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2019年中考数学最后一轮复习(压轴训练):三角形综合(附解析)

1、2019年中考数学最后一轮复习(压轴训练):三角形综合1在ABC中,点E、F在边BC上,点D在边AC上,连接ED、DF,m,AEDF120(1)如图1,点E、B重合,m1时若BD平分ABC,求证:CD2CFCB;若,则或;(2)如图2,点E、B不重合若BECF,m,求m的值解:(1),ABAC,BD平分ABC,ABDDBF,BDCA+ABDBDF+CDF,且ABDF120,ABDCDFDBF,且CC,CDFCBD,CD2BCCF;如图1,过A作AGBC于G,过F作FHBC,交AC于H,C30,CH2FH,设FH2a,CH4a,则CF2a,BC15a,CGa,AGa,AC15a,AH11a,BA

2、DBDFDHF120,ADB+FDHADB+ABD18012060,ABDFDH,ABDHDF,即,设ADx,则DH11ax,30a2x(11ax),x211ax+30a20,(x5a)(x6a)0,x5a或6a,或,故答案为:或;(2)如图2,过E作EHAB,交AC于H,过D作DMEH于M,过F作FGED,交AC于G,BECF,FGED,设CG3a,DG7a,m,AEDF120,ABCDFE,DECC,DEDC10a,FGDE,GFCDEFC,FGCG3a,同理由(1)得:EHDDFG,即,DH,RtDHM中,DHM60,HDM30,HMDH,DMa,EMa,EHaaa,m2定义:在一个三角

3、形中,若存在两条边x和y,使得yx2,则称此三角形为“平方三角形”,x称为平方边(1)“若等边三角形为平方三角形,则面积为是真命题;“有一个角为30且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是假命题;(填“真”或“假”)(2)若a,b,c是平方三角形的三条边,平方边a2,若三角形中存在一个角为60,求c的值;(3)如图,在ABC中,D是BC上一点若CADB,CD1,求证,ABC是平方三角形;若C90,BD1,ACm,CDn,求tanDAB(用含m,n的代数式表示)解:(1)等边三角形为平方三角形,根据平方三角形的定义可知:等边三角形的边长为1,等边三角形的面积,是真命题当直角三角形中,30所

4、对的直角边为2时,斜边为4,满足平方三角形的定义,当直角三角形中,和30相邻的直角边是2时,不是平方三角形,故是假命题,故答案为真,假(2)因为a,b,c是平方三角形的三条边,平方边a2,三角形中存在一个角为60,只有B或C60,A不可能为60,不妨设B60,BC2,如图1中,当ca2时,a2,c224如图2中,当ba24时,作CHAB于H在RtBCH中,B60,CHB90,BC2,BHBC1,CHBH,在RtACH中,AH,cABBH+AH1+,综上所述,c的长为4或1+(3)如图3中,CC,CADB,CADCBA,AC2CDCB,CD1,AC2BC,ABC是平方三角形如图4中,作DHAB于

5、H在RtABC中,C90,ACm,BCCD+BD1+n,AB,DHAB,DHB90,BB,DHBC90,BHDBCA,DH,BH,AH,tanDAB3如图1,在ABC中,ABAC,ADBC于D,分别延长AC至E,BC至F,且CEEF,延长FE交AD的延长线于G(1)求证:AEEG;(2)如图2,分别连接BG,BE,若BGBF,求证:BEEG;(3)如图3,取GF的中点M,若AB5,求EM的长证明:(1)如图1,过E作EHCF于H,ADBC,EHAD,CEHCAD,HEFG,CEEF,CEHHEF,CADG,AEEG;(2)如图2,连接GC,ACBC,ADBC,BDCD,AG是BC的垂直平分线,

