1、2019年中考数学三轮复习（压轴训练）：圆的综合1如图，已知平行四边形ABCD，过点A，C，D的O交直线BC点F，连结AF，DF，点A是的中点（1）求证：四边形ABCD是菱形（2）若AB6，且sinAFD，求O的半径解：（1）点A是的中点，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADFAFD，ADDC，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形；（2）作直径AE，连接DE，如图，四边形ABCD是菱形ADAB6，AE为直径，ADE90，EAFD，sinEsinAFD，在RtADE中，sinE，AEAD615，OA，即O的半径为2如图1，ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与O相切于点
2、D（1）求证：AC是O的切线；（2）如图2，连接CD，若tanBCD，O的半径为，求BC的长（1）证明：连接OD，OA，作OFAC于F，如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AOBC，AO平分BAC，AB与O相切于点D，ODAB，而OFAC，OFOD，AC是O的切线；（2）过D作DFBC于F，连接OD，tanBCD，设DFa，OFx，则CF4a，OC4ax，O是底边BC中点，OBOC4ax，BFOBOF4a2x，ODAB，BDO90，BDF+FDO90，DFBC，DFBOFD90，FDO+DOF90，BDFDOF，DFOBFD，解得：x1x2a，O的半径为，OD，DF2+FO2DO2，
3、（x）2+x2（）2，x1x2a1，OC4ax3，BC2OC63问题提出：（1）如图，已知线段AB和BC，AB2，BC5，则线段AC的最小值为3；问题探究（2）如图，已知扇形COD中，COD90，DOCO6，点A是OC的中点，延长OC到点F，使CFOC，点P是上的动点，点B是OD上的一点，BD1（i）求证：OAPOPF；（ii）求BP+2AP的最小值；问题解决：（3）如图，有一个形状为四边形ABCD的人工湖，BC9千米，CD4千米，BCD150，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且BP3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，PC已知建桥PD每千米的造价是3万元，建桥PC每千米的造价是
4、1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由（桥的宽度忽略不计）解：问题提出：（1）当点A在线段BC上时，线段AC有最小值，线段AC的最小值523故答案为：3问题探究（2）（i）点A是OC的中点，DOCO6OP，CFOC，OF2OC2OP，且AOPFOPOAPOPF；（ii）OAPOPFPF2APBP+2APBP+PF当点F，点P，点B三点共线时，BP+2AP有最小值，最小值为BFDOCO6，BD1BO5，OF12BF13问题解决：（3）如图，以点B为圆心，3为半径作圆交AB于点E，交BC于点F，点P为上一点，连接BP，PC，
5、PD，在BC上截取BM1，连接MD，过点D作DGCB，且PBMPBC，BPMBCPPC3PM建桥PD和PC的总造价3PD+1PC3PD+3PM3（PD+PM）当点P在线段MD上时，建桥PD和PC的总造价有最小值BCD150DCG30，且DGBCDGDC2，CGDG6MGBC+CGBM9+6114MD4建桥PD和PC的总造价最小值3412万元4如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的例圆O交AC于点D，交BC于点E，以点B为顶点作CBF，使得CBFBAC，交AC延长线于点F连接BD、AE，延长AE交BF于点G，（1）求证：BF为O的切线；（2）求证：ACBCBDAG；（3）若BC2，CD：CF
