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2020届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)

1、2020届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中数学(理)试题一、单选题1已知集合,集合,则集合中元素的个数为( )A7B8C9D10【答案】A【解析】直接带值求出z可能的取值,即得B集合元素的个数【详解】集合A1,2,4,8,集合Bz|zxy,xA,yA1,2,4,8,16,32,64,集合B中元素的个数为7故选:A【点睛】本题考查集合的基本概念,考查集合的互异性,是基础题2已知复数,则复数对应的点在复平面内位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案【详解】2ii22i,复数z对应的点的坐标为(2,2),在复平面内位

2、于第四象限故选:D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题3设,满足,且,则实数的值为( )A3B3CD【答案】B【解析】求出,根据即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出x的值【详解】,x3故选:B【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积的运算,向量垂直的充要条件,是基础题4若实数,满足不等式组,则的最大值为( )A-2B4C6D8【答案】C【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案【详解】由实数x,y满足不等式组作出可行域如图,联立,解得A(2,2),化目标函数z2x+

3、y为y2x+z,由图可知,当直线y2x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为22+26故选:C【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,确定最优解是关键,是中档题5的值为( )A1B2C1D2【答案】D【解析】直接利用二倍角的公式化简求值【详解】故选:D【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查倍角公式的应用,熟记公式与诱导公式是关键是基础题6设,是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:若,则,为异面直线; 若,则;若,则; 若,则.则上述命题中真命题的序号为( )ABCD【答案】C【解析】对于,若m,n,则m,n可能平行;对于,利用面面垂直的判定判定

4、;对于,若m,则m与位置关系不定;对于,若m,n,mn,则【详解】设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,对于,若m,n,则m,n可能平行,故错;对于,若m,则在平面内一定可以找到一条直线与m平行且垂直,又m,则;故正确对于,若m,则m与位置关系不定,故错;对于,若m,n,mn,则,故错故选:C【点睛】本题考查了空间线面、面面位置关系的判定,熟记定理是关键,属于中档题7设为正项等比数列的前项和,成等差数列,则的值为( )ABC16D17【答案】D【解析】设等比数列的公比为q,q0,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比q,再由等比数列的求和公式,计算可得所求值【详解】正

5、项等比数列an的公比设为q,q0,a5,3a3,a4成等差数列,可得6a3a5+a4,即6a1q2a1q4+a1q3,化为q2+q60,解得q2(3舍去),则1+q41+1617故选:D【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,等差数列的中项性质,考查方程思想和化简运算能力,属于基础题8已知曲线在处的切线与,轴分别交于,两点,若的面积为,则正数的值为( )A1BC2D4【答案】A【解析】根据导数的几何意义,求出曲线在在x1处的切线方程,进而可知点A,B的坐标,因此由OAB的面积为,列出方程,即可解出a【详解】因为,所以ka+2,而f(1)2,故切线方程为:y+2(a+2)(x1),由此可得

6、点A(,0),B(0,4a)由于a0,SOAB|4a|,化简得,3a2a20,解得a1故选:A【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用,求出切线方程即可表示出OAB的面积9已知是定义在上的偶函数,满足,当时,若,则,的大小关系为( )ABCD【答案】B【解析】根据题意,分析可得函数f(x)是周期为2的周期函数,据此可得cf(2019)f(1+21007)f(1),bf(log24.1)f(log24.12)f(log2),结合函数的奇偶性可得a=f(log2)f(log2)f(log2),结合函数解析式可得f(x)在0,1上为增函数,据此分析可得答案【详解】根据题意,f(x)满足f(x+2)f

7、(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,则cf(2019)f(1+21009)f(1),bf(log24.1)f(log24.12)f(log2),又由f(x)为偶函数,则a=f(log2)f(log2)f(log2),当x0,1时,f(x)x3+x,易得f(x)在0,1上为增函数,又由0log2log21,则有bac;故选:B【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用,注意分析函数的周期,属于基础题10已知数列满足,则中的最小项的值为( )A-20BCD【答案】C【解析】由,两式作差得,构造函数求导得数列最小项的值【详解】,则 当,作差得:,满足上式,故令当 ,故在单调递增,在单调递

