1、2.3 函数的奇偶性与周期性,第二章 函数概念与基本初等函数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.函数的奇偶性,f(x)f(x),y轴,f(x)f(x),原点,知识梳理,ZHISHISHULI,2.周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那
2、么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期.,f(xT)f(x),最小,最小正数,1.如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？,提示 在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇.,【概念方法微思考】,提示 T2|a|； 提示 T2|a|； 提示 T|ab|.,2.已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？ (1)f(xa)f(x)(a0).,(3)f(xa)f(xb)(ab
3、).,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数yx2，x(0，)是偶函数.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( ) (3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.,1,2,3,4,5,6,2,解析 f(1)122，又f(x)为奇函数， f(1)f(1)2.,3.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x),1,1,2,
4、3,4,5,6,4.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_.,解析 由图象可知，当00； 当20. 综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5.,1,2,3,4,5,6,(2,0)(2,5,5.已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是,解析 f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,6.偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.,解析 f(x)为偶函数，f(1)f(1). 又f(x)的图象关于直线x2对称，f
5、(1)f(3). f(1)3.,3,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 函数奇偶性的判断,例1 判断下列函数的奇偶性：,师生共研,即函数f(x)的定义域为6,6，关于原点对称，,f(x)f(x)且f(x)f(x)， 函数f(x)既是奇函数又是偶函数.,关于原点对称.,函数f(x)为奇函数.,解 显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称. 当x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)， 函数f(x)为奇函数.,判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1
6、)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.,跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 A.f(x)xsin 2x B.f(x)x2cos x C.f(x)3x D.f(x)x2tan x,解析 对于选项A，函数的定义域为R，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，所以f(x)xsin 2x为奇函数； 对于选项B，函数的定义域为R，f(x)(x)2cos(x)
7、x2cos xf(x)，所以f(x)x2cos x为偶函数；,只有f(x)x2tan x既不是奇函数也不是偶函数.故选D.,(2)(2018石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，)上单调递减的函数为,题型二 函数的周期性及其应用,自主演练,解析 f(7)f(1)f(1)2.,1.(2018抚顺模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)_.,2,3.(2017山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.,6,解析 f(x4)f(x2)， f(x2)4)f(x
8、2)2)，即f(x6)f(x)， f(x)是周期为6的周期函数， f(919)f(15361)f(1). 又f(x)是定义在R上的偶函数， f(1)f(1)6，即f(919)6.,4.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1， _.,解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2， 则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.,利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.,题型三 函数性质的综合应用,命题点1 求函数值或函数解析式,例2 (1)设f(x)是定义
9、在R上周期为4的奇函数，若在区间2,0)(0,2上， f(x) 则f(2 021)_.,多维探究,解析 设0x2，则2x0，f(x)axb. 因为f(x)是定义在R上周期为4的奇函数， 所以f(x)f(x)ax1axb，所以b1.而f(2)f(24)f(2)，,(2)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则f(x)_.,解析 当x0时，x0， f(x)f(x)ex1x，,命题点2 求参数问题 例3 (1)若函数f(x)xln(x )为偶函数，则a_.,1,解析 f(x)f(x)，,ln a0，a1.,10,解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，,即b2a. 由得a2，b4
10、，从而a3b10.,(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2ax1a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是_.,1,0,解析 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0， 若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x0时，函数为减函数，且1a0，,命题点3 利用函数的性质解不等式,例4 (1)(2018聊城模拟)已知函数f(x)|x|(10x10x)，则不等式f(12x)f(3)0的解集为 A.(，2) B.(2，) C.(，1) D.(1，),解析 由于f(x)f(x)，所以函数为奇函数，且为单调递增函数， 故f(12x)f(3)0等价于f(12x)f(
11、3)f(3)， 所以12x3，x2，故选A.,(2)设函数f(x)ln(1|x|) ，解不等式f(x)f(2x1),解 由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)， 由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|),由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|， 两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，,解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解.,A.减函数且f(x)0 B.减函数且f(x)0 D.增函数且f(x)0,(2)(2018烟台模拟)已知偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(1)1，f
12、(3)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是 A.3,5 B.1,1 C.1,3 D.1,13,5,解析 由偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则在区间(，0)上单调递减， 又f(1)1，f(3)1，则f(1)1，f(3)1， 要使得1f(x2)1，即1|x2|3， 即1x23或3x21， 解得1x1或3x5， 即不等式的解集为1,13,5，故选D.,解 g(x)是奇函数， 当x0时，g(x)g(x)ln(1x)， 易知f(x)在R上是增函数， 由f(6x2)f(x)，可得6x2x， 即x2x60，3x2.,函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解
13、题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.,高频小考点,GAOPINXIAOKAODIAN,函数的性质,一、函数性质的判断 例1 (1)(2017全国)已知函数f(x)ln xln(2x)，则 A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.f(x)在(0,2)上单调递减 C.yf(x)的图象关于直线x1对称 D.yf(x)的图象关于点(1,0)对称,解析 f(x)的定义域为(0,2). f(x)ln xln(2x)lnx(2x)ln(x22x). 设ux22x，x(0,2)，则ux22x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减.