6、4：5，求O的半径（1）证明：AB是O的直径，AEBADB90，AEBC，ABE+BAE90，ABAC，BAECAEBAC，CBFBAC，BAECBF，ABE+CBF90，ABF90，BFOB，BF为O的切线；（2）证明：DBCCAE，BAECAE，DBCBAE，BDC90ABG，BDCABG，ABBCBDAG，ABAC，ACBCBDAG；（3）解：由（2）得：DBCCBF，设BD4x，则BF5x，由勾股定理得：DF3x，BAD+ABD90，BAD+F90，ABDF，ADBBDF90，ABDBFD，即，解得：ABx，ADx，ACABx，CDACADx，在RtBDC中，由勾股定理得：（4x）2+
7、（x）2（2）2，解得：x，ABx10，O的半径OA55如图，在平面直角坐标中，点A是第一象限内一点，过A点的直线分别与x轴，y轴的正半轴交于M，N两点，且A是MN的中点，以OA为直径的D交直线MN于点B（位于点A右下方），交y轴于点C，连接BC交OA于点E（1）若点A的坐标为（1，2），请直接写出M，N两点的坐标和AB的长（2）若，求AON的度数；（3）如图，在（2）的条件下，P是上一点，若S四边形ABPC3，PCa，PBb求a+b的值；求当SPBC+PC取最大值时，D的半径解：（1）设点M（a，0），N（0，b），点A是MN的中点，点A的坐标为（1，2），2，a2，b4，点M（2，0），N
8、（0，4），OM2，ON4，MN2，连接OB，点A的坐标为（1，2），OA，OA是直径，ABO90，SOMNMNOBOMON，2OB8，OB，AB；（2）连接DC，DB，EO3EA，AO4EA2（AE+DE），AEDE，AO为直径，ACO90，ACOM，且AMAN，COCN，且ODAD，CDAB，DCEABE，CDEABE，且AEDE，CDEBAE（AAS）CEBE，DCDB，CEBE，DEBC，ACAB，DCCADA，CDA是等边三角形，ADC60，且DCDO，AON30；（3）连接OB，作CHPB于H，由（2）知OE垂直平分BC，OBOC，ACAB，AON30，BOC60BPC，ABCAO
9、BAON30，PCa，PBb，BC2BH2+CH2，由题意得，化简得（a+b）236，a+b0，a+b6；，当a4时，取最大值，此时PCa4，PB642，PH2，即B，H重合，PBC90，直径PC4，O半径为26如图，OA4，C是射线OA上一点，以O为圆心，OA的长为半径作使AOB152，P是上一点，OP与AB相交于点D，点P与P关于直线OA对称，连接CP，尝试：（1）点P在所在的圆上（填“内”“上“或“外）；（2）AB2发现：（1）PD的最大值为3；（2）当2，OCP28时，判断CP与所在圆的位置关系探究当点P与AB的距离最大时，求AP的长（注：sin76cos14）解：尝试：（1）点P在所
10、在的圆上，故答案为：上；（2）如图1，延长AO交所在圆上的点E，连接BE，则ABE90，AOB152，OBOA，BAOABO14，OA4，AE2OA8，ABAEcos1482，故答案为：2；发现：（1）当OPAB时，PD有最大值，在RtAOD中，OA4，cosOAD，AD，OD1，PD413，PD的最大值为3，故答案为：3；（2）相切，理由：当2时，2，解得：n90，BOP90，AOB152，AOP62，OCP28，OPC90，OP为圆的半径，CP与所在圆相切；探究：作PEAB于点E，P在所在圆上，当PE过圆心O时，PE最大，连接PA，如图2，此时OEAB，AEAB，OA4，OE1，OPOP4
11、，PEPO+OE5，AP2，点P与P关于直线OA对称，APAP27如图，以线段AB为直径的O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，BOE60，tanC，BC（1）求A的度数；（2）求证：BC是O的切线；（3）求MD的长度解：（1）BOE60ABOE30；（2）tanC，C60在ABC中，B180AC180306090又OB是O半径BC是O的切线；（3）在RtABC中，BCABBC3，OAOM，点M是的中点，OMAE，在RtAOD中，A30，OA，ODOA，MDOMOD8如图所示，以BC为直径的O中，点A、E为圆周上两点，过点A作ADBC，垂足为D，作AFCE的延长线于点F，垂足为F