8、减,又,则为函数最小值,即中的最小项的值为故选:C【点睛】本题考查数列递推关系求通项公式,考查利用导数求函数最值,注意函数与数列的区别对最值影响,是中档题11已知函数的定义域为,且,则( )A在定义域上单调递减B在定义域上单调递增C在定义域上有极大值D在定义域上有极小值【答案】B【解析】由条件构造g(x)xf(x),则,求导讨论f(x)的单调性;在这个过程中将分子看成一个整体,求导讨论其单调性,分析其符号【详解】由条件有 f(x)+xf(x);设g(x)xf(x),则 g(x)f(x)+xf(x);,则 ;设 h(x)e2xg(x),则 h(x)2e2xg(x);所以 h(x)在(0,)上单调

9、递减,在上单调递增;所以 ;即 f(x)0;所以f(x)在定义域上单调递增;故选:B【点睛】本题构造抽象函数求导讨论单调性,变形技巧要求较高,难度较大,准确构造g(x)xf(x)是关键,是难题二、填空题12一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为_.【答案】【解析】将三视图还原,补成长方体求得外接球半径求解即可【详解】由题三视图还原为如图所示的三棱锥A-BCD,将三棱锥补成长方体,三棱锥的外接球即为长方体的外接球,则,故该几何体的外接球的表面积为故答案为:【点睛】本题考查三视图及外接球,考查空间想象能力,将三棱锥补成长方体是求外接球的常用方法,是基础题13设,为正实数,且,则的

10、最小值为_.【答案】4【解析】由,展开可解得,进而可得,利用基本不等式解出即可【详解】因为,所以;所以,当且仅当a=b成立故答案为:4【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,配凑定值是关键,属于中档题14已知某圆锥的母线与其底面所成角的大小为,若此圆锥的侧面积为,则该圆锥的体积为_.【答案】【解析】根据题意画出图形,结合图形设圆锥的底面半径为r,表示出底面半径和母线长,利用圆锥的侧面积求出r,再计算圆锥的体积【详解】如图所示,圆锥的母线与其底面所成角的大小为60,SAO60,由题意设圆锥的底面半径为r,则母线长为l2r,高为hr圆锥的侧面积为8,S侧面积rlr2r2r28,解得r2,h2,圆锥的

11、体积为V圆锥r2h22故答案为:【点睛】本题考查圆锥的体积的求法,考查圆锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题15在中,设边,所对的角分别为,若角为锐角,边上的高为,且,则实数的取值范围为_.【答案】【解析】根据已知利用余弦定理,三角函数恒等变换的应用得出p2关于的表达式,根据的范围即可得p的范围【详解】BC边上的高为,bcsinA,可得:bc,b+cpa,两边平方可得(b+c)2p2a2,由余弦定理,a2b2+c22bccosA(b+c)22bc2bccosAp2a222cosA,可得:p2111,角A为锐角,(0,),tan(0,1),(,+),p21(,+),由题意知p0,p(,

12、+)故答案为:(,+)【点睛】本题考查了三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题三、解答题16如图,在几何体中,为正三角形,平面,若是棱的中点,且,则异面直线与所成角的余弦值为( )ABCD【答案】C【解析】以C为原点,在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线A1E与AC1所成角的余弦值【详解】以C为原点,在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设ABAA1CC12BB12,则A1(,1,2),A(),C1(0,0,2),B1(0,2,1),E(0,1

13、,),(,0,),(,1,2),设异面直线A1E与AC1所成角为,则cos异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为故选:C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题17在中,设边,所对的角分别为,已知.(1)求角的大小;(2)若,求的值.【答案】(1);(2)【解析】(1)利用正弦定理可将原式化简为cosAsinA,整理得sinCcosC1,即sin(C),进而可得C的大小;(2)利用余弦定理可将cosB化成,即8sinAcosB5sinC5sin,进而求出sinAcosB的值【详解】(1)ABC中,即cosAsin

14、A,sinCcosAsinAsinCsinB+sinA,sinB+sinAsin(A+C)+sinAsinAcosC+sinCcosA+sinA,sinCcosAsinAsinCsinAcosC+sinCcosA+sinA,可得sinAsinCsinAcosC+sinA,sinA0,sinCcosC1,即sin(C),C(0,),C(,),C,可得C(2)若,则cosB,即8sinAcosB5sinC5sin,所以sinAcosB【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用,考查辅助角公式,考查计算能力,熟练运用内角和定理和两角和的正弦定理求得sinCcosC1是关键,属于中档题18已知递增的等差数

