1、,第十章 计数原理,10.3 二项式定理,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.二项式定理,知识梳理,ZHISHISHULI,k1,2.二项式系数的性质,(3)当n是偶数时，_项的二项式系数最大；当n是奇数时，_与_项的二项式系数相等且最大.,1,1,2n,1.(ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系？,提示 (ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同，但对应
2、的项不相同而且两个展开式的通项不同.,2.二项展开式形式上有什么特点？,提示 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.,【概念方法微思考】,3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？,提示 不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1) 是二项展开式的第k项.( ) (2)二项展开式中，系
3、数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( ) (4)(ab)n的展开式第k1项的系数为 .( ) (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,7,2.(12x)5的展开式中，x2的系数等于 A.80 B.40 C.20 D.10,1,2,3,4,5,6,7,3.若 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120,4.若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为
4、A.9 B.8 C.7 D.6,解析 令x1，则a0a1a2a3a40， 令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.,1,2,3,4,5,6,7,题组三 易错自纠,5.(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是,1,2,3,4,5,6,7,解析 (xy)n二项展开式第m项的通项公式为,1,2,3,4,5,6,7,6.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一个单调递增数列，则k的最大值是 A.5 B.6 C.7 D.8,1,2,3,4,5,6,7,10,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 二项展开式,命题
5、点1 求指定项(或系数),例1 (1)(2017全国) (1x)6的展开式中x2的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35,多维探究,(2)在(x24)5的展开式中，含x6的项为_.,160x6,命题点2 求参数,例2 (1)(2018海口调研)若(x2a) 的展开式中x6的系数为30，则a等于,令123k0，得k4.,求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可.,跟踪训练1 (1)(2017全国)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为 A.80 B.40 C.40 D.80
6、,所以x3y3的系数为804040. 故选C.,(2)(xa)10的展开式中，x7项的系数为15，则a_.(用数字填写答案),题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题,例3 (1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.,师生共研,3,解析 设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5， 令x1，得0a0a1a2a3a4a5. ，得16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1a3a58(a1)， 所以8(a1)32，解得a3.,(2)(2018汕头质检)若(x2m)9a
7、0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_.,解析 令x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令x2，则m9a0a1a2a3a9， 又(a0a2a8)2(a1a3a9)2 (a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39， (2m)9m939，m(2m)3， m3或m1.,1或3,(3)若 的展开式中含x的项为第6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn， 则a1a2an的值为_.,当k5时，2n3k1，n8. 对(13x)8a0a1xa2x2a8x8， 令x1，得a0a1a828256. 又当x0时，a01， a1a2a82
8、55.,255,(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. (2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇 数项系数之和为a0a2a4 ，偶数项系数之和为a1a3 a5 .,解 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71. 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737. ,跟踪训练2 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7. 求：(1)a1a2a7；,解 ()2，,(2)a1a3a5a7；,解 ()2，,(3)a0a2a4a6；,解 方法一 (12x)7
9、展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， |a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187. 方法二 |a0|a1|a2|a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和，令x1， |a0|a1|a2|a7|372 187.,(4)|a0|a1|a2|a7|.,题型三 二项式定理的应用,师生共研,例4 (1)设aZ且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于 A.0 B.1 C.11 D.12,A.i B.I C.1i D.1i,(1x)2 0171i2 0171i1.,(1)逆用二项式定理的关键 根据所给式
10、子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解. (2)利用二项式定理解决整除问题的思路 观察除式与被除式间的关系； 将被除式拆成二项式； 结合二项式定理得出结论.,前10项均能被88整除，余数是1.,解析 当x0时，左边1，右边a0，a01.,1,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.(2018贵港联考)在 的展开式中，常数项为 A.240 B.60 C.60 D.240,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018南
11、宁联考) 的展开式中x3项的系数为 A.80 B.80 C.40 D.48,令52k3，得k1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018广州海珠区模拟)(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为 A.80 B.40 C.40 D.80,当k2时，T3240x4y2，当k3时，T4160x3y3， 故x4y3的系数为24016080，故选D.,4.(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为 A.21 B.35 C.45 D.28,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(4x
12、2x)6(xR)展开式中的常数项是 A.20 B.15 C.15 D.20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设展开式中的常数项是第k1项，,12x3kx0恒成立，k4，,6.(2018海南联考)(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为 A.3 B.2 C.1 D.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即(1a)71，解得a2.,7.(2018长郡中学质检)若二项式 的展开式中的各项系数之和为1，则含x2的项的系数为 A.560 B.560 C.280 D.280,令143k2，得k4.,1,2
13、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2018益阳市、湘潭市调考)若(13x)2 018a0a1xa2 018x2 018，xR，则a13a232a2 01832 018的值为 A.22 0181 B.82 0181 C.22 018 D.82 018,解析 由已知，令x0，得a01， 令x3，得a0a13a232a2 01832 018(19)2 01882 018， 所以a13a232a2 01832 01882 018a082 0181， 故选B.,1,2,3,4,5,6
14、,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.(用数字作答),解析 f(x)x5(1x1)5，,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.若 的展开式中x3项的系数为20，则log2alog2b_.,0,令123k3，则k3，,log2alog2blog2(ab)log210.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.9192除以100的余数是_.,所以9192除以1
15、00的余数是81.,81,12.(2018南阳模拟)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.(用数字作答),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,364,解析 令x1，得a0a1a2a1236， 令x1，得a0a1a2a121，,令x0，得a01，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018珠海模拟)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于 A.45 B.60 C.120 D.210
16、,所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018衡水模拟)已知 (nN*)的展开式中所有项的二项式系数之和、 系数之和分别为p，q，则p64q的最小值为_.,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则展开式中常数项为3602431 0801 683.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又0k9，k2,6. 故有理项为T3 144x3， T7 5 376.,设展开式中的有理项为Tk1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)展开式中系数最大的项.,又kN，k6， 故展开式中系数最大的项为T75 376.,