6、GCGB,GBFBCG,BGBF,GCBE,CEEF,CEF1802F,BGBF,GBF1802F,GBFCEF,CEFBCG,BCECEF+F,BCEBCG+GCE,GCEF,在BEF和GCE中,BEFGEC(SAS),BEEG;(3)如图3,连接DM,取AC的中点N,连接DN,由(1)得AEEG,GAEAGE,在RtACD中,N为AC的中点,DNACAN,DANADN,ADNAGE,DNGF,在RtGDF中,M是FG的中点,DMFGGM,GDMAGE,GDMDAN,DMAE,四边形DMEN是平行四边形,EMDNAC,ACAB5,EM4【阅读材料】小明遇到这样一个问题:如图1,点P在等边三角

7、形ABC内,且APC150,PA3,PC4,求PB的长小明发现,以AP为边作等边三角形APD,连接BD,得到ABD;由等边三角形的性质,可证ACPABD,得PCBD;由已知APC150,可知PDB的大小,进而可求得PB的长(1)请回答:在图1中,PDB90,PB5【问题解决】(2)参考小明思考问题的方法,解决下面问题:如图2,ABC中,ACB90,ACBC,点P在ABC内,且PA1,PB,PC2,求AB的长【灵活运用】(3)如图3,在RtABC中,ACB90,BAC,且tan,点P在ABC外,且PB3,PC1,直接写出PA长的最大值解:(1)如图1中,ACPABD,PDBAPC150,PCBD

8、4,ADAP3,ADP为等边三角形,ADP60,DPAD3,BDP1506090,PB5故答案为:90,5;(2)如图2中,把ACP绕点C逆时针旋转90得到BCD由旋转性质可知;BDPA1,CDCP2,PCD90,PCD是等腰直角三角形,PDPC24,CDP45,PD2+BD242+1217,PB2()217,PD2+BD2PB2,PDB90,BDC135,APCCDB135,CPD45,APC+CPD180,A,P,D共线,ADAP+PD5,在RtADB中,AB(3)如图3中,作CDCP,使得CDPC,则PD,tanBAC,ACBPCD90,ACDBCP,ACDBCP,AD,PA+,PA,P

9、A的最大值为5一节数学课后,老师布置了一道课后练习:ABC是等边三角形,点D是线段BC上的点,点E为ABC的外角平分线上一点,且ADE如图,当点D是线段BC上(除B,C外)任意一点时,求证:ADDE(1)理清思路,完成解答本题证明思路可以用下列框图表:根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程;(2)特殊位置,计算求解当点D为BC的中点时,等边ABC的边长为6,求出DE的长;(3)知识迁移,探索新知当点D在线段BC的延长线上,且满足CDBC时若AB2,请直接写出ADE的面积(不必写解答过程)(1)证明:如图中,过点D作DFAC,交AB于点FABC是等边三角形,ABBC,BACBABC60,又D

10、FAC,BDFBFD60,BDF是等边三角形,BFBD,BFD60,AFCD,AFD120,EC是外角的平分线,DCE120AFD,ADC是ABD的外角,ADCB+FAD60+FAD,ADCADE+EDC60+EDC,FADEDC,在AFDDCE中,AFDDCE(ASA),ADDE(2)如图中,ABC是等边三角形,ABACBC6,BDDC3,ADBC,ADB90,AD3,由(1)可知:DEAD3(3)如图3中,CACDCB2,BAD90,AD2,ABDDCE,BADEDC90,ABD60,ADB30,ADE60,ADDE,ADE是等边三角形,SADE(2)236已知如图1,在ABC中,ACB9

11、0,BCAC,点D在AB上,DEAB交BC于E,点F是AE的中点(1)线段FD与线段FC的数量关系DFFC,位置关系DFFC;(2)如图2,将BDE绕点B逆时针旋转a(0a90),其它条件不变,线段FD与线段FC的关系是否变化,写出你的结论并证明;(3)将BDE绕点B逆时针旋转一周,如果BC4,BE2,直接写出线段BF的范围解:(1)如图1中,ADEACE90,AFFE,DFAFEFCF,FADFDA,FACFCA,DFEFDA+FAD2FAD,EFCFAC+FCA2FAC,CACB,ACB90,BAC45,DFCEFD+EFC2(FAD+FAC)90,DFFC,DFFC,故答案为:DFFC,

