1、3.1 导数的概念及运算,第三章 导数及其应用,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，y 的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.导数与导函数的概念,f(x0)或y|,xx0,知识梳理,
2、ZHISHISHULI,(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间(a，b)内的导函数.记作f(x)或y. 2.导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k .,f(x0),3.基本初等函数的导数公式,x1,cos x,sin x,ex,axln a,0,4.导数的运算法则 若f(x)，g(x)存在，则有 (1)f(x)g(x) ； (2)f(x)g(x) ； (3) (g(x)0).,f(x)g(x),f(x)g(x)f(
3、x)g(x),1.根据f(x)的几何意义思考一下，|f(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？,提示 |f(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭.,2.直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？,提示 不一定.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.( ) (2)f(x0)f(x0).( ) (3)(2x)x2x1.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.若f(x)xex，则f(1) .,1,2,3,4,5,6,2e,解析 f(x
4、)exxex，f(1)2e.,3.曲线y1 在点(1，1)处的切线方程为 .,2xy10,所求切线方程为2xy10.,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,4.如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是,1,2,3,4,5,6,解析 由yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C. 又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.,1,2,3,4,5,6,6.(2017天津)已知aR
5、，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .,1,又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)， 切线l的方程为ya(a1)(x1). 令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 导数的计算,自主演练,3.f(x)x(2 019ln x)，若f(x0)2 020，则x0 .,1,由f(x0)2 020，得2 020ln x02 020，x01.,4.若f(x)x22xf(1)，则f(0) .,4,解析 f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)，即f(1)2， f(x
6、)2x4，f(0)4.,1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错. 2.(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导. (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.,命题点1 求切线方程 例1 (1)(2018湖北百所重点高中联考)已知函数f(x1) ，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为 A.1 B.1 C.2 D.2,题型二 导数的几何意义,由导数的几何意义知，所求切线的斜率k1.,多维探究,(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线y
7、f(x)相切，则直线l的方程为 .,xy10,解析 点(0，1)不在曲线f(x)xln x上， 设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x， 直线l的方程为y1(1ln x0)x.,直线l的方程为yx1，即xy10.,命题点2 求参数的值 例2 (1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则2ab .,1,解析 由题意知，yx3axb的导数为y3x2a，,由此解得k2，a1，b3，2ab1.,(2)已知f(x)ln x，g(x) 直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m .,2,又f(1)0，切线l的方程为yx1. g(x)xm，
8、设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，,m2.,命题点3 导数与函数图象,例3 (1)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是,解析 由yf(x)的图象是先上升后下降可知，函数yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.,(2)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3) .,0,g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由题图可知f(3)1，,导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在
9、以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0). (2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由 求解即可. (3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况.,跟踪训练 (1)(2018全国)已知f(x)x2，则曲线yf(x)过点P(1,0)的切线方程是 .,y0或4xy40,f(x)2x，切线方程为y02x0(x1)，,所求切线方程为y0或y4(x1)， 即y0或4xy40.,(2)设曲线y 处的切线与直线xay10平行，则实数a .,1,(3)(2018开封模拟)函数f(x)ln xax的图象
10、存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是 .,(，2),解析 函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线， 即f(x)2在(0，)上有解.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018衡水调研)设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为,解析 由f(x)xln x，得f(x)ln x1. 根据题意知，ln x012， 所以ln x01，即x0e.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.曲线ysin xex在点(0,1)处的
11、切线方程是 A.x3y30 B.x2y20 C.2xy10 D.3xy10,解析 ycos xex，故切线斜率k2，切线方程为y2x1， 即2xy10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是,解析 原函数的单调性是当x0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增， 故当x0；当x0时，f(x)的符号变化依次为，.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,y1,0)，得tan 1,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
12、10,11,12,13,14,15,16,6.(2018广州调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为,因为切线过点(0,0)，所以ln x01，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018鹰潭模拟)已知曲线f(x)2x21在点M(x0，f(x0)处的瞬时变化率为8，则点M的坐标为 .,解析 f(x)2x21， f(x)4x，令4x08，则x02， f(x0)9，点M的坐标是(2,9).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2,9),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1
13、3,14,15,16,2,9.若曲线yln x的一条切线是直线y xb，则实数b的值为 .,1ln 2,解得x02，则切点坐标为(2，ln 2)， 所以ln 21b，b1ln 2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018云南红河州检测)已知曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，则a_.,1e,解析 因为f(x)ln x1， 所以曲线f(x)xln x在xe处的切线斜率为k2， 则曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe. 由于切线与曲线yx2a相切， 故yx2a可联立y2xe， 得x22
14、xae0， 所以由44(ae)0，解得a1e.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示. (1)若f(1)1，则f(1) ；,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题图可得f(x)x，g(x)x2， 设f(x)ax2bxc(a0)， g(x)dx3ex2mxn(d0)， 则f(x)2axbx， g(x)3dx22exmx2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
15、14,15,16,(2)设函数h(x)f(x)g(x)，则h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为 . (用“”连接),h(0)h(1)h(1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知函数f(x)x34x25x4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；,解 f(x)3x28x5，f(2)1， 又f(2)2， 曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2， 即xy40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程.,1,2,3,4,5,6,7,8
16、,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1， 经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为 xy40或y20.,13.已知函数f(x)exmx1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线yex垂直的切线，则实数m的取值范围是,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018泰安模拟)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，求ab的值.,解 依题意得，f(x)asin x，g(x)
17、2xb，f(0)g(0)， 即asin 020b，得b0.又mf(0)g(0)， 即ma1，因此ab1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”.已知函数f(x)5x4sin xcos x的“拐点”是M(x0，f(x0)，则点M A.在直线y5x上 B.在直线y5x上 C.在直线y4x上 D.在直线y4x
18、上,解析 由题意，知f(x)54cos xsin x，f(x)4sin xcos x， 由f(x0)0，知4sin x0cos x00， 所以f(x0)5x0， 故点M(x0，f(x0)在直线y5x上.,(1)求曲线f(x)过点(0，3)的切线方程；,切线过(0，3)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，,令yx，得yx2m， 从而切线与直线yx的交点为(2m,2m)，,