1、微专题十一 数学问题中圆的寻觅,第九章 平面解析几何,解题技法 众所周知，圆是常见的平面图形，无论从形或数两方面来看，圆都具有丰富的内涵.当我们面对某些数学问题时，倘若能够从圆的视角来审视问题，即寻觅问题中圆的隐形的踪影，常常能使问题的求解过程变得清晰明了，简单快捷.本文拟就如何寻觅问题中圆的踪影，分三个方面予以概述.,一、寻觅几何圆 所谓寻觅几何圆，是指通过构造一个问题背后的相关圆，借助圆的几何性质求解问题.,例1 在锐角ABC中，A45，若a ，求bc的取值范围. 以下是本题的常见解法：,解 因为BC180A135，0B90，0C90，所以45C90. 又由余弦定理得b2sin B，c2s
2、in C，,上述解法，局限于“数”，倘若基于“形”， 则可画出ABC的外接圆O，如图1，设BM，CN为圆O的直径.,当点A在劣弧MN(不含端点)上运动时，ABC即为锐角三角形， 此时，ABC的面积S满足SMBCSSDBC(D为劣弧MN的中点)，即,所以bc(MBMC，DB2.,这种解法，直观简洁，避免了繁冗的三角变换过程.,例2 在ABC中，sin(AB)sin Csin B，D是BC的一个三分点(靠近点B)， 记 ，则当取最大值时，求tanACD的值. 这是一道有一定难度的综合问题.假如仅从常规的函数视角审视问题，求解过程颇为不易.下面，我们从构造圆的思维考虑问题，则有以下简明解法.,解 由
3、sin(AB)sin Csin Bsin(AB)sin B可得2cos Asin Bsin B，,因为A(0，180)，故A60. 画出ABC的外接圆O，如图2， 记A，B，C所对的边长顺次为a，b，c.,不难证明：当最大时，AD过圆心O(否则ADAOODAOODAD)，过O作OEBC，交BC于E.,所以OD1，即有ODBD，故OBDDOB30，BOA150，ABO15， 所以ABC45. 从而ACDACB180604575，,因为A60，所以BOC120，OBCOCB30.,二、寻觅解析圆 解析圆，即为坐标圆.解题时，依照题设，通过建立直角坐标系，寻觅隐藏在问题背后的圆的方程，依托圆的解析性
4、质求解问题.,例3 (2018浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是 A. 1 B. 1 C.2 D.2 下面给出一种基于构造解析圆的解法.,解 设e(1,0)，a(x，y)，b(m，n)，,又由b24eb30可得m2n24m30，整理得(m2)2n21.,例4 在平面四边形ABCD中，AB1，AC ，BDBC，BD2BC，求线段AD的最大值与最小值. 本题是某地模拟试卷中的一道题，其中给出的该题详解是基于正弦定理、余弦定理的求解，过程不易. 下面给出根据已知构造解析圆的更加简捷的求法.,解 如图4，以B为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0). 设BCr，则可设C(rcos ，rsin )，,又因为BDBC，BD2BC，则点D的坐标(xD，yD)满足,三、寻觅双面圆 寻觅双面圆，即寻觅隐含在问题背后的具有几何与代数特征的圆，然后，借助于圆的综合性质，达到破解问题的目的.,本题按照常规思路求解，不太容易.如若能够伸出圆的视角，则能峰回路转.请看以下求解过程.,解 如图5，,|OA|OB|AB|OA|OB|TA|TB|OA|OB|AM|BN|OM|ON|2r.,由于点P(2,3)在圆外，故有(2r)2(3r)2r2，,