12、DFFC(2)结论不变理由:如图2中,延长AC到M使得CMCA,延长ED到N,使得DNDE,连接BN、BMEM、AN,延长ME交AN于H,交AB于OBCAM,ACCM,BABM,同法BEBN,ABMEBN90,NBAEBM,ABNMBE,ANEM,BANBME,AFFE,ACCM,CFEM,FCEM,同法FDAN,FDAN,FDFC,BME+BOM90,BOMAOH,BAN+AOH90,AHO90,ANMH,FDFC(3)如图3中,当点E落在AB上时,BF的长最大,最大值3如图4中,当点E落在AB的延长线上时,BF的值最小,最小值综上所述,BF37【操作发现】(1)如图1,将ABC绕点A逆时针

13、旋转90得到ADE,连接BD,则ABD的度数是45【类比探究】(2)如图2,在等腰直角三角形ABC内取一点P,使APB135,将ABP绕顶点A逆时针旋转90得到ACP,连接PP请猜想BP与CP有怎样的位置关系,并说明理由【解决问题】(3)如图3,在等腰直角三角形ABC内任取一点P,连接PA、PB、PC求证:PC+PAPB解:(1)如图1,由旋转得:BAD90,ABAD,BAD是等腰直角三角形,ABD45,故答案为:45;(2)BPCP,理由是:如图2,由旋转得:ABAC,APAP,BACPAP90,ABPACP(SAS),APBAPC135,APAP,PAP90,APP是等腰直角三角形,APP

14、45,APB+APP180,B、P、P三点共线,CPB1354590,BPCP;(3)如图3,将ABP绕点A逆时针旋转90得到ACP,ACPABP,PCPB,PAPA,连接PP,PAP90,PPPA,在PCP中,PC+PPPC,PC+PAPB8如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB,点C为x正半轴上一动点(OC2),连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD连接DA并延长交y轴于点E(1)在点C的运动过程中,OBC和ABD全等吗?请说明理由;(2)在点C的运动过程中,CAD的度数是否会变化?如果不变,请求出CAD的度数;如果变

15、化请说明理由;(3)探究当点C运动到什么位置时,以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形?解:(1)OBC和ABD全等,理由是:AOB,CBD都是等边三角形,OBAB,CBDB,ABODBC,OBCABD,在OBC和ABD中,OBCABD(SAS);(2)点C在运动过程中,CAD的度数不会发生变化,理由如下:AOB是等边三角形,BOAOAB60,OBCABD,BADBOC60,CAD180OABBAD60;(3)OBCABD,BOCBAD60,又OAB60,OAE180606060,EAC120,OEA30,以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时,AE和AC是腰,点A的坐标为(2,0),OA2

16、,在RtAOE中,OEA30,AE4,ACAE4,OC2+46,当点C的坐标为(6,0)时,以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形9如图1,ABC中,CDAB于D,且BD:AD:CD2:3:4(1)试说明ABC是等腰三角形;(2)已知SABC40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段M向点A运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止,设点M运动的时间为t(秒)若DMN的边与BC平行,求t的值;在点M、N运动的过程中,AMN能否成为直角三角形?若能,直接写出t的值;若不能,请说明理由解:(1)设BD2x,AD3x,CD4x,则A

17、B5x,在RtACD中,AC5x,ABAC,ABC是等腰三角形;(2)SABC5x4x40cm2,而x0,x2cm,则BD4cm,AD6cm,CD8cm,AC10cm当MNBC时,AMAN,即10tt,t5;当DNBC时,ADAN,得:t6;若DMN的边与BC平行时,t值为5或6由题意知AMADDM6t,ANt,如图1,当AMN90时,AMNADC,则,即,解得:t;如图2,当ANM90时,AMNACD,则,即,解得:t;综上,t或时,AMN是直角三角形10在ABC中,ABAC10,sinBAC,过点C作CDAB,点E在边AC上,AECD,联结AD,BE的延长线与射线CD、射线AD分别交于点F

