1、2019年中考数学最后一轮复习（压轴训练）：三角形综合1在ABC中，点E、F在边BC上，点D在边AC上，连接ED、DF，m，AEDF120（1）如图1，点E、B重合，m1时若BD平分ABC，求证：CD2CFCB；若，则或；（2）如图2，点E、B不重合若BECF，m，求m的值解：（1），ABAC，BD平分ABC，ABDDBF，BDCA+ABDBDF+CDF，且ABDF120，ABDCDFDBF，且CC，CDFCBD，CD2BCCF；如图1，过A作AGBC于G，过F作FHBC，交AC于H，C30，CH2FH，设FH2a，CH4a，则CF2a，BC15a，CGa，AGa，AC15a，AH11a，BA
2、DBDFDHF120，ADB+FDHADB+ABD18012060，ABDFDH，ABDHDF，即，设ADx，则DH11ax，30a2x（11ax），x211ax+30a20，（x5a）（x6a）0，x5a或6a，或，故答案为：或；（2）如图2，过E作EHAB，交AC于H，过D作DMEH于M，过F作FGED，交AC于G，BECF，FGED，设CG3a，DG7a，m，AEDF120，ABCDFE，DECC，DEDC10a，FGDE，GFCDEFC，FGCG3a，同理由（1）得：EHDDFG，即，DH，RtDHM中，DHM60，HDM30，HMDH，DMa，EMa，EHaaa，m2定义：在一个三角
3、形中，若存在两条边x和y，使得yx2，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边（1）“若等边三角形为平方三角形，则面积为是真命题；“有一个角为30且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是假命题；（填“真”或“假”）（2）若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a2，若三角形中存在一个角为60，求c的值；（3）如图，在ABC中，D是BC上一点若CADB，CD1，求证，ABC是平方三角形；若C90，BD1，ACm，CDn，求tanDAB（用含m，n的代数式表示）解：（1）等边三角形为平方三角形，根据平方三角形的定义可知：等边三角形的边长为1，等边三角形的面积，是真命题当直角三角形中，30所
4、对的直角边为2时，斜边为4，满足平方三角形的定义，当直角三角形中，和30相邻的直角边是2时，不是平方三角形，故是假命题，故答案为真，假（2）因为a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a2，三角形中存在一个角为60，只有B或C60，A不可能为60，不妨设B60，BC2，如图1中，当ca2时，a2，c224如图2中，当ba24时，作CHAB于H在RtBCH中，B60，CHB90，BC2，BHBC1，CHBH，在RtACH中，AH，cABBH+AH1+，综上所述，c的长为4或1+（3）如图3中，CC，CADB，CADCBA，AC2CDCB，CD1，AC2BC，ABC是平方三角形如图4中，作DHAB于
5、H在RtABC中，C90，ACm，BCCD+BD1+n，AB，DHAB，DHB90，BB，DHBC90，BHDBCA，DH，BH，AH，tanDAB3如图1，在ABC中，ABAC，ADBC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CEEF，延长FE交AD的延长线于G（1）求证：AEEG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BGBF，求证：BEEG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB5，求EM的长证明：（1）如图1，过E作EHCF于H，ADBC，EHAD，CEHCAD，HEFG，CEEF，CEHHEF，CADG，AEEG；（2）如图2，连接GC，ACBC，ADBC，BDCD，AG是BC的垂直平分线，
6、GCGB，GBFBCG，BGBF，GCBE，CEEF，CEF1802F，BGBF，GBF1802F，GBFCEF，CEFBCG，BCECEF+F，BCEBCG+GCE，GCEF，在BEF和GCE中，BEFGEC（SAS），BEEG；（3）如图3，连接DM，取AC的中点N，连接DN，由（1）得AEEG，GAEAGE，在RtACD中，N为AC的中点，DNACAN，DANADN，ADNAGE，DNGF，在RtGDF中，M是FG的中点，DMFGGM，GDMAGE，GDMDAN，DMAE，四边形DMEN是平行四边形，EMDNAC，ACAB5，EM4【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点P在等边三角
7、形ABC内，且APC150，PA3，PC4，求PB的长小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到ABD；由等边三角形的性质，可证ACPABD，得PCBD；由已知APC150，可知PDB的大小，进而可求得PB的长（1）请回答：在图1中，PDB90，PB5【问题解决】（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，ABC中，ACB90，ACBC，点P在ABC内，且PA1，PB，PC2，求AB的长【灵活运用】（3）如图3，在RtABC中，ACB90，BAC，且tan，点P在ABC外，且PB3，PC1，直接写出PA长的最大值解：（1）如图1中，ACPABD，PDBAPC150，PCBD
