1、6.2 等差数列及其前n项和,第六章 数列,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过实例，理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.体会等差数列与一次函数的关系.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 ， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母_表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公
2、差为d，那么它的通项公式是 . 3.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的 .,ZHISHISHULI,从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,公差,d,ana1(n1)d,等差中项,4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN*). (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 . (3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 . (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 的等
3、差数列. (6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列.,(nm)d,akalaman,2d,md,7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值.,5.等差数列的前n项和公式,6.等差数列的前n项和公式与函数的关系,大,小,【概念方法微思考】,提示 充要条件.,2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？,提示 不一定.当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数.,3.如何推导等差数列的前n项和公式？,提示 利用倒序相加法.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从
4、第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( ) (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) (4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.( ) (5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2. ( ),1,2,3,4,5,6,(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于 A.31 B.32 C.33
5、 D.34,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,3.在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8 .,180,解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450， a590，a2a82a5180.,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,5.若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n 时，an的前n项和最大.,8,解析 因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80， 所以a80. 又a7a10a8a90， 所以a90. 故当n8时，其前n项和最大.,1,2,3,4,5,6,6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每
6、秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过 秒落到地面.,解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.,1,2,3,4,5,6,20,即4.90t21 960，解得t20.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 等差数列基本量的运算,解析 设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，,自主演练,1.(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5等于 A.12 B.10 C.10 D.12,将a12代入上式，解得d3， 故a5a1(51)d24(3)10. 故选B.,2.(2018烟台
7、模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若a75，S927，则a20等于 A.17 B.18 C.19 D.20,(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个. (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.,题型二 等差数列的判定与证明,师生共研,解 an是1与anan1的等差中项，,例1 在数列an中，a12，an是1与anan1的等差中项.,等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2. (3)通项公式法：得出
8、anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列. (4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列.,题型三 等差数列性质的应用,命题点1 等差数列项的性质,多维探究,例2 (2018上饶模拟)已知an为等差数列，a2a818，则an的前9项和S9等于 A.9 B.17 C.72 D.81,解析 由等差数列的性质可得，a1a9a2a818，,命题点2 等差数列前n项和的性质,解析 在等差数列an中， S5，S10S5，S15S10成等差数列， 即7,14，S1521成等差数列， 所以7(S1521)214， 解得S1542.,例3 (1)(2019漳州质检)已知等
9、差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于 A.35 B.42 C.49 D.63,2 020,等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，则aman apaq. (2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 S2nn(a1a2n)n(anan1)； S2n1(2n1)an.,解析 a3a5a7 3a515， a55， a5a233d， 可得d1，故选B.,跟踪训练2 (1)已知等差数列an，a22，a3a5a715，则数列an的公差d等于 A.0 B.1 C.1 D.2,(2)(2019莆田质检)设等差数列an的前n项和为S
10、n，若S130，S140，则Sn取最大值时n的值为 A.6 B.7 C.8 D.13,解析 根据S130，S140，a1a14a7a80，a80， 所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1.若an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由于a72a4a16d2(a13d)a11，则a11. 又由a3a12d12d0，,2.在等差数列an中，已知a12，a2a3a424，则a4a5a6等于 A.38 B.39 C.41 D.42,解析 由a12，a2a3
11、a424， 可得，3a16d24，解得d3， a4a5a63a112d42.故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018新乡模拟)已知等差数列an中，a1 0123，S2 0172 017，则S2 020等于 A.2 020 B.2 020 C.4 040 D.4 040,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠
12、.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为 A.65 B.176 C.183 D.184,解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.,解得a165. 由等差数列通项公式得a865(81)17184.,5.已知数列an是等差数列，前n项和为Sn，满足a15a3S8，给出下列结论： a100；S10最小；S7S12；S200. 其中一定正确的结论是 A. B
13、. C. D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 a15(a12d)8a128d， 所以a19d， a10a19d0，正确； 由于d的符号未知，所以S10不一定最大，错误； S77a121d42d，S1212a166d42d， 所以S7S12，正确； S2020a1190d10d，错误. 所以正确的是，故选C.,A.14 B.15 C.16 D.17,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
14、,11,12,13,14,15,16,解析 数列an是等差数列，它的前n项和Sn有最小值， 公差d0，首项a10，an为递增数列.,a8a90， 由等差数列的性质知， 2a8a1a150.,当Sn0时，n的最小值为16.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018北京)设an是等差数列，且a13，a2a536，则an的通项公式为 .,an6n3(nN*),解析 方法一 设公差为d. a2a536，(a1d)(a14d)36， 2a15d36.a13，d6， 通项公式ana1(n1)d6n3(nN*). 方法二 设公差为d， a2a5a1a636
15、，a13，,a13，通项公式an6n3(nN*).,解析 根据题意可得a1a132a7，2a12a134a72， 所以有sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13 sin 2a1sin(22a1)cos a1cos(a1)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,解析 在等差数列中，S1919a10，T1919b10，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(n23n3)2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
16、1,12,13,14,15,16,且a11，a39，,an(n23n3)2，n1时也成立. an(n23n3)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)证明：数列bn是等差数列；,bn是等差数列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求数列an的通项公式.,12.(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315. (1)求an的通项公式；,解 设an的公差为d，由题意得3a13d15. 由a17得d2. 所以an的通项公式为ana1(n1)d2n9(nN*).,1,2,3,4,5
17、,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求Sn，并求Sn的最小值.,技能提升练,13.(2018佛山质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，bn 且b1b317，b2b468，则S10等于 A.90 B.100 C.110 D.120,解析 设an公差为d，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,d2，b1b3 17， 1，a10，,14.(2018菏泽模拟)已知等差数列an前n项和为Sn，且S69，S84
18、，若满 足不等式nSn的正整数n有且仅有3个，则实数的取值范围为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 不妨设SnAn2Bn，由S69，S84，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则f(x)3x215x3x(x5)，易得数列nSn在1n5，nN*时单调递减；,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,40,解析 设an2(n1)d，,所以其通项是一个关于n的一次函数， 所以(d2)20， d2. 所以a202(201)240.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以a13a2(2n1)an2n， 所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当n1时，a12，符合上式，,所以b13b23n1bn3n， 所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)， 两式相减得bn32n(n2，nN*). 当n1时，b13，符合上式， 所以bn32n(nN*). 所以cn(2k)n2k1. 因为对任意的正整数n都有SnS6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,