18、、G设CDx,CEF的面积为y(1)求证:ABECAD(2)如图,当点G在线段AD上时,求y关于x的函数解析式及定义域(3)若DFG是直角三角形,求CEF的面积解:(1)CDAB,BACECD,又AECD,ABAC,DACEBA(SAS),ABECAD;(2)过点E作EHAB,垂足为H,由题意知CEACAE10x,EHAEsinCABx,AHx,则SABEABEH10x3x,CFBA,CEFAEB,()2,即,y(0x55);(3)由于DFGEBAABC,所以DFG不可能为直角,当DGF90时,EGA90,由GAEGBA知GAEGBA,tanGBA,在RtEHB中,tanGBA,解得:x0(舍

19、)或x5,SCEF15;当GDF90时,BAG90,由知GAEGBA,则AEBGEA90,BEABsinBAC106,AE8,CEACAE2,由CEFAEB知,即,则EF,SCEFEFCE2,综上所述,若DFG是直角三角形,则CEF的面积为15或11已知:等边三角形ABC(1)如图1,P为等边ABC内一点,且PAE为等边三角形,则BPEC(填“”,“”或“”)(2)如图2,P为等边ABC外一点,且BPC120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图3,P为等边ABC内一点,且APD120求证:PA+PD+PCBD解:(1)APE为等边三角形,APAE,PAE60,A

20、BC为等边三角形,ACBC,BCA60BAPCAEABPACE(SAS)BPCE,故答案为:(2)猜想:APBP+PC,证明:延长BP至E,使PEPC,连接CE,BPC120CPE60又PEPC,CPE为等边三角形,CPPECE,PCE60,ABC为等边三角形,ACBC,BCA60ACBPCEACB+BCPPCE+BCPACPBCE,ACPBCE(SAS)APBE,BEBO+PEAPBP+PC(3)在AD外侧作等边ABD,则点P在三角形ABD外,连接PB,BC,APD120由(1)得PBAP+PD,在PBC中,有PB+PCCB,PA+PB+PCCB,ABD、ABC是等边三角形,ACAB,ABA

21、DBADCABABDACB(SAS)CBBD,PA+PD+PCBD12如图,在ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,CEBD,连接CD,BE,BE与CD相交于点F(1)如图1,若ACD为等边三角形,且CEDF,求CEF的度数;(2)如图2,若ACAD,求证:EFFB;(3)如图3,在(2)的条件下,若CFE45,BCD的面积为4,求线段CD的长(1)解:CEBD,CEDF,BDDF,DFBB,ACD为等边三角形,ADCC60,DFBB30,CEF90;(2)证明:作BGAC交CD的延长线于G,CG,ACAD,CADC,BDGG,BDBG,CEBD,BDCE,BGAC,在CFE和GFB中,C

22、FEGFB,EFFB;(3)解:作EPCD于P,BHCD交CD的延长线于H,设EPx,GHa,CFE45,FPEPx,CFEGFB,BHEPx,则FHBHx,BDBG,BHCD,DHGHa,CFFGx+a,DFxa,CDCF+DF2x,由题意得,CDBH4,即2xx4,解得,x2,则CD2x413如图1,在平面直角坐标系中,A(a,b),B(c,0),|a3|+(2bc)2+0(1)求点A,B的坐标;(2)如图,点C为x轴正半轴上一点,且OCOA,点D为OC的中点,连AC,AD,请探索AD+CD与AC之间的大小关系,并说明理由;(3)如图,过点A作AEy轴于E,F为x轴负半轴上一动点不与(3,

23、0)重合,G在EF延长线上,以EG为一边作GEN45,过A作AMx轴,交EN于点M,连FM,当点F在x轴负半轴上移动时,式子的值是否发生变化?若变化,求出变化的范围;若不变化,请求出其值并说明理由解:(1)|a3|+(2bc)2+0,a30,2bc0,b30,a3,b3,c6,A(3,3),B(6,0);(2)如图2,延长AD至G,使DGAD,点D是OC的中点,ODCDOC,OAOC,OA2CD在AOD和GCD中,AODGCD(SAS),OACG,CG2CD在ACG中,AG+CGAC,2AD+2CDAC,AD+CDAC;(3)式子的值不发生变化,理由:如图3,在AM上截取AHOF,AEy轴,A

