1、 - 1 - 田家炳高中田家炳高中 20182018- -20192019 学年度第六次模拟考试学年度第六次模拟考试 高三数学（理）高三数学（理） 本试卷分第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分，共 4 页，22 小题。考试结束后，将答题卡 交回。考试时间 120 分钟，分值 150 分。 注意事项： 1答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写清楚，并将条形码粘 贴到指定位置。 2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹 清楚。 3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试
2、卷上答题 无效。 4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第卷第卷 选择题（共选择题（共 6060 分）分） 一、选择题（共 12 小题，每题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 ） 1.设集合043| 2 xxxM,50|xxN,则NM( ) A.4 , 0( B.)4 , 0 C.)0 , 1 D.0 . 1( 2.设 i i z 3 10 ,则z的共轭复数为( ) Ai 31 B. i 31 C .i 31 D. i 31 3.在下列说法中,正确的是( ) “qp为真”是“qp为真”的充分不必要条件; “qp为假”是“qp为真”的
3、充分不必要条件; “qp为真”是“p为假”的必要不充分条件; “p为真”是“qp为假”的必要不充分条件. A. B. C. D. 4.函数xxxfln|2|)(在定义域内零点的个数为（ ） A0 B. 1 C . 2 D. 3 5.利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点,则打印 的点落在坐标轴上的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.定义 3241 4 2 3 1 aaaa a a a a ,若函数 3 2cos 1 2sin )( xx xf,则 - 2 - 将)(xf图像向右平移 3 个单位所得曲线的一条对称轴方程是( ) A . 6 x B. 4 x C . 2
4、x D.x 7.已知向量ba,满足1 ba,且)0(3kbkabak则向量ba与的 夹角的最大值为（ ） A. 6 B. 3 C. 6 5 D. 3 2 8.若一个底面是等腰直角三角形(C 为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于 （ ） A. 3 1 B. 1 C. 3 3 D.3 9.已知 n x x) 1 3( 32 的展开式中各项系数之和为 256,则展开式中第 7 项的系数( ) A.24 B. 24 C. 252 D. 252 10.如果随机变量), 1( 2 N,且4 . 0) 13(P则 ) 1(P（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
5、 11.已知 0 是坐标原点,点 M 坐标(2,1),若点 N(x,y)为平面区域 , 2 1 2 xy x yx 上的一个动点，则ONOM 的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C.3 D. 5 12.设 21,F F是椭圆 E：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 左右焦点，P 为直线 2 3a x 上一点， 12PF F是底角为 0 30 的等腰三角形，则 E 的离心率是（ ） A. 2 1 B. 3 2 C. 4 3 D. 5 4 第卷第卷 非选择题（共非选择题（共 9090 分）分） 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2
6、020 分）分） 13.13.定义在), 0()0 ,(上的函数)(xf，如果对于任意给定的等比数列 n a，)( n af仍是等比数列， 则称)(xf为“等比函数” 。现有定义在), 0()0 ,(上的如下函数： x xf2)(；xxf 2 log)(； 高三数学（理）试题 第 2 页（共 4 页） - 3 - 2 )(xxf； x xf2ln)(，则其中是“等比函数”)(xf的序号是 ； 14.14.若,为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：若则,/；若 ll，则且,； 若直线l与平面内的无数条直线垂直， 则直线l与平面垂直； 若内存在不共线的三点到的距离相等，则平面平行于平面.
