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鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第十章计数原理10.2排列与组合课件

1、,第十章 计数原理,10.2 排列与组合,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过实例,理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.排列与组合的概念,知识梳理,ZHISHISHULI,一定的顺序,2.排列数与组合数 (1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用_表示. (2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_的个数,叫做从n个不同元素中取出m个

2、元素的组合数,用_表示.,所有不同排列,所有不同组合,3.排列数、组合数的公式及性质,n(n1)(n2)(nm1),1,n,1.排列问题和组合问题的区别是什么?,提示 元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.,2.排列数与组合数公式之间有何关系?它们公式都有两种形式,如何选择使用?,(2)两种形式分别为:连乘积形式;阶乘形式. 前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.,【概念方法微思考】,3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些?,提示 解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置

3、”;“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类,然后逐类解决;“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( ) (4)(n1)!n!nn!.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.

4、把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 A.144 B.120 C.72 D.24,解析 “插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为 43224.,3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为 A.8 B.24 C.48 D.120,1,2,3,4,5,6,4.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A.192种 B.216种 C.240种 D.288种,第二类:乙在最左端,甲不在最右端,,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,所以共有12096216(种)排法.,5.

5、为发展国外孔子学院,教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若每个国家至少去一人,则不同的选派方案种数为 A.180 B.240 C.540 D.630,1,2,3,4,5,6,故不同的选派方案种数为9036090540.,1,2,3,4,5,6,6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排A,B,C,D,E五个座位(一排共五个座位),上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有_种.(用数字作答),45,解析 设5名同学也用A,B,C,D,E来表示,若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法,设E同学坐在自己的座位上,则其他四位都不

6、坐自己的座位,则有BADC,BDAC,BCDA,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共9种坐法,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545(种).,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 排列问题,1.用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20 000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有 A.96个 B.78个 C.72个 D.64个,自主演练,解析 根据题意知,要求这个五位数比20 000大,则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个,当首位是3时,百位数不是数字3,符合要求的五位数有 24(个);当首位是2,4,5时,由于百位数

7、不能是数字3,则符合要求的五位数有3 54(个),因此共有542478(个)这样的五位数符合要求.故选B.,2.某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言,那么全班共写了_条毕业留言.(用数字作答),解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了 40391 560(条)留言.,1 560,3.6名同学站成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有_种不同站法.,480,解析 方法一 (位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分为两步:,方法二 (元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左

8、边又不站在最右边),再安排其他5人的位置,分为两步:,排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.,题型二 组合问题,例1 男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛,在下列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员3名,女运动员2名;,师生共研,解 分两步完成:,(2)至少有1名女运动员;

9、,解 方法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.,方法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,可用间接法求解.,(3)队长中至少有1人参加;,解 方法一 (直接法)可分类求解:,(4)既要有队长,又要有女运动员.,组合问题常有以下两类题型变化: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求

10、解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.,跟踪训练1 某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?,某一种假货必须在内的不同取法有561种.,(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?,某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.,(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?,恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.,(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?,至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.,(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?,解 方法一 (间

11、接法),至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.,方法二 (直接法),至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.,题型三 排列与组合的综合问题,多维探究,命题点1 相邻问题,例2 3名男生、3名女生排成一排,男生必须相邻,女生也必须相邻的排法种数为 A.2 B.9 C.72 D.36,解析 可分两步完成:第一步,把3名女生作为一个整体,看成一个元素,3名男生作为一个整体,看成一个元素,两个元素排成一排有 种排法;第二步,3名女生排在一起有 种排法,3名男生排在一起有 种排法,故排法种数为 72.,例3 某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节

12、目不相邻的排法种数是 A.72 B.120 C.144 D.168,命题点2 相间问题,解析 先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1,小品2,相声”“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.,同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“小品1相声小品2”,有 48(种)安排方法,故共有363648120(种)安排方法.,例4 大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个孩子共8人,他们准备使用滴滴打车软件,分乘甲

