1、2019年中考数学最后一轮复习分层专项（压轴训练）：三角形1已知，在ACB和DCE中，ACBDCE90，ACBC，DCEC，M为DE的中点，联结BE（1）如图1，当点A、D、E在同一直线上，联结CM，求证：CM；（2）如图2，当点D在边AB上时，联结BM，求证：BM2（）2+（）2解：（1）证明：ACBDCE90，ACBC，ACDBCE90DCB，BACABC45，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），ADBE，AEADAEBEDE，DCCE，DCE90，CMDE，DMME，CMDE（AEAD）；（2）证明：同（1）得：ACDBCE，ADBE，DACEBC45，ABEABC+EBC90，
2、DE2BE2+BD2，M为DE的中点，DE2BM，4BM2BE2+BD2AD2+BD2，BM2（）2+（）22【概念提出】如图 ，若正DEF的三个顶点分别在正ABC的边AB、BC、AC上，则我们称DEF是正ABC的内接正三角形（1）求证：ADFBED；【问题解决】利用直尺和圆规作正三角形的内接正三角形（保留作图痕迹，不写作法）（2）如图 ，正ABC的边长为a，作正ABC的内接正DEF，使DEF的边长最短，并说明理由；（3）如图，作正ABC的内接正DEF，使FDAB【概念提出】证明（1）ABC与DEF都是正三角形，AB60，EDF60，DFED，ADF+EDFB+BED，ADFBED，且DFDE
3、，AB60ADFBED；【问题解决】（2）如图所示：理由：由（1）易得ADFBEDCEF，过点D作DGBE，设BDx，则ADBEax，DGx，SBEDBEDG（ax）x（x）2+a2；当BD，即点D、E、F是各边中点时，SBED有最大值a2，此时ADF、CEF的面积均为最大a2（正ABC的四分之一），则内接正DEF的面积最小，即边长最短（3）如图所示：3已知C为线段AB中点，ACMQ为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQkCP（1）若60，k1，如图1，当Q为BC中点时，求PAC的度数；直接写出PA、PQ的数量关系；（2）如图2，当45时探究是否存在常数k
4、，使得中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由解：（1）如图1，在CM上取点D，使得CDCA，连接AD，ACM60，ADC为等边三角形DAC60C为AB的中点，Q为BC的中点，ACBC2BQBQCP，ACBCCD2CPAP平分DACPACPAD30ADC是等边三角形，ACP60，PCCQ，PQCCPQ30，PACPQC30，PAPQ；（2）存在，使得中的结论成立证明：过点P作PC的垂线交AC于点DACM45，PDCPCD45PCPD，PDAPCQ135，CDBQACBC，ADCQPADPQC（SAS）PAPQ4如图，在等腰ABC中，ABBC，点D是AC边的中点，延长BD至
5、点E，使得DEBD，连结CE（1）求证：ABDCED（2）当BC5，CD3时，求BCE的周长（1）证明：ABBC，点D是AC边的中点，ADCD，ADBCDE90又DEBD，ABDCED（SAS）；（2）解：BD4，BE2BD8又CEABBC5，BC+CE+BE5+5+818，即BCE的周长为185定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段（1）如图，ABC中，ACAB，DE是ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为H，设ACb，ABc求证：DFEF；若b6，c4，求CG的长度；（2
6、）若题（1）中，SBDHSEGH，求的值（1）证明：F为AC中点，DE是ABC在BC边上的中分线段，DF是CAB的中位线，DFABc，AFACb，CE（b+c），AEbCEb（b+c）（bc），EFAFAEb（bc）c，DFEF；解：过点A作APBG于P，如图1所示：DF是CAB的中位线，DFAB，DFCBAC，DFCDEF+EDF，EFDF，DEFEDF，BAP+PAC2DEF，EDBG，APBG，DEAP，PACDEF，BAPDEFPAC，APBG，ABAG4，CGACAG642；（2）解：连接BE、DG，如图2所示：SBDHSEGH，SBDGSDEG，BEDG，DFAB，ABEFDG，F
7、GAE（bc）（bc），ABAGc，CGbc，CFbFG+CG（bc）+（bc），3b5c，6如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME7）的会徽，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的其中OA1A1A2A2A3A7A81，所以OA2，OA3，OA42，把OA1A2的面积记为S1112，OA2A3的面积S21，OA3A4的面积S31，如果把图2中的直角三角形继续作下去，请解答下列问题：（1）请直接写出OAn，Sn；（2）求出S12+S22+S32+S882的值解：（1）OAn，Sn，故答案为：，；（2）S12+S22+S32+S882（）2+（）2+（）2+（）2+9797如图
8、，E为AB中点，CEAB于点E，AD5，CD4，BC3，求证：ACD90证明：E为AB中点，CEAB于点E，ACBC，BC3，AC3，又AD5，CD4，AC2+CD2AD2，ACD90，8如图，已知等边ABC边长为1，D是ABC外一点且BDC120，BDCD，MDN60，求AMN的周长解：延长AC到E，使CEBM，连接DE，（如图）BDDC，BDC120，CBDBCD30，ABCACB60，ABDACDDCE90，BMDCDE，BDMCDE，DMDE，又MDN60，BDM+NDC60，EDC+NDCNDE60NDM，又DNDN，MDNEDN（SAS），MNNENC+CENC+BM，所以AMN周
