1、2020届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1已知集合，集合，则集合中元素的个数为（ ）A7B8C9D10【答案】A【解析】直接带值求出z可能的取值，即得B集合元素的个数【详解】集合A1，2，4，8，集合Bz|zxy，xA，yA1，2，4，8，16，32，64，集合B中元素的个数为7故选：A【点睛】本题考查集合的基本概念，考查集合的互异性,是基础题2已知复数，则复数对应的点在复平面内位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【详解】2ii22i，复数z对应的点的坐标为（2，2），在复平面内位
2、于第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3设，满足，且，则实数的值为（ ）A3B3CD【答案】B【解析】求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值【详解】，x3故选：B【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件，是基础题4若实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）A-2B4C6D8【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由实数x，y满足不等式组作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z2x+
3、y为y2x+z，由图可知，当直线y2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为22+26故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，确定最优解是关键，是中档题5的值为（ ）A1B2C1D2【答案】D【解析】直接利用二倍角的公式化简求值【详解】故选：D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，熟记公式与诱导公式是关键是基础题6设，是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则，为异面直线； 若，则；若，则； 若，则.则上述命题中真命题的序号为（ ）ABCD【答案】C【解析】对于，若m，n，则m，n可能平行；对于，利用面面垂直的判定判定
4、；对于，若m，则m与位置关系不定；对于，若m，n，mn，则【详解】设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，对于，若m，n，则m，n可能平行，故错；对于，若m，则在平面内一定可以找到一条直线与m平行且垂直，又m，则；故正确对于，若m，则m与位置关系不定，故错；对于，若m，n，mn，则，故错故选：C【点睛】本题考查了空间线面、面面位置关系的判定，熟记定理是关键，属于中档题7设为正项等比数列的前项和，成等差数列，则的值为（ ）ABC16D17【答案】D【解析】设等比数列的公比为q，q0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值【详解】正
5、项等比数列an的公比设为q，q0，a5，3a3，a4成等差数列，可得6a3a5+a4，即6a1q2a1q4+a1q3，化为q2+q60，解得q2（3舍去），则1+q41+1617故选：D【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题8已知曲线在处的切线与，轴分别交于，两点，若的面积为，则正数的值为（ ）A1BC2D4【答案】A【解析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x1处的切线方程，进而可知点A，B的坐标，因此由OAB的面积为，列出方程，即可解出a【详解】因为，所以ka+2，而f（1）2，故切线方程为：y+2（a+2）（x1），由此可得
6、点A（，0），B（0，4a）由于a0，SOAB|4a|，化简得，3a2a20，解得a1故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出OAB的面积9已知是定义在上的偶函数，满足，当时，若，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意，分析可得函数f（x）是周期为2的周期函数，据此可得cf（2019）f（1+21007）f（1），bf（log24.1）f（log24.12）f（log2），结合函数的奇偶性可得a=f（log2）f（log2）f（log2），结合函数解析式可得f（x）在0，1上为增函数，据此分析可得答案【详解】根据题意，f（x）满足f（x+2）f
7、（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，则cf（2019）f（1+21009）f（1），bf（log24.1）f（log24.12）f（log2），又由f（x）为偶函数，则a=f（log2）f（log2）f（log2），当x0，1时，f（x）x3+x，易得f（x）在0，1上为增函数，又由0log2log21，则有bac；故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题10已知数列满足，则中的最小项的值为（ ）A-20BCD【答案】C【解析】由，两式作差得，构造函数求导得数列最小项的值【详解】,则 当，作差得：,满足上式，故令当 ，故在单调递增，在单调递