7、上述命题中,真命题的序号 为 ； 15.15.如图,在边长为 e（e 为自然对数的底数）的正方形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率 为 ； 16.在ABC中，角 A，B，C 所对应的边分别为cba,，已知bBcCb2coscos， 则 b a 。 三、三、解答题（解答题（6 6 小题，共小题，共 7070 分分. . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （12 分） 在 1 和 2 之间依次插入)( * Nnn个正数 n aaa, 21 ， 使得这2n个数构成递增的等比数列， 将这2n个数的乘积记作 n T,令 nn Tb 2 lo
8、g2。 (1) (1) 求数列 n b的通项公式;(2) (2) 令.,2 2 2 1 1 n n n n n n S c b c b c b Sc求设 18.（12 分）某车站每天上午安排高速路、普通路两条路线运送旅客,高速路发车时刻可能是 8:00, 8:20, 8:40,且正常发车的概率依次为 4 1 , 2 1 , 4 1 ;普通路发车时刻可能是 9:00, 9:20; 9:40 且正常发车的概率依次 为 4 1 , 2 1 , 4 1 .且两种路线发车时刻是相互独立.若甲旅客 8:10 到达车站乘车,乙旅客 8:30 到达车站乘车,甲 乙互不影响.(1) (1) 求甲、乙两旅客都能乘
9、上高速路客车的概率;(2) (2) 求甲旅客候车时间的分布列和数学期 望. 19.（12 分）如图,正方形 AMDE 的边长为 2,B,C 分别 AM,MD 的中点.在五棱锥ABCDEP中,F 为棱 PE 的 中点,平面 ABF 与棱 PD,PC 分别交于点 G,H.(1)(1)求证:FGAB/;(2)(2)若ABCDEPA平面,且 PA=PE,求直 线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段 PH 的长. - 4 - 20.（12 分）设椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左右焦点分别为 21,F F,右顶点为 A,上顶点为 B.已知 21 2 3 FFAB .(1
10、).(1)求椭圆的离心率;(2)(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 1 F,经过点 2 F的直线l与该圆相切于点 M,22 2 MF,求椭圆方程. 21.（12 分）已知函数 x a xxf ln)(. (1)(1)若)(xf存在最小值且最小值为 2,求a的值; (2)(2)设axxg ln)(,若 2 )(xxg在, 0(e上恒成立,求a的取值范围. 请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.(本小题满分 10 分)如图,已知ABC的两条角平分
11、线 AD 和 CE 相交于点 H, 0 60B,F 在 AC 上,且 AE=AF. 证明:(1) (1) B,D,H,E 四点共圆; (2)(2)CE 平分DEF. 23.(本小题满分 10 分)设直线l的参数方程为, 2 2 ty tx (t 为参数)，若以直角坐标系xoy的原点 O 为极 点，x轴正半轴为极轴，选相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程为 2 sin cos8 。 （1 1）将 曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2 2）若直线l与曲线 C 交于 A,B 两点， 求AB. 24.( 本 小题 满分 10 分) 设函 数1816)(,
12、 112)( 2 xxxgxxxf. 记1)(xf的 解 集 为 M,4)(xg的解集为 N. (1)(1)求 M; (2) (2) 当NMx时,证明: 4 1 )()( 22 xfxxfx - 5 - 高三数学（理）答案高三数学（理）答案 一、选择题 BDBCB ABBDD BC 二、填空题 13、； 14、 ； 15、 2 2 e ； 16、2； 三、解答题 17. 解： （1）设等比数列 1， 123 , n a a aa，2 的公比为q，则 2= 1 1 n q ， 即 1 2 n q 2 分 从而 21 12 121 nn nn Ta aaq qqq = (1)(2)2 1 2 3(
13、1) 22 2 nnn n qq 4 分 2 2 22 2log2log 22 n nn bTn ，故数列 n b的通项公式为2 n bn 6 分 (2）由2n n c ，得 23 3452 2222 n n n S 7 分 则 2341 13452 22222 n n n S 8 分 由错位相减法求得 231 131112 222222 n nn n S 10 分 故 4 4 2 n n n S 12 分 18. 解：(1)设甲旅客 8:20,8:40 乘上高速路客车的事件分别为 A,B，则 A,B 互斥 所以甲旅客乘上高速路客车的概率为： 113 ()( )( ) 244 P ABP AP
14、 B 2 分 设乙旅客乘上高速路客车的事件 C，则 1 ( ) 4 P C 3 分 所以甲、乙旅客都能乘上高速路客车的概率为： 313 4416 5 分 （2）由题意得的可能取值为 10,30,50,70,90 ，则 1 (10) 2 P， 1 (30) 4 P 311 (50)(1) 4416 P， 311 (70)(1) 428 P， 311 (90)(1) 4416 P 10 分 10 30 50 70 90 P 1 2 1 4 1 16 1 8 1 16 - 6 - 的分布列是 11111 103050709030 2416816 E 12 分 19. 证明： （1）在正方形 AMDE