12、，连接AC、AO，已知BDEF，BC4（1）求证：ACBACF；（2）当AEF60时，四边形AOCE是菱形；（3）当AC2时，四边形AOCE是正方形（1）证明：ABC+AECAEC+AEF180，ABCAEF，在ABD和AEF中，ABDAEF（ASA）ABAE，ACBACF；（2）60，如图所示，连接OE，四边形AOCE是菱形，OAOCCEAE，OCCEOE，ECO是等边三角形，OCE60，AEBC，AEFOCE60故答案为：60；（3）2，BC4，OC2，四边形AOCE是正方形，AOC90，故答案为：29如图，AB是O的直径AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E
13、，连接BD，OE，OE交AD于点F（1）求证：DE是O的切线；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若O的直径为10，求BD的长（1）证明：连接OD，ODOA，OADADO，EADBAD，EADADO，ODAE，AED+ODE180，DEAC，即AED90，ODE90，ODDE，OD是圆的半径，DE是O的切线； （2）解：连接OD，BC交OD于G，如图，AB为直径，ACB90，又ODAE，OGBACB90，ODBC，G为BC的中点，即BGCG，又，设AC3k，AB5k，根据勾股定理得：BC4k，OBAB，BGBC2k，OG，DGODOGk，又四边形CEDG为矩形，CEDGk，AEAC+CE
14、3k+k4k，而ODAE，（3）连接BD由（2）可知设AF8k，DF5kADBAFO解得kAD在RtADB中，AB2AD2+BD2BD10如图，已知ABC内接于O，AB是直径，点D在O上，ODBC，过点D作DEAB，垂足为E，连接CD交OE边于点F（1）求证：DOEABC；（2）求证：ODFBDE；（3）连接OC设DOE的面积为SsinA，求四边形BCOD的面积（用含有S的式子表示）（1）证明：AB是O的直径，ACB90，DEAB，DEO90，DEOACB，ODBC，DOEABC，DOEABC；（2）证明：DOEABC，ODEA，A和BDC是所对的圆周角，ABDC，ODEBDC，ODFBDE；
15、（3）解：DOEABC，即SABC4SDOE4S，OAOB，即SBOC2S，sinA，sinAsinaODE，OE，S四边形BCODSBOC+SDOE+11如图，在RtABC中，C90，AC5，B30，点D从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（t0）过点D作DFBC于点F，连接DE、EF（1）则DFt（用含t的代数式表示）；（2）在运动过程中（点E不与点C重合），若过C，E，F三点的O与AB边相切时，求t的值；（3）当t为何值时，DE
16、F为直角三角形？请说明理由解：（1）在DFB中，DFB90，B30，DB2t，DFt；故答案为：t；（2）设过C，E，F三点的O与AB边相切于G，如图所示：则OGEF，OGAB，C90，AC5，B30，AB2AC10，BCAC5，BFDFt，CF5t，AEt，CE5t，EFAB，CFEB30，EF2CE2（5t），作FHAB，则FHOG5t，在RtBFH中，B30，BF2FH，t2（5t），解得：t2010；若过C，E，F三点的O与AB边相切时，t的值为（2010）s；（3）当ts或4s时，DEF为直角三角形；理由如下：EDF90时，四边形ECFD为矩形在RtAED中，ADEB30，AC5，A
17、B10，AD2AE，即102t2t，t（s）；DEF90时，ACBC，DFBC，AEDF，AEDFt，四边形AEFD为平行四边形，EFAD，ADEDEF90A90B60，ADAEcos60即102tt，t4；EFD90时，DFBC，点E运动到点C处，用了AC15（秒），同时点D也运动5秒钟，点D就和点A重合，则点F也就和点C重合，点D，E，F不能构成三角形此种情况不存在；综上所述，当ts或4s时，DEF为直角三角形12如图，已知AB是O的直径，AC是弦（不是直径），ODAC垂足为G交O于D，E为O上一点（异于A、B），连接ED交AC于点F，过点E的直线交BA、CA的延长线分别于点P、M，且ME
18、MF（1）求证：PE是O的切线（2）若DF2，EF8，求AD的长（3）若PE6，sinP，求AE的长（1）证明：连接OE，ODAC，DGF90，D+DFGD+AFE90，DFGAFE，MEMF，MEFMFE，OEOD，DOED，OED+MEF90，OEPE，PE是O的切线；（2）解：ODAC，FADAED，ADFEDA，DFADAE，AD2DFDE21020，AD2；（3）解：设OEx，sinP，OP3x，x2+（6）2（3x）2，解得：x3，过E作EH垂直AB于H，sinP，EH2，OH2+EH2OE2，OH1，AH2，AE2HE2+AH2，AE213已知：在ABC中，ABAC，点D是AB上