8、减，又，则为函数最小值，即中的最小项的值为故选：C【点睛】本题考查数列递推关系求通项公式，考查利用导数求函数最值，注意函数与数列的区别对最值影响，是中档题11已知函数的定义域为，且，则（ ）A在定义域上单调递减B在定义域上单调递增C在定义域上有极大值D在定义域上有极小值【答案】B【解析】由条件构造g（x）xf（x），则，求导讨论f（x）的单调性；在这个过程中将分子看成一个整体，求导讨论其单调性，分析其符号【详解】由条件有 f（x）+xf（x）；设g（x）xf（x），则 g（x）f（x）+xf（x）；，则 ；设 h（x）e2xg（x），则 h（x）2e2xg（x）；所以 h（x）在（0，）上单调
9、递减，在上单调递增；所以 ；即 f（x）0；所以f（x）在定义域上单调递增；故选：B【点睛】本题构造抽象函数求导讨论单调性，变形技巧要求较高，难度较大，准确构造g（x）xf（x）是关键，是难题二、填空题12一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为_.【答案】【解析】将三视图还原，补成长方体求得外接球半径求解即可【详解】由题三视图还原为如图所示的三棱锥A-BCD，将三棱锥补成长方体，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则，故该几何体的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三视图及外接球，考查空间想象能力，将三棱锥补成长方体是求外接球的常用方法，是基础题13设，为正实数，且，则的
10、最小值为_.【答案】4【解析】由，展开可解得，进而可得，利用基本不等式解出即可【详解】因为，所以；所以，当且仅当a=b成立故答案为：4【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，配凑定值是关键，属于中档题14已知某圆锥的母线与其底面所成角的大小为，若此圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为_.【答案】【解析】根据题意画出图形，结合图形设圆锥的底面半径为r，表示出底面半径和母线长，利用圆锥的侧面积求出r，再计算圆锥的体积【详解】如图所示，圆锥的母线与其底面所成角的大小为60，SAO60，由题意设圆锥的底面半径为r，则母线长为l2r，高为hr圆锥的侧面积为8，S侧面积rlr2r2r28，解得r2，h2，圆锥的
11、体积为V圆锥r2h22故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题15在中，设边，所对的角分别为，若角为锐角，边上的高为，且，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】根据已知利用余弦定理，三角函数恒等变换的应用得出p2关于的表达式，根据的范围即可得p的范围【详解】BC边上的高为，bcsinA，可得：bc，b+cpa，两边平方可得（b+c）2p2a2，由余弦定理，a2b2+c22bccosA（b+c）22bc2bccosAp2a222cosA，可得：p2111，角A为锐角，（0，），tan（0，1），（，+），p21（，+），由题意知p0，p（，
12、+）故答案为：（，+）【点睛】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题三、解答题16如图，在几何体中，为正三角形，平面，若是棱的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】以C为原点，在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AC1所成角的余弦值【详解】以C为原点，在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设ABAA1CC12BB12，则A1（，1，2），A（），C1（0，0，2），B1（0，2，1），E（0，1
13、，），（，0，），（，1，2），设异面直线A1E与AC1所成角为，则cos异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17在中，设边，所对的角分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理可将原式化简为cosAsinA，整理得sinCcosC1，即sin（C），进而可得C的大小；（2）利用余弦定理可将cosB化成，即8sinAcosB5sinC5sin，进而求出sinAcosB的值【详解】（1）ABC中，即cosAsin
14、A，sinCcosAsinAsinCsinB+sinA，sinB+sinAsin（A+C）+sinAsinAcosC+sinCcosA+sinA，sinCcosAsinAsinCsinAcosC+sinCcosA+sinA，可得sinAsinCsinAcosC+sinA，sinA0，sinCcosC1，即sin（C），C（0，），C（，），C，可得C（2）若，则cosB，即8sinAcosB5sinC5sin，所以sinAcosB【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，考查辅助角公式，考查计算能力，熟练运用内角和定理和两角和的正弦定理求得sinCcosC1是关键，属于中档题18已知递增的等差数
