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鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第2课时课件

1、第2课时 导数与函数的极值、最值,第三章 3.2 导数的应用,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类 深度剖析,1,PART ONE,题型一 用导数求解函数极值问题,命题点1 根据函数图象判断极值 例1 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是 A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2),多维探究,解析 由题图可知,当x0; 当22时

2、,f(x)0. 由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值, 在x2处取得极小值.,命题点2 求已知函数的极值 例2 (2018泉州质检)已知函数f(x)x1 (aR,e为自然对数的底数), 求函数f(x)的极值.,当a0时,f(x)0,f(x)为(,)上的增函数,所以函数f(x)无极值. 当a0时,令f(x)0,得exa,即xln a, 当x(,ln a)时,f(x)0, 所以f(x)在(,ln a)上单调递减, 在(ln a,)上单调递增,故f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a,无极大值. 综上,当a0时,函数f(x)无极值; 当a0时,f(x)在xln a处取

3、得极小值ln a,无极大值.,命题点3 根据极值(点)求参数,所以f(x)x2ax1.,函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 确定函数的定义域;求导数f(x);解方程f(x)0,求出函数定义域内的所有根;列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. 验证:求解后验证根的合理性.,跟踪训练1 设函数f(x)ax32x2xc. (1)当a1,且函数f(x)的图象过点(0,1)时,求函数f(x)的极小值;,解 f(x)3ax24x1. 函数f(x)的图

4、象过点(0,1)时,有f(0)c1. 当a1时,f(x)x32x2x1,f(x)3x24x1,,所以函数f(x)的极小值是f(1)13212111.,(2)若f(x)在(,)上无极值点,求a的取值范围.,解 若f(x)在(,)上无极值点, 则f(x)在(,)上是单调函数, 即f(x)3ax24x10或f(x)3ax24x10恒成立. 当a0时,f(x)4x1,显然不满足条件; 当a0时,f(x)0或f(x)0恒成立的充要条件是(4)243a10,,题型二 用导数求函数的最值,师生共研,(1)求f(x)的单调区间;,f(x)的定义域为(0,).,由f(x)0,得01,,(1)若函数在区间a,b上

5、单调递增或递减,f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值; (2)若函数在闭区间a,b内有极值,要先求出a,b上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成; (3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.,跟踪训练2 (2017北京)已知函数f(x)excos xx. (1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;,解 因为f(x)excos xx, 所以f(x)ex(cos xsin x)1,f(0)0. 又因为f(0)1,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程

6、为y1.,解 设h(x)ex(cos xsin x)1, 则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.,即f(x)0,,题型三 函数极值、最值的综合问题,例5 (2018珠海调研)已知函数f(x) (a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0. (1)求f(x)的单调区间;,师生共研,令g(x)ax2(2ab)xbc, 因为ex0,所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同. 又因为a0,所以当30,即f(x)0, 当x0时,g(x)0,即f(x)0, 所以f(x)的单调递增区间是(3,0), 单调递减区间是(,3)

7、,(0,).,(2)若f(x)的极小值为e3,求f(x)在区间5,)上的最大值.,解 由(1)知,x3是f(x)的极小值点,,解得a1,b5,c5,,因为f(x)的单调递增区间是(3,0), 单调递减区间是(,3),(0,), 所以f(0)5为函数f(x)的极大值, 故f(x)在区间5,)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者,,所以函数f(x)在区间5,)上的最大值是5e5.,(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函

8、数的最值.,跟踪训练3 已知函数f(x)ax32x24x5,当x 时,函数f(x)有极值,则函数f(x)在3,1上的最大值为_.,13,解析 f(x)3ax24x4,,f(x)x32x24x5, f(x)3x24x4.,当x变化时,f(x),f(x)的取值及变化情况如表所示:,函数f(x)在3,1上的最大值为13.,例 (12分)已知函数f(x)ln xax(aR). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a0时,求函数f(x)在1,2上的最小值.,答题模板,DATIMUBAN,利用导数求函数的最值,综上可知,当a0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,);,所以f(x)的最小值是f(1)

9、a. 7分,又f(2)f(1)ln 2a,,当ln 2a1时,最小值为f(2)ln 22a. 11分 综上可知,当0aln 2时,函数f(x)的最小值是f(1)a; 当aln 2时,函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a. 12分,答题模板 用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步:(求导数)求函数f(x)的导数f(x); 第二步:(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值; 第三步:(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值; 第四步:(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进比较,确定f(x)的最大值与最小值; 第五步:(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题

10、规范.,课时作业,2,PART TWO,1.函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点,解析 设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1,x2,x3,x4. 当x0,f(x)为增函数,当x1xx2时,f(x)0,f(x)为减函数,则xx1为极大值点, 同理,xx3为极大值点,xx2,xx4为极小值点,故选C.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)x24(

11、x2)(x2), f(x)在(,2)上单调递增,在(2,2)上单调递减, 在(2,)上单调递增,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.函数yxex的最小值是 A.1 B.e C. D.不存在,解析 因为yxex,所以yexxex(1x)ex. 当x1时,y0;当x1时,y0, 所以当x1时,函数取得最小值,且ymin 故选C.,4.(2018南昌调研)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2),则 A.当k1时,f(x)在x1处取得极小值 B.