9、长AM+AN+MNAM+AN+NC+BMAB+AC29提出问题：用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别为2cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？探究思考：几位同学画出了以下情况，其中C90，BC2cm，ADE为等边三角形（1）同学们对图1，图2中的等边三角形展开了讨论：图一中AD的长度图中AD的长度（填“”，“”或“”）等边三角形ADE经过图形变化AD可以更小请描述图形变化的过程（2）有同学画出了图3，但老师指出这种情况不存在，请说明理由（3）在图4中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长经验运用：（4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为1cm和3cm的直角三角形纸
10、片，等边三角形纸片的边长最小是多少？画出示意图并写出这个最小值解：（1）在图1和图2中分别过A向DE作垂线AG和AH，RtACB中，BC2，AC3，AB，由图1和图2可知：BHBG，AGAH，ADE为等边三角形，D60，sin60，图一中AD的长度图中AD的长度，故答案为：；如图5，将ADE绕点A被逆时针方向旋转一定的角度，再以A为位似中心，将ADE缩小，使得点B再次落在边DE上；（2）如图3，ADAE，ACDE，DAE60，DACDAE30，在RtDAC中，tanDAC，即tan30，DC，BC2，BCDC，而这与题意矛盾，所以图3这种情况不存在；（3）当D与B重合时，AD最小，如图4，此时
11、ADAB；则它的边长是cm；（4）作等边ADE的高AH，AHsin60AD，当AD最小时，AH最小，考虑以下三种情况：当AC是等边ADE的高时，如图6，如图7，C在边DE上，此时ACAH，如图8，B在边DE上，此时AHAC，所以在图7中，AD越往右偏，则AH越小，综上，可以得到当AB与AD共线时，AD是最小的，如图9，AB与AD共线时，AD最小，过C作CFAB于F，RtACB中，AC3，BC1，AB，SABC，CE13，CE，AE，RtDEC中，tan60，DE，ADAE+DE，答：等边三角形纸片的边长最小值是（）cm10如图，ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中点B与点D是直角顶
12、点，现固定ABC，而将ADE绕点A在平面内旋转（1）如图1，当点D在CA延长线上时，点M为EC的中点，求证：DMB是等腰三角形（2）如图2，当点E在CA延长线上时，M是EC上一点，若DMB是等腰直角三角形，DMB为直角，求证：点M是EC的中点（3）如图3，当ADE绕点A旋转任意角度时，线段EC上是否都存在点M，使BMD为等腰直角三角形，若不存在，请举出反例；若存在，请予以证明证明：（1）如图1，EDC90，点M为EC的中点，DMEC同理可得：BMECDMBM，DMB是等腰三角形；（2）证明：过点D作DFEA，过点B作BGAC，DFMBGM90，FDM+DMF90，DMB是等腰直角三角形，DMB
13、M，DMB90，BMG+DMF90，FDMBMG，DFMMGB（AAS），FMBG，DFMG，BGGC，DFEF，FMGC，MGEF，EMEF+FM，MCMG+GC，EMMC，点M是EC的中点；（3）线段EC上都存在中点M，使BMD为等腰直角三角形，理由是：取AE中点F，AC中点G，连接FD，FM，BG，GM，点M是EC的中点，点G是AC的中点，GMAE，GMAE，F是AE中点，AFAE，AFGM，AFGM，四边形AFMG是平行四边形，AFMAGM，EFMMGCDFMBGM，GMAFDF，DFGM，同理可得 BGFM，DFMMGB（SAS），BMDM，FMDGBM，FMAC，FMGCGM，DM
14、BFMD+FMG+GMB，GBM+CGM+GMB，180BGC，90，BMD是等腰直角三角形11如图，在ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EGBC，交AD于点G（1）求证：FGEFDB；（2）求的值（1）证明：GEBC，GEFDBF又GFEDFB，FGEFDB；（2）AD、BE是中线，EGBC，GE为ADC的中位线，BDDC，GEDCBD，AGDGFGEFDB，DFDG，12如图，在RtABC中，A90，ABAC4一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PDBC与RtABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PDQ
15、D，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE设运动时间为t秒（t0）（1）在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是（2）如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得APPQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t4时，点D经过点A：当t时，点E在边AB上设ABC与PQE重叠部分的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t的取值范围，并求出当4t时S的最大值解：（1）结论：PE与AB互相垂直理由：如图1中，设PE交AB于KABC，PQE都是等腰直角三角形，BEPQ45，PQBC，BPQ90，EPB90，B+E