19、一点，以BD为直径的0与AC边相切于点E，交BC于点F，FGAC于点G（1）如图l，求证：GEGF；（2）如图2，连接DE，GFC2AED，求证：ABC为等边三角形；（3）如图3，在（2）的条件下，点H、K、P分别在AB、BC、AC上，AK、BP分别交CH于点M、N，AHBK，PNCBAK60，CN6，CM4，求BC的长解：（1）如图1，连接OE和OFAC是O的切线OEAC，OEG90FGAC，FGE90ABAC，ABCACBOBOF，OBFOFBOFBACB，OFACOFG+FGE180，OFG90OFGFGEOEG90四边形OFGE为矩形OFOE，四边形OFGE为正方形GEGF（2）如图2
20、，连接OE，BEBD是O的直径，BED90OED+OEB90OEG90，AED+OED90OEG90，AED+OED90OEBAEDOBOE，OBEOEBOBEAEDAOE2OEB2AEDGFC2AEDAOEGFCC+GFC90，A+AOE90CABABC，ABACABACBCABC为等边三角形（3）ABC为等边三角形CAHABK60AHBK，ACAB，CAHABK（SAS）ACHBAKKMCKAC+ACMKMCKAC+BAK60过点C作CQAK，垂足为Q，过点B作BTCH，垂足为TAQCCTB90QACBACBAK60，TCBACBACH60ACHQACTCB，ACBCAQCCTB（AAS）
21、QCBT在RtMQC中，CM4，QMC60，sinQMCQC6设BAK2ACHPNCBAK60，PNC60+BNHBCHACBACH602延长NH到点R，使RTTN，连接BRBT使RN的垂直平分线BRBNBNRBRN60+CBR180BCRCRB60+CBRCRB60+BCRC设TNRTa，CN6CTa+6，CRCB2a+6CQBT6在RtBTC中BT2+TC2BC262+（a+6）2（2a+6）2a16（舍），a22TN2BC1014如图，点P是O直径AB上的一点，过P作直线CDAB，分别交O于C、D两点，连接AC，并将线段AC绕点A进时针旋转90得到AE，连接ED，分别交O和AB于F、G，
22、连接FC（1）求证：ACFAED；（2）若点P在直径AB上运动（不与点A、B重合），其它条件不变，请问是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由解：（1）如图1，连接AD，ACFADF，又AE是由线段AC绕点A逆时针旋转90得到，ACAE，CD直径AB，AB垂直平分CD，ACAD，AEAD，AEDADF，ACFAED；（2）是定值，理由如下：如图2，过点E作ENCD，过点D作DNCD，且EN与直线AB交于点M，与直线DN交于点N，EACCPA90，EAM+CABCAB+ACP90，EAMACP，同理MEACAB，又ACAE，EAMACP（ASA），EMAP，AMCP，DNCD，CDAB，
23、DNAB，又ENCD，四边形MNDP是矩形，MNPD，MPND，AB是直径，CDAB，MNPDCPAM，又EMAP，EM+MNAP+AM，即ENMPND，END是等腰直角三角形，EDN45，DNAB，EGMEDN45，EMG是等腰直角三角形，cos45，15已知，AB是O的直径，点C在O上，点P是AB延长线上一点，连接CP（1）如图1，若PCBA求证：直线PC是O的切线；若CPCA，OA2，求CP的长；（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MNMC9，求BM的值（1）证明：如图1中，OAOC，AACO，PCBA，ACOPCB，AB是O的直径，ACO+OCB90，PCB+OCB90，即OCCP，OC是O的半径，PC是O的切线CPCA，PA，COB2A2P，OCP90，P30，OCOA2，OP2OC4，（2）解：如图2中，连接MA点M是弧AB的中点，ACMBAM，AMCAMN，AMCNMA，AM2MCMN，MCMN9，AM3，BMAM3