15、列的前项和为,若,成等比数列,且.(1)求数列的通项公式及前项和;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1),;(2)【解析】(1)设等差数列的公差为d,d0,运用等差数列的通项公式和求和公式,结合等比数列的中项性质,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式、求和公式;(2)求得2,再由数列的分组求和、裂项相消求和,化简计算可得所求和【详解】(1)递增的等差数列an的公差设为d,(d0),前n项和为Sn,若a1,a2,a4成等比数列,可得a22a1a4,即(a1+d)2a1(a1+3d),化为a1d,S530,可得5a1+10d30,解得a1d2,可得an2+2(n1)2n,Snn(2+2n)

16、n2+n:(2)2,可得前n项和Tn2n+12n+1【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,考查等比数列的中项性质,以及数列的裂项相消求和,考查化简运算能力,属于基础题19已知函数的最小正周期为,将的图像向右平移个单位长度后得到函数,的图像关于轴对称,且.(1)求函数的解析式;(2)设函数,若函数的图像在上恰有2个最高点,求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)根据给出的周期,可求出的值;由f(x)的图象向右平移个单位长度,函数的图象关于y轴对称,求出的值;由,得A的值即可;(2)由(1)可得F(x)的解析式,由辅助角公式进行化简,利用函数图象分析即可得出结果【详解】(1)

17、函数的最小正周期为,解得2,g(x)f(x)Acos2(x)+Acos(2x),且g(x)的图象关于y轴对称,k,kZ,即k,kZ,由|,可得,可得f(x)Acos(2x),即f()Acos2()Acos0A2,函数f(x)的解析式为(2)由(1)知g(x)2cos2x;F(x)2cos(2x)+2cos2x2(cos2xcossin2xsin)+2cos2x3cos2xsin2x,2cos(2x);x0,a(a0);2x,2a;函数F(x)的图象在x0,a(a0)上恰有2个最高点;结合余弦函数的图象(如图示)知,42a6;故解得a故实数a的取值范围为【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质,利

18、用整体法思想,数形结合的思想方法解决问题,属于中档题20如图,底面为正方形的四棱锥中,平面,为棱上一动点,.(1)当为中点时,求证:平面;(2)当平面时,求的值;(3)在(2)的条件下,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)2;(3)【解析】(1)连接AC,BD设其交点为O,连接OE,证明OEPA,即可证明(2)建立空间直角坐标系,求得平面的法向量,由线面垂直求解【详解】(1)连接AC,BD设其交点为O,连接OE,则为中点,故OEPA又平面,OE平面,故平面;(2)以O为原点,OA,OB分别为x,y轴,过O做的平行线为轴,建立如图所示空间坐标系,如图示:设AB=2,则,B(0,0)

19、,D(0,-,0),设,平面,所以,则,故;(3)因为平面,所以AE是平面的一个法向量,故取平面的一个法向量为,平面的法向量为 设二面角为,则,由图知,二面角为钝角,故二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面平行,考查二面角的向量求法,考查线面垂直的向量求解,是中档题21已知函数.(1)证明:当时,;(2)若斜率为的直线与曲线交于,两点,求证:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;【解析】(1)原不等式等价为,构造函数,求导证明即可;(2)由斜率表示k,利用导函数证明为增函数即可证明【详解】(1)当时,即令,故单调递增,则,故(2) 故,故单调递增,图像为下凸函数,故得证【点睛】本题考查利

20、用导数证明不等式,考查函数图像及性质,准确判断函数的特征是关键,是中档题22已知曲线的参数方程为(为参数),点是曲线上一动点,过点作轴于点,设点为的中点(为坐标原点).(1)求动点的轨迹的参数方程;(2)过的直线交曲线于不同两点,求的取值范围.【答案】(1):(为参数);(2)【解析】(1)化曲线的参数方程为普通方程,设,利用中点坐标得P坐标代入曲线C的方程,再化为参数方程即可(2)设过的直线的参数方程,与圆联立,由韦达定理及距离公式求解即可【详解】(1)化曲线的参数方程为为普通方程 设则,故故动点的轨迹的参数方程(为参数) (2)设直线的参数方程为(为参数)代入方程,得设,则 则 【点睛】本题考查相关点法求轨迹方程,考查普通方程与参数方程互化,考查直线参数方程的几何意义,注意判别式求范围是关键,是中档题23已知,为正实数,且.(1)解关于的不等式;(2)证明:.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)将变形为代入不等式求解(2) 利用柯西不等式证明即可【详解】(1)则则故等价为,即,解得 故解集为 (2)由柯西不等式当且仅当 等号成立,则【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查柯西不等式证明不等式,是中档题第 21 页 共 21 页