12、当k1时,f(x)在x1处取得极大值 C.当k2时,f(x)在x1处取得极小值 D.当k2时,f(x)在x1处取得极大值,解析 当k1时,f(x)exx1,f(1)0,x1不是f(x)的极值点. 当k2时,f(x)(x1)(xexex2), 显然f(1)0,且在x1附近的左侧f(x)1时,f(x)0, f(x)在x1处取得极小值.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,则f(2)等于 A.11或18 B.11 C

13、.18 D.17或18,解析 函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10, f(1)10,且f(1)0,又f(x)3x22axb,,f(x)x34x211x16,f(2)18.,6.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0),则获得最大利润时的年产量为 A.1百万件 B.2百万件 C.3百万件 D.4百万件,解析 y3x2273(x3)(x3), 当00; 当x3时,y0. 故当x3时,该商品的年利润最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018海南联考)若x1是函数f(x)x3 的一个极值点

14、,则实数a_.,f(1)3a0,得a3.经检验,符合题意.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,8.函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范 围是_.,解析 f(x)3x23a23(xa)(xa), 由f(x)0得xa, 当aa或x0,函数f(x)单调递增, f(x)的极大值为f(a),极小值为f(a). f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值,若m1,1,则f(m)的最小值为

15、_.,4,解析 f(x)3x22ax,由f(x)在x2处取得极值知f(2)0, 即342a20,故a3. 由此可得f(x)x33x24. f(x)3x26x,由此可得f(x)在(1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增, 当m1,1时,f(m)minf(0)4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018长沙调研)已知yf(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)ln xax 当x(2,0)时,f(x)的最小值为1,则a_.,1,解析 由题意知,当x(0,2)时,f(x)的最大值为1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

16、13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知函数f(x)ax2bln x在点A(1,f(1)处的切线方程为y1. (1)求实数a,b的值;,f(1)a1,f(1)2ab0, 将a1代入2ab0,解得b2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求函数f(x)的极值.,解 由(1)得f(x)x22ln x(x0),,令f(x)0,解得x1,令f(x)0,解得0x1, 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增, 所以f(x)极小值f(1)1,无极大值.,12.(2018

17、武汉质检)已知函数f(x) (1)求f(x)在区间(,1)上的极小值和极大值点;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 当x1时,f(x)3x22xx(3x2),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,故当x0时,函数f(x)取得极小值f(0)0,,(2)求f(x)在1,e(e为自然对数的底数)上的最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,

18、所以f(x)在1,1)上的最大值为2. 当1xe时,f(x)aln x,当a0时,f(x)0; 当a0时,f(x)在1,e上单调递增, 则f(x)在1,e上的最大值为f(e)a. 故当a2时,f(x)在1,e上的最大值为a; 当a2时,f(x)在1,e上的最大值为2.,13.函数f(x)x33x1,若对于区间3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|t,则实数t的最小值是 A.20 B.18 C.3 D.0,解析 因为f(x)3x233(x1)(x1), 令f(x)0,得x1,可知1,1为函数的极值点. 又f(3)19,f(1)1,f(1)3,f(2)1, 所以在区间3,2上,f(

19、x)max1,f(x)min19. 由题设知在区间3,2上,f(x)maxf(x)mint, 从而t20,所以t的最小值是20.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018贵州质检)设直线xt与函数h(x)x2,g(x)ln x的图象分别交于点M, N,则当|MN|最小时,t的值为_.,解析 由已知条件可得|MN|t2ln t,,15.已知函数f(x)xln xmex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数m的 取值范围是_.,拓展冲刺练,1,2,3,

20、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)xln xmex(x0),f(x)ln x1mex(x0),,h(x)在(0,)上单调递减且h(1)0, 当x(0,1时,h(x)0,即g(x)0,g(x)在(0,1上单调递增,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即g(x)0,g(x)在(1,)上单调递减,,而当x0时,g(x),当x时,g(x)0; 若ym和g(x)的图象在(0,)上有两个交点,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.已知函数f(x)axln x,x(0,e的最小值是2,求正实数a的值.,综上,正实数a的值为e.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,