析 从已知不等式中分离出实数a，,3,课时作业,PART THREE,1.设a0.60.6，b0.61.5，c
12、1.50.6，则a，b，c的大小关系是 A.abc B.acb C.bac D.bca,解析 因为函数y0.6x在R上单调递减， 所以b0.61.51， 所以bac.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.已知函数f(x)5x，若f(ab)3，则f(a)f(b)等于 A.3 B.4 C.5 D.25,解析 f(x)5x， f(ab)5ab3， f(a)f(b)5a5b5ab3. 故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018海淀模拟)已知xy0，则,所以可排除选项A，B，C，故选D.
13、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为 A.9,81 B.3,9 C.1,9 D.1，),解析 由f(x)过定点(2,1)可知b2， 因为f(x)3x2在2,4上是增函数， f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)满足f(1) 则f(x)的单调递减区间是 A.(，2 B.2，) C.2，) D.(，2,1,2,3,4,5,6,7
14、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增， 所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减.故选B.,6.已知函数f(x) 的值域是8,1，则实数a的取值范围是 A.(，3 B.3,0) C.3，1 D.3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当0x4时，f(x)8,1，,所以实数a的取值范围是3，0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,(1,4),解析 原不等式等价于 2x4， 又函数y2x为增函数，x22xx4， 即x23x
15、40，1x4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是 .,(1,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,所以函数g(x)的最小值是0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由9x103x90，得(3x1)(3x9)0， 解得13x9，即0x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当t1，即x0时，ymax2.,12.已知函数f(x)bax(其中a
16、，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24). (1)求f(x)的表达式；,解 因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 令f(a)t，则f(t)2t. 当t0，g(t)在(，1)上单调递增，即g(t)g(1)0，则方程3t12t无解. 当t1时，2t2t成立，由f(a
17、)1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故选C.,14.若函数f(x)2|xa|(aR)满足f(1x)f(1x)，f(x)在区间m，n上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)maxf(x)min3，则nm的取值范围是 .,(0,4,解析 因为f(1x)f(1x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称， 所以a1，所以f(x)2|x1|. 作出函数yf(x)的图象如图所示. 当mn1或1mn时，离对称轴越远，m与n的差越小， 由y2x1与y21x的性质知极限值为0.当m1n时，函数f(x)在区间m，n上的最大值与最小值的差为f
18、(x)maxf(x)min2|2|203， 则nm取得最大值2(2)4，所以nm的取值范围是(0,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.设f(x)|2x11|，af(c)，则2a2c 4.(选填“”“”“”),拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)在(，1上是减函数，在1，)上是增函数， 故结合条件知必有a1，则由f(a)f(c)，得12a12c11， 即2c12a12，即2a2c4. 综上知，总有2a2c4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若方程f(x)0有解，求实数的取值范围.,解 方程f(x)0有解可转化为,