8、4，ADAP3，ADP为等边三角形，ADP60，DPAD3，BDP1506090，PB5故答案为：90，5；（2）如图2中，把ACP绕点C逆时针旋转90得到BCD由旋转性质可知；BDPA1，CDCP2，PCD90，PCD是等腰直角三角形，PDPC24，CDP45，PD2+BD242+1217，PB2（）217，PD2+BD2PB2，PDB90，BDC135，APCCDB135，CPD45，APC+CPD180，A，P，D共线，ADAP+PD5，在RtADB中，AB（3）如图3中，作CDCP，使得CDPC，则PD，tanBAC，ACBPCD90，ACDBCP，ACDBCP，AD，PA+，PA，P
9、A的最大值为5一节数学课后，老师布置了一道课后练习：ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为ABC的外角平分线上一点，且ADE如图，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时，求证：ADDE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CDBC时若AB2，请直接写出ADE的面积（不必写解答过程）（1）证明：如图中，过点D作DFAC，交AB于点FABC是等边三角形，ABBC，BACBABC60，又D
10、FAC，BDFBFD60，BDF是等边三角形，BFBD，BFD60，AFCD，AFD120，EC是外角的平分线，DCE120AFD，ADC是ABD的外角，ADCB+FAD60+FAD，ADCADE+EDC60+EDC，FADEDC，在AFDDCE中，AFDDCE（ASA），ADDE（2）如图中，ABC是等边三角形，ABACBC6，BDDC3，ADBC，ADB90，AD3，由（1）可知：DEAD3（3）如图3中，CACDCB2，BAD90，AD2，ABDDCE，BADEDC90，ABD60，ADB30，ADE60，ADDE，ADE是等边三角形，SADE（2）236已知如图1，在ABC中，ACB9
11、0，BCAC，点D在AB上，DEAB交BC于E，点F是AE的中点（1）线段FD与线段FC的数量关系DFFC，位置关系DFFC；（2）如图2，将BDE绕点B逆时针旋转a（0a90），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC4，BE2，直接写出线段BF的范围解：（1）如图1中，ADEACE90，AFFE，DFAFEFCF，FADFDA，FACFCA，DFEFDA+FAD2FAD，EFCFAC+FCA2FAC，CACB，ACB90，BAC45，DFCEFD+EFC2（FAD+FAC）90，DFFC，DFFC，故答案为：DFFC，
12、DFFC（2）结论不变理由：如图2中，延长AC到M使得CMCA，延长ED到N，使得DNDE，连接BN、BMEM、AN，延长ME交AN于H，交AB于OBCAM，ACCM，BABM，同法BEBN，ABMEBN90，NBAEBM，ABNMBE，ANEM，BANBME，AFFE，ACCM，CFEM，FCEM，同法FDAN，FDAN，FDFC，BME+BOM90，BOMAOH，BAN+AOH90，AHO90，ANMH，FDFC（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值3如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值综上所述，BF37【操作发现】（1）如图1，将ABC绕点A逆时针
13、旋转90得到ADE，连接BD，则ABD的度数是45【类比探究】（2）如图2，在等腰直角三角形ABC内取一点P，使APB135，将ABP绕顶点A逆时针旋转90得到ACP，连接PP请猜想BP与CP有怎样的位置关系，并说明理由【解决问题】（3）如图3，在等腰直角三角形ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC求证：PC+PAPB解：（1）如图1，由旋转得：BAD90，ABAD，BAD是等腰直角三角形，ABD45，故答案为：45；（2）BPCP，理由是：如图2，由旋转得：ABAC，APAP，BACPAP90，ABPACP（SAS），APBAPC135，APAP，PAP90，APP是等腰直角三角形，APP
14、45，APB+APP180，B、P、P三点共线，CPB1354590，BPCP；（3）如图3，将ABP绕点A逆时针旋转90得到ACP，ACPABP，PCPB，PAPA，连接PP，PAP90，PPPA，在PCP中，PC+PPPC，PC+PAPB8如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC2），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD连接DA并延长交y轴于点E（1）在点C的运动过程中，OBC和ABD全等吗？请说明理由；（2）在点C的运动过程中，CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出CAD的度数；如果变