14、 又yln u在其定义域上单调递增， f(x)ln(x22x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减. 选项A，B错误； f(x)ln xln(2x)f(2x)， f(x)的图象关于直线x1对称，选项C正确； f(2x)f(x)ln(2x)ln xln xln(2x)2ln xln(2x)，不恒为0， f(x)的图象不关于点(1,0)对称，选项D错误. 故选C.,(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，且f(x)f(x6)，当x0,3时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减 A.3,7 B.4,5 C.5,8 D.6,10,解析 依题意知，f(x)是偶函数，
15、且是以6为周期的周期函数. 因为当x0,3时，f(x)单调递增， 所以f(x)在3,0上单调递减. 根据函数周期性知，函数f(x)在3,6上单调递减. 又因为4,53,6，所以函数f(x)在4,5上单调递减.,(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x).现有以下三个命题： 8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数. 其中正确命题的序号是_.,解析 由f(x)f(x2)0可得 f(x4)f(x2)f(x)， 函数f(x)的最小正周期是4，对； 由f(4x)f(x)， 可得f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x2对
16、称，对； f(4x)f(x)且f(4x)f(x)， f(x)f(x)，f(x)为偶函数，对.,二、函数性质的综合应用,例2 (1)(2018全国)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)等于 A.50 B.0 C.2 D.50,解析 f(x)是奇函数，f(x)f(x)， f(1x)f(x1).f(1x)f(1x)， f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x)f(x)， 函数f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)0， 又f(1x)f(1x)， f(x)的图象关
17、于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0. 又f(1)2，f(1)2， f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200， f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50) 012f(49)f(50)f(1)f(2)202.故选C.,(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则 A.f(25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(25) C.f(11)f(80)f(25) D.f(25)f(80)f(11),解析 因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)， 所以函数f(x)是以8为周期
18、的周期函数， 则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数， 且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2，2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11).,(3)设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则满足f(a2)0的实数a的取值范围为_.,解析 偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)， 函数f(x)在0，)上为增函数，f(2)0， 不等式f(a2)0等价于f(|a2|)f(2)，即|a2|2， 即a22
19、或a24或a0.,a|a4或a0,3,课时作业,PART THREE,1.下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0， 即f(0)20m0，解得m1， 则f(2)f(2)(221)3.,2.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；
20、yf(x)x. A. B. C. D.,解析 由奇函数的定义f(x)f(x)验证， f(|x|)f(|x|)，为偶函数； f(x)f(x)f(x)，为奇函数； xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数； f(x)(x)f(x)x，为奇函数. 可知正确，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则 f(1)等于 A.2 B.0 C.2 D.1,解析 函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2， f(1)f(1)f(12)f(1)， f(1)0，,1,2,3,4,5,6,7
21、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018惠州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(，0上是减函数，且f(1)2，则不等式f(log2x)2的解集为,解析 f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在0，)上是增函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018海南联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(12x)，当x0,6时，f(x)log6(x1)，若f(a)1(a0,2 020)，则a的最大值是 A.2 018 B.2 010 C.2 020 D.2 011,解析 由函数f(x)是
22、定义在R上的偶函数，f(x)f(12x)， 可得f(x)f(12x)，即f(x)f(12x)， 故函数的周期为12.令log6(a1)1，解得a5， 在0,12上f(a)1的根为5,7；又2 020121684， a的最大值在2 004,2 016上，即2 00472 011.故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.,解析 函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数， 故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax， 化简得ln(1e3x)ln e3xaxln(e3x1)ax， 即
23、3xaxax，所以2ax3x0恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ln 2,又因为f(x)是奇函数，,9.奇函数f(x)在区间3,6上是增函数，且在区间3,6上的最大值为8，最小值为1，则f(6)f(3)的值为_.,9,解析 由于f(x)在3,6上为增函数， 所以f(x)的最大值为f(6)8，f(x)的最小值为f(3)1， 因为f(x)为奇函数，所以f(3)f(3)1， 所以f(6)f(3)819.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
24、15,16,10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增的.如果 实数t满足f(ln t) 2f(1)，那么t的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，,又函数f(x)在区间0，)上是单调递增的，,11.已知函数f(x) 是奇函数. (1)求实数m的值；,解 设x0， 所以f(x)(x)22(x)x22x. 又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)， 于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1
25、6,(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.,解 要使f(x)在1，a2上单调递增，,故实数a的取值范围是(1,3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x).当x0,2时，f(x)2xx2. (1)求证：f(x)是周期函数；,证明 f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x). f(x)是周期为4的周期函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)当x2,4时，求f(x)的解析式.,解 x2,4，x4，
26、2， 4x0,2， f(4x)2(4x)(4x)2x26x8. f(4x)f(x)f(x)， f(x)x26x8， 即f(x)x26x8，x2,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)0，f(x2) 对任意xR恒成立，则 f(2 023)_.,1,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即函数f(x)的周期是4，所以f(2 023)f(50641)f(1). 因为函数f(x)为偶函数， 所以f(2 023)f(1)f(1).,1,2,3,4,5,6,7,8
27、,9,10,11,12,13,14,15,16,所以f(x4)f(x2)2,由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 023)f(1)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 易知函数f(x)在0，)上单调递减， 又函数f(x)是定义在R上的偶函数， 所以函数f(x)在(，0)上单调递增， 则由f(1x)f(xm)， 得|1x|xm|，即(1x)2(xm)2， 即g(x)(2m2)xm210在xm，m1上恒成立， 当m1时，g(x)0，符合要求，,解析 易知f(x)在R上
28、为单调递增函数，且f(x)为奇函数， 故f(mx2)f(x)0等价于f(mx2)f(x)f(x)，则mx2x， 即mxx20对所有m2,2恒成立， 令h(m)mxx2，m2,2，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知函数f(x)sin xx，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x 的取值范围为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x1)是偶函数，当x(2,4)时，f(x)|x3|，求f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)的值.,解 因为f(x)为奇函数，f(x1)为偶函数， 所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)， 所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为4， 所以f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1).在f(x1)f(x1)中， 令x1，可得f(2)f(0)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0. 所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)0.,