24、Mx轴,EOP90,四边形AEOP是矩形,OEOP,A90EOF,由(1)知,A(3,3),AEAP,OEAE,在AEH和OEF中,AEHOEF(SAS),EFEH,OEFAEH,FEHOEF+OEHAEH+OEHOEA90,FEN45,HEM90FEN45FEN,EMEM,MEHMEF(SAS),FMHM,114如图,ABC为等边三角形点D,点E为直线AC和BC上的动点(1)如图1所示,点D为CA延长线上一点,点E为BC上一点时,连结DB,DE且DBDE,求证:AD+BEAB;(2)如图2所示,当点E为CB延长线上一点时,DBDE,直接写出AD,BE,AB之间的关系ADBEAB(3)如图3所

25、示,当点D在AC的延长线上时,点E在BC的延长线上时,DBDE,过点C作CGDB于点G,过点B作BLED延长线于点且,BE14,求AD的长(1)证明:如图1中,作DMAB交CB的延长线于MABC是等边三角形,ABCM60,BACMDC60,DMC是等边三角形,DMDCCM,MC60,CACB,BMAD,DBDE,DBEDEB,DBMDEC,在DBM和DEC中,DBMDEC(AAS),BMCE,ADEC,AD+BEBCAB(2)解:如图2中,结论:ADBEAB理由:作DMAB交CB的延长线于MABC是等边三角形,ABCM60,BACMDC60,DMC是等边三角形,DMDCCM,MC60,CACB

26、,BMAD,DBDE,DBEDEB,DBMDEC,在DBM和DEC中,DBMDEC(AAS),BMCE,ADEC,ADBEBCAB故答案为:ADBEAB(3)解:如图3中,作DMAB交BE于M,作MHEL于H设ABa由(1)(2)可知:CDM是等边三角形,DBMDEC,BMCE,BCEMa,BCAC,CMCD,ADBMEC,DBDE,CBGE,CGBMHE,CGBMHE(AAS),CGMH,BLEL,MHEL,MHBL,a4,ACBCEM4,CM1486,AD1015如图,在ABC中,ABAC,C60,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),ADE是以AD为一边的等边三角形(1)如

27、图,当点D在线段BC上时,求证:AEBADC;(2)如图,探究BE和AC的位置关系,并说明理由(3)如图,当点D在BC的延长线上时,(2)中结论还成立吗?说明理由(1)证明:ABAC,C60,ABC是等边三角形,BAC60,ADE是等边三角形,AEAD,EAD60,EABDAC,在AEB和ADC中,AEBADC(SAS);(2)解:BEAC,理由如下:AEBADC,ABEC60,ABEBAC,BEAC;(3)解:成立,理由如下:由(1)的方法可以证明AEBADC,AEBADC,ADC+CADACB60,EAC+CADEAD60,ADCEAC,AEBEAC,BEAC16将两个完全相同的三角形纸片

28、ABC和DEC重合放置,其中C90,BE30(1)操作发现:如图2,固定ABC,使DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,线段DE与AC的位置关系是DEAC设BDC的面积为S1,AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1S2(2)猜想论证:当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想(3)拓展探究:已知ABC60,点D是角平分线上一点,BDCD,BE4,DEAB交BC于点E(如图4)若在射线BA上存在点F,使SDCFSBDE,请直接写出相应的BF的长解:(1)DEC绕点C旋

29、转,点D恰好落在AB边上,ACCD,BAC90B903060,ACD是等边三角形,ACD60,又CDEBAC60,ACDCDE,DEAC;B30,C90,CDACAB,BDADAC,根据等边三角形的性质,ACD的边AC、AD上的高相等,BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1S2;故答案为:DEAC;S1S2;(2)如图3,DEC是由ABC绕点C旋转得到,BCCE,ACCD,ACN+BCN90,DCM+BCN1809090,ACNDCM,在ACN和DCM中,ACNDCM(AAS),ANDM,BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1S2;(