15、化请说明理由；（3）探究当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？解：（1）OBC和ABD全等，理由是：AOB，CBD都是等边三角形，OBAB，CBDB，ABODBC，OBCABD，在OBC和ABD中，OBCABD（SAS）；（2）点C在运动过程中，CAD的度数不会发生变化，理由如下：AOB是等边三角形，BOAOAB60，OBCABD，BADBOC60，CAD180OABBAD60；（3）OBCABD，BOCBAD60，又OAB60，OAE180606060，EAC120，OEA30，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，点A的坐标为（2，0），OA2
16、，在RtAOE中，OEA30，AE4，ACAE4，OC2+46，当点C的坐标为（6，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形9如图1，ABC中，CDAB于D，且BD：AD：CD2：3：4（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）已知SABC40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段M向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒）若DMN的边与BC平行，求t的值；在点M、N运动的过程中，AMN能否成为直角三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由解：（1）设BD2x，AD3x，CD4x，则A
17、B5x，在RtACD中，AC5x，ABAC，ABC是等腰三角形；（2）SABC5x4x40cm2，而x0，x2cm，则BD4cm，AD6cm，CD8cm，AC10cm当MNBC时，AMAN，即10tt，t5；当DNBC时，ADAN，得：t6；若DMN的边与BC平行时，t值为5或6由题意知AMADDM6t，ANt，如图1，当AMN90时，AMNADC，则，即，解得：t；如图2，当ANM90时，AMNACD，则，即，解得：t；综上，t或时，AMN是直角三角形10在ABC中，ABAC10，sinBAC，过点C作CDAB，点E在边AC上，AECD，联结AD，BE的延长线与射线CD、射线AD分别交于点F
18、、G设CDx，CEF的面积为y（1）求证：ABECAD（2）如图，当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式及定义域（3）若DFG是直角三角形，求CEF的面积解：（1）CDAB，BACECD，又AECD，ABAC，DACEBA（SAS），ABECAD；（2）过点E作EHAB，垂足为H，由题意知CEACAE10x，EHAEsinCABx，AHx，则SABEABEH10x3x，CFBA，CEFAEB，（）2，即，y（0x55）；（3）由于DFGEBAABC，所以DFG不可能为直角，当DGF90时，EGA90，由GAEGBA知GAEGBA，tanGBA，在RtEHB中，tanGBA，解得：x0（舍
19、）或x5，SCEF15；当GDF90时，BAG90，由知GAEGBA，则AEBGEA90，BEABsinBAC106，AE8，CEACAE2，由CEFAEB知，即，则EF，SCEFEFCE2，综上所述，若DFG是直角三角形，则CEF的面积为15或11已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边ABC内一点，且PAE为等边三角形，则BPEC（填“”，“”或“”）（2）如图2，P为等边ABC外一点，且BPC120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，P为等边ABC内一点，且APD120求证：PA+PD+PCBD解：（1）APE为等边三角形，APAE，PAE60，A
20、BC为等边三角形，ACBC，BCA60BAPCAEABPACE（SAS）BPCE，故答案为：（2）猜想：APBP+PC，证明：延长BP至E，使PEPC，连接CE，BPC120CPE60又PEPC，CPE为等边三角形，CPPECE，PCE60，ABC为等边三角形，ACBC，BCA60ACBPCEACB+BCPPCE+BCPACPBCE，ACPBCE（SAS）APBE，BEBO+PEAPBP+PC（3）在AD外侧作等边ABD，则点P在三角形ABD外，连接PB，BC，APD120由（1）得PBAP+PD，在PBC中，有PB+PCCB，PA+PB+PCCB，ABD、ABC是等边三角形，ACAB，ABA