16、PB90，PKB90，PEAB（2）如图2中，过点A作AHBC于点HRtABC中，ABAC4BC8，AHBHCH4，依题意得BPtPHBHBP4t，PA，PDBC，B45，PDBPt，PQ2PD2t，PQAP，2t，解得：t或（舍弃），t的值为（3）如图31中，ABC与PQE的重叠部分为PFD由题意可得PFD、BPD为等腰直角三角形，BPPDt，PFDFPDcos45t，SPFDF（0t4）如图32中，ABC与PQE的重叠部分为四边形PDAF由题意可得PFB、PDC为等腰直角三角形，BPt，PCBCPB8t，BFPFt，DPPC8t，SSABCSPFBSPDC44tt（8t）（8t）t2+8t
17、16（4t）（t）2+，0，当x时，S有最大值如图33中，ABC与PQE的重叠部分为四边形FEPDCPPD8t，QDPD8t，PQ162t，由题意可得QDF为等腰直角三角形QF（8t），QE（162t），SSPQESQDF（162t）（162t）（8t）（8t）t212t+48（t8）13如图，在四边形ABCD中，ADBC10，ABCD，BD14，点E从D点出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度沿CBC，作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒（1）试证明：AD
18、BC；（2）在移动过程中，小明发现有DEG与BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离（1）证明：在ABD和CDB中，ABDCDB（SSS），ADBCBD，ADBC；（2）解：设G点的移动距离为x，当DEG与BFG全等时，EDGFBG，DEBF、DGBG或DEBG、DGBF，BC10，2，当点F由点C到点B，即0t2时，则：，解得：，或，解得：（不合题意舍去）；当点F由点B到点C，即2t4时，则，解得：，或，解得：，综上所述：DEG与BFG全等的情况会出现3次，此时的移动时间分别是秒、秒、秒，G点的移动距离分别是7、7、14如图，在平面直角坐
19、标系中，A、B坐标分别为A（O，a）、B（b，a），且a、b满足：，现同时将点A、B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD、AB（1）求点C、D的坐标；（2）在y轴上是否存在点M，连接MC、MD，使三角形MCD的面积为30？若存在这样的点，求出点M的坐标；若不存在，试说明理由（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA、PO，当点P在BD上移动时（不与B、D重合），的值是否发生变化，并说明理由解：（1）（a3）2+0，a3，b5，点A（0，3），B（5，3）将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，得到点C、D，点C（1，0），D（4，
20、0）（2）设存在点M（0，y），根据题意得：SMCD5|y|30，解得：y12，存在点M（0，12）或（0，12）（3）当点P在BD上移动时，1不变，理由如下：过点P作PEAB交OA于ECD由AB平移得到，则CDAB，PECD，BAPAPE，DOPOPE，BAP+DOPAPE+OPEAPO，115如图，在ABC中，ACB90，ACBC过点C的射线CF交边AB于点F，ADCF于点D，BECF于点E，AD3，BE1（1）求证：ADCCEB（2）求DE的长（1）证明：BCE+ACD90，ACD+CAD90，CADBCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（AAS）；（2）解：ACDBCE，CDBE，A
21、DCE，AD3，BE1，DECECD31216如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DEDF，连结AC，分别交DE，DF于点M，N（1）求证：ADFCDE；（2）设DMN和AFN的面积分别为S1和S2；若ADFEDF，求S2：S1的值若S22S1，求tanADF（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，DAFDCEADC90，DFDE，RtADFRtCDE（HL）（2）如图，作NHAB于H设FHaRtADFRtCDE（HL），ADFCDE，ADFDEF，ADFEDFCDE30，AFD60，NHF90，FNH30，HNa，NAH45，AHN90，NAHANH45，HAHNa，AF（1+）a，ADAF（3+）a，S2AFNH（1+）aaa2，ADNCDM，ADDC，DANDCM45，ADNCDM（ASA），SADNSDCM，S1SADC2SADN（3+）a22（3+）aa（9+6）a2，（3）如图，作NHAB于HFHNFAD90，HNAD，ADFHNF，设tanADFtanFNHk，设NHAHb，则FHkb，AFb+kb，AD，S2 （1+k）b2，S1SADC2SADN（b）22bb，S22S1，（1+k）b22（b）22bb整理得：k2+2k20，解得：k1或1（舍弃），tanADFk1