15、列的前项和为，若，成等比数列，且.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为d，d0，运用等差数列的通项公式和求和公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式、求和公式；（2）求得2，再由数列的分组求和、裂项相消求和，化简计算可得所求和【详解】（1）递增的等差数列an的公差设为d，（d0），前n项和为Sn，若a1，a2，a4成等比数列，可得a22a1a4，即（a1+d）2a1（a1+3d），化为a1d，S530，可得5a1+10d30，解得a1d2，可得an2+2（n1）2n，Snn（2+2n）
16、n2+n：（2）2，可得前n项和Tn2n+12n+1【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题19已知函数的最小正周期为，将的图像向右平移个单位长度后得到函数，的图像关于轴对称，且.（1）求函数的解析式；（2）设函数，若函数的图像在上恰有2个最高点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据给出的周期，可求出的值；由f（x）的图象向右平移个单位长度，函数的图象关于y轴对称，求出的值；由，得A的值即可；（2）由（1）可得F（x）的解析式，由辅助角公式进行化简，利用函数图象分析即可得出结果【详解】（1）
17、函数的最小正周期为，解得2，g（x）f（x）Acos2（x）+Acos（2x），且g（x）的图象关于y轴对称，k，kZ，即k，kZ，由|，可得，可得f（x）Acos（2x），即f（）Acos2（）Acos0A2，函数f（x）的解析式为（2）由（1）知g（x）2cos2x；F（x）2cos（2x）+2cos2x2（cos2xcossin2xsin）+2cos2x3cos2xsin2x，2cos（2x）；x0，a（a0）；2x，2a；函数F（x）的图象在x0，a（a0）上恰有2个最高点；结合余弦函数的图象（如图示）知，42a6；故解得a故实数a的取值范围为【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，利
18、用整体法思想，数形结合的思想方法解决问题，属于中档题20如图，底面为正方形的四棱锥中，平面，为棱上一动点，.（1）当为中点时，求证：平面；（2）当平面时，求的值；（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）【解析】（1）连接AC,BD设其交点为O,连接OE,证明OEPA，即可证明（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，由线面垂直求解【详解】（1）连接AC,BD设其交点为O,连接OE,则为中点，故OEPA又平面，OE平面，故平面；（2）以O为原点，OA，OB分别为x，y轴，过O做的平行线为轴，建立如图所示空间坐标系，如图示：设AB=2，则，B（0，0）
19、，D（0，-，0），设，平面，所以，则，故；（3）因为平面，所以AE是平面的一个法向量，故取平面的一个法向量为，平面的法向量为 设二面角为，则，由图知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面平行，考查二面角的向量求法，考查线面垂直的向量求解，是中档题21已知函数.（1）证明：当时，；（2）若斜率为的直线与曲线交于，两点，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）原不等式等价为，构造函数，求导证明即可；（2）由斜率表示k,利用导函数证明为增函数即可证明【详解】（1）当时，即令，故单调递增，则，故（2） 故，故单调递增，图像为下凸函数，故得证【点睛】本题考查利
20、用导数证明不等式，考查函数图像及性质，准确判断函数的特征是关键，是中档题22已知曲线的参数方程为（为参数），点是曲线上一动点，过点作轴于点，设点为的中点（为坐标原点）.（1）求动点的轨迹的参数方程；（2）过的直线交曲线于不同两点，求的取值范围.【答案】（1）：（为参数）；（2）【解析】（1）化曲线的参数方程为普通方程，设，利用中点坐标得P坐标代入曲线C的方程，再化为参数方程即可（2）设过的直线的参数方程，与圆联立，由韦达定理及距离公式求解即可【详解】（1）化曲线的参数方程为为普通方程 设则，故故动点的轨迹的参数方程（为参数） （2）设直线的参数方程为(为参数）代入方程，得设，则 则 【点睛】本题考查相关点法求轨迹方程，考查普通方程与参数方程互化，考查直线参数方程的几何意义，注意判别式求范围是关键，是中档题23已知，为正实数，且.（1）解关于的不等式；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）将变形为代入不等式求解（2） 利用柯西不等式证明即可【详解】（1）则则故等价为，即，解得 故解集为 （2）由柯西不等式当且仅当 等号成立，则【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，是中档题第 21 页 共 21 页