21、DBADCABABDACB（SAS）CBBD，PA+PD+PCBD12如图，在ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，CEBD，连接CD，BE，BE与CD相交于点F（1）如图1，若ACD为等边三角形，且CEDF，求CEF的度数；（2）如图2，若ACAD，求证：EFFB；（3）如图3，在（2）的条件下，若CFE45，BCD的面积为4，求线段CD的长（1）解：CEBD，CEDF，BDDF，DFBB，ACD为等边三角形，ADCC60，DFBB30，CEF90；（2）证明：作BGAC交CD的延长线于G，CG，ACAD，CADC，BDGG，BDBG，CEBD，BDCE，BGAC，在CFE和GFB中，C
22、FEGFB，EFFB；（3）解：作EPCD于P，BHCD交CD的延长线于H，设EPx，GHa，CFE45，FPEPx，CFEGFB，BHEPx，则FHBHx，BDBG，BHCD，DHGHa，CFFGx+a，DFxa，CDCF+DF2x，由题意得，CDBH4，即2xx4，解得，x2，则CD2x413如图1，在平面直角坐标系中，A（a，b），B（c，0），|a3|+（2bc）2+0（1）求点A，B的坐标；（2）如图，点C为x轴正半轴上一点，且OCOA，点D为OC的中点，连AC，AD，请探索AD+CD与AC之间的大小关系，并说明理由；（3）如图，过点A作AEy轴于E，F为x轴负半轴上一动点不与（3，
23、0）重合，G在EF延长线上，以EG为一边作GEN45，过A作AMx轴，交EN于点M，连FM，当点F在x轴负半轴上移动时，式子的值是否发生变化？若变化，求出变化的范围；若不变化，请求出其值并说明理由解：（1）|a3|+（2bc）2+0，a30，2bc0，b30，a3，b3，c6，A（3，3），B（6，0）；（2）如图2，延长AD至G，使DGAD，点D是OC的中点，ODCDOC，OAOC，OA2CD在AOD和GCD中，AODGCD（SAS），OACG，CG2CD在ACG中，AG+CGAC，2AD+2CDAC，AD+CDAC；（3）式子的值不发生变化，理由：如图3，在AM上截取AHOF，AEy轴，A
24、Mx轴，EOP90，四边形AEOP是矩形，OEOP，A90EOF，由（1）知，A（3，3），AEAP，OEAE，在AEH和OEF中，AEHOEF（SAS），EFEH，OEFAEH，FEHOEF+OEHAEH+OEHOEA90，FEN45，HEM90FEN45FEN，EMEM，MEHMEF（SAS），FMHM，114如图，ABC为等边三角形点D，点E为直线AC和BC上的动点（1）如图1所示，点D为CA延长线上一点，点E为BC上一点时，连结DB，DE且DBDE，求证：AD+BEAB；（2）如图2所示，当点E为CB延长线上一点时，DBDE，直接写出AD，BE，AB之间的关系ADBEAB（3）如图3所
25、示，当点D在AC的延长线上时，点E在BC的延长线上时，DBDE，过点C作CGDB于点G，过点B作BLED延长线于点且，BE14，求AD的长（1）证明：如图1中，作DMAB交CB的延长线于MABC是等边三角形，ABCM60，BACMDC60，DMC是等边三角形，DMDCCM，MC60，CACB，BMAD，DBDE，DBEDEB，DBMDEC，在DBM和DEC中，DBMDEC（AAS），BMCE，ADEC，AD+BEBCAB（2）解：如图2中，结论：ADBEAB理由：作DMAB交CB的延长线于MABC是等边三角形，ABCM60，BACMDC60，DMC是等边三角形，DMDCCM，MC60，CACB
26、，BMAD，DBDE，DBEDEB，DBMDEC，在DBM和DEC中，DBMDEC（AAS），BMCE，ADEC，ADBEBCAB故答案为：ADBEAB（3）解：如图3中，作DMAB交BE于M，作MHEL于H设ABa由（1）（2）可知：CDM是等边三角形，DBMDEC，BMCE，BCEMa，BCAC，CMCD，ADBMEC，DBDE，CBGE，CGBMHE，CGBMHE（AAS），CGMH，BLEL，MHEL，MHBL，a4，ACBCEM4，CM1486，AD1015如图，在ABC中，ABAC，C60，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），ADE是以AD为一边的等边三角形（1）如
27、图，当点D在线段BC上时，求证：AEBADC；（2）如图，探究BE和AC的位置关系，并说明理由（3）如图，当点D在BC的延长线上时，（2）中结论还成立吗？说明理由（1）证明：ABAC，C60，ABC是等边三角形，BAC60，ADE是等边三角形，AEAD，EAD60，EABDAC，在AEB和ADC中，AEBADC（SAS）；（2）解：BEAC，理由如下：AEBADC，ABEC60，ABEBAC，BEAC；（3）解：成立，理由如下：由（1）的方法可以证明AEBADC，AEBADC，ADC+CADACB60，EAC+CADEAD60，ADCEAC，AEBEAC，BEAC16将两个完全相同的三角形纸片
28、ABC和DEC重合放置，其中C90，BE30（1）操作发现：如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，线段DE与AC的位置关系是DEAC设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1S2（2）猜想论证：当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究：已知ABC60，点D是角平分线上一点，BDCD，BE4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCFSBDE，请直接写出相应的BF的长解：（1）DEC绕点C旋