15、 中 因为 B 是 AM 的中点，所以 AB/DE. 又因为ABPDE 平面,所以 AB/平面 PDE . 2 分 因为ABABF 平面,且FGPDEABF平面平面 所以 AB/FG 4 分 (2)解:因为PA底面ABCDE, 所以PAAB , PAAE .如图建立空间直角坐标系Axyz 则(0,0,0)A，(1,0,0)B，(2,1,0)C， (0,0,2)P，(0,1,1)F，(1,0,0)BC . 6 分 设平面ABF的法向量( , , )nx y z，则 0 0 nAB nAF ，即 0 0 x yz ，令z=1可得(0, 1,1)n . 8分 设直线BC与平面ABF所成角为,则 1
16、sincos, 2 n BC n BC nBC . 因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为 6 . 9 分 设点H的坐标( , ,)u v.因为点H在棱PC上,所以可设(01)PHPC, 即( , ,2)u v=(2,1, 2) , 所以2 ,22uv . 因为n是平面ABF的一个法向量,所以0nAH,可解得 2 3 ,所以点H的坐标为 4 2 2 ( , ) 3 3 3 所以 PH= 222 422 ( )( )( ) 333 =2 12 分 - 7 - 20.解(1)设椭圆右焦点 2 F的坐标( ,0)c. 由 12 3 2 ABFF可得 222 3abc,又 222 bac, 则
17、 2 2 1 2 c a .所以椭圆的离心率为 2 2 e . 4分 (2)由(1)可知 2222 2,ac bc,故设椭圆方程为 22 22 1 2 xy cc .设 00 (,)P xy 由 1( ,0), (0, )FcBc,有 1001 (,),( , )FPxc yFBc c. 6分 由已知,有 11 0FPFB,即 00 ()0xc cy c.又0c ,故有 00 0xyc. 因为点P在椭圆上,故 22 00 22 1 2 xy cc . 8分 由可得 2 00 340xcx.而点P不在椭圆的顶点上,故 0 4 3 xc ,代入中得 0 3 c y ,即点P的坐标 4 (, ) 3
18、3 c c.设圆心为 11 (,)T x y,则 1 4 0 2 3 23 c xc , 1 2 3 23 c c yc , 进而圆的半径为 5 3 rc. 由已知,有 22 2 22 TFMFr, 又 2 2 2MF ,故 222 225 ()(0)8 339 cccc,解得 2 3c . 所以,所求方程为 22 1 63 xy 12分 21.解： （1）由题可得 2 )( x ax xf ，(0)x 1分 当0a时，0)( xf，)(xf在), 0( 上单调递增,( )f x不存在最小值； 当0a时，由( )=0fxxa ，得，且0xa 时,0)( xf， ax时, 0)( xf； 4 分
19、 所以xa,时 , ( )f x取最小值 .()ln()12faa ,解得 ae 6 分 (2) 2 ( )g xx,即 2 lnxax,即 2 lnaxx,故 2 ( )g xx在(0, e上恒成立, 也就是 2 lnaxx在(0, e恒成立. 8 分 设 2 ( )lnh xxx,则 2 112 ( )2 x h xx xx ,由( )0h x 及0xe得 2 2 x . 当 2 0 2 x时,( )0h x ,当 2 2 xe时,( )0h x . 即( )h x在 2 (0, 2 上递增, - 8 - 在 2 (, 2 e上递减.所以当 2 2 x 时,( )h x有最大值 221 (
20、)ln 222 h. 所以a的取值范围是 21 (ln,) 22 12 分 22.证明：(1)在ABC中,因为60B ,所以120BACBCA . 因为 AD,CE 分别BAC和ACB的角平分线,所以60HACHCA . 故120AHC ,于是120EHDAHC , 因为180EBDEHD ,所以 B,D,H,E 四点共圆. 5 分 (2)连接 BH,则 BH 为ABC的平分线,得30HBD . 由(1)知 B,D,H,E 四点共圆,所以30CEDHBD . 又60AHEEBD , 由已知可得 EFAD,可得30CEF .所以 CE 平分DEF. 10 分 23.解:(1)由 2 sin co
21、s8 ,得 2 sin8cos,则 22 sincos, 2 分 即 2 8yx,故曲线 C 表示顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线. 4 分 (2) 2 2 xt yt (t 为参数)，化为 5 2 5 2 5 5 xt yt ， （t 为参数） ， 6 分 代入 2 8yx，得 2 2 5200tt， 7 分 故 12 ABtt= 22 121 2 ()4(2 5)4( 20)10ttt t . 10 分 24 解:(1) 33,1,) ( ) 1,(,1) xx f x x x , 当1x 时 ,由( )331f xx得 4 3 x ,故 4 1 3 x; 3 分 当1x 时.由( )11f xx 得0x ,故01x,所以( )1f x 的解集是 4 0, 3 .5 分 (2)证明:由 2 ( )16814g xxx 得 2 1 16()4 4 x ,解得 13 44 x. 因此 13 44 Nxx ,故 3 0 4 MNxx .当xMN时,( )1f xx , - 9 - 于是 22 ( ) ( )( )( )x f xx f xxf x xf x= 2 111 ( )(1)() 424 x f xxxx 10 分