1、6.3 等比数列及其前n项和,第六章 数列,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.体会等比数列与指数函数的关系.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于_ (不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通 常用字母q表示，
2、定义的表达式为 (nN*，q为非零常数). (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么 叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列 .,ZHISHISHULI,2,同一常数,公比,G,G2ab,2.等比数列的有关公式,(1)通项公式：an . (2)前n项和公式：Sn .,a1qn1,3.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN*). (2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则aman . (4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.,qnm,apaq,1.将一个
3、等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？,【概念方法微思考】,提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数.,2.任意两个实数都有等比中项吗？,提示 不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.,3.“b2ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？,提示 必要不充分条件.因为b2ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a0，b0，c1.但a，b，c成等比数列一定有b2ac.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.(
4、) (2)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列. ( ) (3)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.( ) (5)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,3.公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的值为 A.8 B.9 C.10 D.11,解析 由题意得，2a5a618，a5a69， a1ama5a69， m10.,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,解析 1，a1，a2，4成等差数列， 3(a2a1)41，a2a11.
5、 又1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，,1,2,3,4,5,6,解析 设等比数列an的公比为q， 8a2a50，8a1qa1q40. q380，q2，,1,2,3,4,5,6,11,6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 秒，该病毒占据内存 8 GB.(1 GB210 MB),39,解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an， 且a12，q2，an2n， 则2n8210213，n13. 即病毒共复制了13次. 所需时间为13339(秒).,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深
6、度剖析,PART TWO,题型一 等比数列基本量的运算,自主演练,2.(2018全国)等比数列an中，a11，a54a3. (1)求an的通项公式；,解 设an的公比为q，由题设得anqn1. 由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2. 故an(2)n1或an2n1(nN*).,(2)记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.,由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解. 若an2n1，则Sn2n1. 由Sm63得2m64，解得m6. 综上，m6.,(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”). (2)运
7、用等比数列的前n项和公式时，注意对q1和q1的分类讨论.,题型二 等比数列的判定与证明,师生共研,例1 已知数列an满足对任意的正整数n，均有an15an23n，且a18. (1)证明：数列an3n为等比数列，并求数列an的通项公式；,解 因为an15an23n， 所以an13n15an23n3n15(an3n)， 又a18，所以a1350， 所以数列an3n是首项为5、公比为5的等比数列. 所以an3n5n，所以an3n5n.,跟踪训练1 (2018黄山模拟)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn1 4an2. (1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,证明 由a11及Sn
8、14an2， 有a1a2S24a12. a25，b1a22a13., ,，得an14an4an1(n2)， an12an2(an2an1)(n2). bnan12an，bn2bn1(n2)， 故bn是首项b13，公比为2的等比数列.,(2)求数列an的通项公式.,解 由(1)知bnan12an32n1，,故an(3n1)2n2.,题型三 等比数列性质的应用,师生共研,(2)(2018大连模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，S21，S45，则S6等于 A.9 B.21 C.25 D.63,解析 因为S210， 所以q1， 由等比数列性质得S2，S4S2，S6S4成等比数列， 即1(S65)(5
9、1)2， 所以S621，故选B.,等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形. (3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.,跟踪训练2 (1)等比数列an各项均为正数，a3a8a4a718，则 a1 a2 a10 .,20,所以 a1 a2 a10,20.,解析 由a3a8a4a718，得a4a79,解析 很明显等比数列的公比q1，,关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件.,高频小考点,GAOPINXIAOKAODI
10、AN,等差数列与等比数列,解析 已知等差数列an的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列， (a14d)2(a1d)(a16d)， 10d2a1d，d0， 10da1，,例2 (2018烟台质检)已知an为等比数列，数列bn满足b12，b25，且an(bn1bn)an1，则数列bn的前n项和为 A.3n1 B.3n1,解析 b12，b25，且an(bn1bn)an1， a1(b2b1)a2，即a23a1， 又数列an为等比数列， 数列an的公比为q3，,数列bn是首项为2，公差为3的等差数列，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1.(2018重庆巴蜀中学月考)已知等
11、比数列an满足a11，a3a716，则该数列的公比为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 a2，a16是方程x26x20的根， a2a166，a2a162， a20，q0.,3.(2018马鞍山质检)等比数列an的前n项和为Sn32n1r，则r的值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当n1时，a1S13r， 当n2时，anSnSn132n132n3 32n3(321)832n3832n231,A.5 B.3 C.5 D
12、.3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意可得，,5.(2019西北师大附中冲刺诊断)古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为 A.10 B.9 C.8 D.7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设该女子第一天织布x尺，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1
13、3,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,an1a12n.,7.已知等比数列an的前n项和为Sn，且a12 018，a2a42a3，则S2 019 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 a2a42a3， a2a42a30，a22a2qa2q20， q22q10，解得q1. a12 018，,2 018,2 018.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则有122n11
14、023， n10，,18,解得a53(舍负)，即a1q43，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,S4S12S8，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1q41q12(1q8)，,(1)求b1，b2，b3；,将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24. 将n2代入得，a33a2，所以a312. 从而b11，b22，b34.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；,解 bn是首项为1，公比为2的等比数列.,1,2,3,4,5
15、,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3)求an的通项公式.,解 由(2)可得2n1， 所以ann2n1.,证明 b1a2a11.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求数列an的通项公式.,当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1),1,2,3,4,5,6
16、,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为f(x)x28x6，所以a1a4 0376，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9,解析 由数列an的前n项和为Sn2n12， 则当n2时，anSnSn12n122n22n， a1S12，满足上式，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,n(n1)2n12， 当n9时，T991021021 1121 024， 当n8时，T8892925821 024的最小n
17、的值为9.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4a3，则使得Tn1的n的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3， 又q1，a11(n3)， 故n的最小值为6，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；.设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，xt，2，并记anlog2(1x1x2xt2)，其中t2n1，nN*，求数列an的通项公式.,解 anlog2(1x1x2xt2)， 所以an1log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,