29、转，点D恰好落在AB边上，ACCD，BAC90B903060，ACD是等边三角形，ACD60，又CDEBAC60，ACDCDE，DEAC；B30，C90，CDACAB，BDADAC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1S2；故答案为：DEAC；S1S2；（2）如图3，DEC是由ABC绕点C旋转得到，BCCE，ACCD，ACN+BCN90，DCM+BCN1809090，ACNDCM，在ACN和DCM中，ACNDCM（AAS），ANDM，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1S2；（
30、3）如图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BEDF1，且BE、DF1上的高相等，此时SBDE；过点D作DF2BD，ABC60，F1DBE，F2F1DABC60，BF1DF1，F1BDABC30，F2DB90，F1DF260，DF1F2是等边三角形，DF1DF2，BDCD，ABC60，点D是角平分线上一点，DBCDCB6030，CDF1180BCD18030150，CDF236015060150，CDF1CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），SDCFSBDE，点F2也是所求的点，BE4，BF1BEDF1F1F24，BF28，综上，BF的长为4或817在
31、平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，0），C（0，1），点D为x轴正半轴上的一个动点，点E为第一象限内一点，且CECD，CECD（1）试说明：EBCCAB；（2）取DE的中点F，连接OF，试判断OF与AC的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，试探索O、D、F三点能否构成等腰三角形，若能，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；若不能，请说明理由解：（1）A（1，0），B（1，0），C（0，1），AOCOBO1，COAB，ACBC，CAOCBO45AOC，BOC均为等腰直角三角形，CBOBCOACOCAO45，ACB90，即ACD+BCD90，CECD，ECB+BCD90，ACD
32、ECB，在ACD与BCE中，ACDBCE，EBCCAB；（2）OFAC，理由如下：作FLOC，FKOB，如图1，COBO，LFK90，CECD，点F是DE的中点，CFDECFL+LFD90，KFD+LFD90，CFLKFD，CECD，点F是DE的中点，CFDFDE，在CFL与DFK中，CFLDFK（AAS），FLFK，FLOC，FKOB，OF平分COB，COFBOF45，CAO45，BOFCAO，OFAC；（3）O、D、F三点能构成等腰三角形，有两种情况：如图2，当ODDF时，连接CF，OFAC，FODCAB45，ODDF，FODOFD45，FDx轴，即EDx轴由（1）知：EBC45，ABC4
33、5EBO90，即EBx轴，即B和D重合，D（1，0）；如图3，当OFOD时，FOD45，ODFOFD67.5，CDE45，BDC67.54522.5，OBC45，BCD22.5，BCBD，OD1+，D（1+，0），综上所述，O、D、F三点构成等腰三角形时，点D的坐标为（1，0）或D（1+，0）18在ABC中，ADBC于点D（1）如图1，若BAC的角平分线交BC于点E，B42，DAE7，求C的度数；（2）如图2，点M、N分别在线段AB、AC上，将ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN，且点F，点G均在直线AD上，若B+C90，试猜想AMF与ANG之间的数量关系，并加以证
34、明；（3）在（2）小题的条件下，将DMF绕点D逆时针旋转一个角度（0360），记旋转中的DMF为DM1F1（如图3）在旋转过程中，直线M1F1与直线AB交于点P，直线M1F1与直线BC交于点Q若B28，是否存在这样的P、Q两点，使BPQ为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由解：（1）如图1中，ADBC，ADBADC90在RtAED中，EAD7，AED83，AEDB+BAE，B42，BAECAE41，BAC82，C180428256（2）结论：AMFANG理由：如图2中，由翻折可知：BF，CDGN，B+C90，BAC90，F+DGN90，BAD+CAD90，BADF+AMF，CADDGNANG，F+AMF+DGNANG90，AMFANG（3）当PQB90时，BF28，FDQ902862，FDB90，FDF906228，旋转角为28当BPQ90时，BF28，PQB902862，PQBF+FDB，FDB622834，FDF903456，旋转角为56，同法可得当旋转角为208或236时，也满足条件，综上所述，满足条件的旋转角为28或56