13、、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置),其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有 A.18种 B.24种 C.36种 D.48种,命题点3 特殊元素(位置)问题,解析 根据题意,分两种情况讨论: A家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭,可以在剩下的三个家庭中任选2个,再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,,A家庭的孪生姐妹不在甲车上,需要在剩下的三个家庭中任选1个,让其2个孩子都在甲车上,对于剩余的两个家庭,从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,有 12(种)乘坐方式, 故共有1

14、21224(种)乘坐方式,故选B.,解排列、组合问题要遵循的两个原则 按元素(位置)的性质进行分类; 按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常以元素(位置)为主体,即先满足特殊元素(位置),再考虑其他元素(位置).,跟踪训练2 (1)把5件不同的产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有_种.,解析 将产品A与B捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有 种方法,将产品A,B,C捆绑在一起,且A在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有 种方法.于是符合题意的摆法共有 36(种).,36,(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普

15、通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有_种不同的选法.(用数字作答),660,3,课时作业,PART THREE,1.(2018湖南三湘名校联考)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”,其中China又可以简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排,含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有 A.360种 B.480种 C.600种 D.720种,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.有七名同学站成一排照毕业

16、纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法有 A.240种 B.192种 C.96种 D.48种,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为 A.16 B.18 C.24 D.32,4.(2017全国)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 A.12种 B.18种 C.24种 D.36种,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16

17、,5.(2018昆明质检)互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,先要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有 种摆放方法.,6.(2016四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为A.24 B.48 C.60 D.72,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题可知,五

18、位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5.分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有 种选法,再将剩下的4个数字排列有 种排法,则满足条件的五位数有 72(个).故选D.,解析 把g,o,o,d 4个字母排一列,可分两步进行,第一步:排g和d,共有 种排法;第二步:排两个o,共1种排法,所以总的排法种数为 12.其中正确的有一种,所以错误的共有 112111(种).,7.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误方法共有_种.(用数字作答),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,

19、12,13,14,15,16,8.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有_种.(用数字作答),第二类:3张中奖奖券分给2个人,相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人,共有 种分法.,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2018太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有_种.(用数字作答),解析 先从除了甲、乙以外的6人中选一人,安排在甲乙中间,有 12(种),把这三个人看成一个整体,与从剩下的五人

20、中选出的一个人全排列,有 10(种),故不同的发言顺序共有1210120(种).,120,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.用数字0,1,2,3,4组成的五位数中,中间三位数字各不相同,但首末两位数字相同的共有_个.,240,解析 由题意知本题是一个分步计数问题,从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法,接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列,共有 60(个),根据分步乘法计数原理知,有604240(个).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的

21、盒子中,每个盒子至少有一个球,则一共有_种放法.,解析 标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中,每个盒子至少有一个球,故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组,共有 25(种)分法,再分配到三个不同的盒子中,共有 150(种)放法.,150,12.某宾馆安排A,B,C,D,E五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A,B不能住同一房间,则共有_种不同的安排方法.(用数字作答),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,114,故有901872(种), 根据分类加法计数原理可知,共有4272114(种).,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7

22、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018合肥质检)7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法的种数为 A.120 B.240 C.360 D.480,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.设三位数nabc,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有多少个?,解 a,b,c要能构成三角形的边长,显然均不为0,即a,b,c1,2,3,9. 若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为n1,由于三位数中三个数

23、字都相同,所以n1 9; 若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为n2,由于三位数中只有2个不同数字,设为a,b,注意到三角形腰与底可以互换,所以可取的数组(a,b)共有 组,但当大数为底时,设ab,必须满足ba2b,此时,不能构成三角形的数字是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,共20种情况.同时,每个数组(a,b)中的两个数字填上三个数位,有 种情况,故n2 156. 综上,nn1n2165.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

24、13,14,15,16,15.用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是 A.20 B.24 C.36 D.40,解析 因为能被3整除的三位数字组成为012,024,015,045,123,234,315,345,共8种情况,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.设集合A(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)|xi1,0,1,i1,2,3,4,5,6,7,那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x7|4”的元素个数为 A.938 B.900 C.1 200 D.1 300,解析 A中元素为有序数组(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7),题中要求有序数组的7个数中仅有1个1,仅有2个1,仅有3个1或仅有4个1,所以共有 938(个).,