30、3)如图,过点D作DF1BE,易求四边形BEDF1是菱形,所以BEDF1,且BE、DF1上的高相等,此时SBDE;过点D作DF2BD,ABC60,F1DBE,F2F1DABC60,BF1DF1,F1BDABC30,F2DB90,F1DF260,DF1F2是等边三角形,DF1DF2,BDCD,ABC60,点D是角平分线上一点,DBCDCB6030,CDF1180BCD18030150,CDF236015060150,CDF1CDF2,在CDF1和CDF2中,CDF1CDF2(SAS),SDCFSBDE,点F2也是所求的点,BE4,BF1BEDF1F1F24,BF28,综上,BF的长为4或817在

31、平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,0),C(0,1),点D为x轴正半轴上的一个动点,点E为第一象限内一点,且CECD,CECD(1)试说明:EBCCAB;(2)取DE的中点F,连接OF,试判断OF与AC的位置关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,试探索O、D、F三点能否构成等腰三角形,若能,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;若不能,请说明理由解:(1)A(1,0),B(1,0),C(0,1),AOCOBO1,COAB,ACBC,CAOCBO45AOC,BOC均为等腰直角三角形,CBOBCOACOCAO45,ACB90,即ACD+BCD90,CECD,ECB+BCD90,ACD

32、ECB,在ACD与BCE中,ACDBCE,EBCCAB;(2)OFAC,理由如下:作FLOC,FKOB,如图1,COBO,LFK90,CECD,点F是DE的中点,CFDECFL+LFD90,KFD+LFD90,CFLKFD,CECD,点F是DE的中点,CFDFDE,在CFL与DFK中,CFLDFK(AAS),FLFK,FLOC,FKOB,OF平分COB,COFBOF45,CAO45,BOFCAO,OFAC;(3)O、D、F三点能构成等腰三角形,有两种情况:如图2,当ODDF时,连接CF,OFAC,FODCAB45,ODDF,FODOFD45,FDx轴,即EDx轴由(1)知:EBC45,ABC4

33、5EBO90,即EBx轴,即B和D重合,D(1,0);如图3,当OFOD时,FOD45,ODFOFD67.5,CDE45,BDC67.54522.5,OBC45,BCD22.5,BCBD,OD1+,D(1+,0),综上所述,O、D、F三点构成等腰三角形时,点D的坐标为(1,0)或D(1+,0)18在ABC中,ADBC于点D(1)如图1,若BAC的角平分线交BC于点E,B42,DAE7,求C的度数;(2)如图2,点M、N分别在线段AB、AC上,将ABC折叠,点B落在点F处,点C落在点G处,折痕分别为DM和DN,且点F,点G均在直线AD上,若B+C90,试猜想AMF与ANG之间的数量关系,并加以证

34、明;(3)在(2)小题的条件下,将DMF绕点D逆时针旋转一个角度(0360),记旋转中的DMF为DM1F1(如图3)在旋转过程中,直线M1F1与直线AB交于点P,直线M1F1与直线BC交于点Q若B28,是否存在这样的P、Q两点,使BPQ为直角三角形?若存在,请直接写出旋转角的度数;若不存在,请说明理由解:(1)如图1中,ADBC,ADBADC90在RtAED中,EAD7,AED83,AEDB+BAE,B42,BAECAE41,BAC82,C180428256(2)结论:AMFANG理由:如图2中,由翻折可知:BF,CDGN,B+C90,BAC90,F+DGN90,BAD+CAD90,BADF+AMF,CADDGNANG,F+AMF+DGNANG90,AMFANG(3)当PQB90时,BF28,FDQ902862,FDB90,FDF906228,旋转角为28当BPQ90时,BF28,PQB902862,PQBF+FDB,FDB622834,FDF903456,旋转角为56,同法可得当旋转角为208或236时,也满足条件,综上所述,满足条件的旋转角为28或56