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2019年中考数学最后一轮复习(压轴训练):四边形综合(附解析)

1、2019年中考数学最后一轮复习(压轴训练):四边形综合1如图,矩形ABCD(ABAD)中,点M是边DC上的一点,点P是射线CB上的动点,连接AM,AP,且DAP2AMD(1)若APC76,则DAM ;(2)猜想APC与DAM的数量关系为 ,并进行证明;(3)如图1,若点M为DC的中点,求证:2ADBP+AP;(4)如图2,当AMPAPM时,若CP15,时,则线段MC的长为 2如图,在四边形ABCD中,ADBC,B90,AD24cm,AB8cm,BC26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动;Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到

2、达端点时,另外一点也随之停止运动(1)当运动时间为t秒时,用含t的代数式表示以下线段的长:AP BQ ;(2)当运动时间为多少秒时,四边形PQCD为平行四边形?(3)当运动时间为多少秒时,四边形ABQP为矩形?3在四边形ABCD中,点E是线段AC上一点,BECD,BECBAD(1)如图1已知ABAD;找出图中与DAC相等的角,并给出证明;求证:AECD;(2)如图2,若BCED,BEC45,求tanABE的值4如图,已知ABC,ABC90,ABBC,AC4,点E为直线AC上一点,以BE为边,点B为直角顶点作等腰直角三角形BEF(1)如图,当点E在线段AC上时,EF交BC于点D,连接CF;找出一

3、对全等三角形为 ;若四边形ABFC的面积为7,则AE的长是 (2)如图,当点E在AC的延长线上时,BE交CF于点DCDE的面积记为m,BDF的面积记为n,探究m、n之间的数量关系并说明理由;当CDE的面积为1时,求AE的长5如图,正方形ABCD的边长为2,O是BC边的中点,P是正方形内一动点,且OP2,连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转90到DQ,连接AP,CQ(1)直接写出线段AP和CQ的关系(2)当A,O,P三点共线时,求线段DP的长(3)连接PQ,求线段PQ的最小值6如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEF

4、G(1)连接GD,求证:ADGABE;(2)连接FC,观察并直接写出FCN的度数(不要写出解答过程)(3)如图(2),将图中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB6,BC8,E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时,FCN的大小是否总保持不变,若FCN的大小不变,请求出tanFCN的值若FCN的大小发生改变,请举例说明7定义:长宽比为:1(n为正整数)的矩形称为矩形下面,我们通过折叠的方式折出一个矩形,如图a所示操作1:将正方形ABEF沿过点A的直线折叠,使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处,折痕为AH

5、操作2:将FE沿过点G的直线折叠,使点F、点E分别落在边AF、BE上,折痕为CD则四边形ABCD为矩形(1)证明:四边形ABCD为矩形;(2)点M是边AB上一动点如图b,O是对角线AC的中点,若点N在边BC上,OMON,连接MN求tanOMN的值;连接CM,作BRCM,垂足为R若AB,求DR的最小值8如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴上,点C在y轴上,点B的坐标为(8,4),动点D从点O向点A以每秒两个单位的速度运动,动点E从点C向点O以每秒一个单位的速度运动,设D、E两点同时出发,运动时间为t秒,将ODE沿DE翻折得到FDE(1)若四边形ODFE为正方形,求t的值;(2)若

6、t2,试证明A、F、C三点在同一直线上;(3)是否存在实数t,使BDE的面积最小?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由9已知:RtEFP和矩形ABCD如图摆放(点P与点B重合),点F,B(P),C在同一直线上,ABEF6cm,BCFP8cm,EFP90,如图,EFP从图的位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s,EP与AB交于点G,与BD交于点K;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s过点Q作QMBD,垂足为H,交AD于点M,连接AF,PQ,当点Q停止运动时,EFP也停止运动设运动事件为(s)(0t6),解答下列问题:(1)当为何值时,PQBD?(2)在运动过程中

7、,是否存在某一时刻,使S五边形AFPQM:S矩形ABCD9:8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由(3)在运动过程中,当t为 秒时,PQPE10(1)问题发现如图1,ACB和DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一条直线上,连接BE填空:AEB的度数为 ;线段AD、BE之间的数量关系为 (2)拓展研究如图2,ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACBDCE90,点A、D、E在同一条直线上,CM为DCE中DE边上的高,连接BE,请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由(3)解决问题如图3,在正方形ABCD中,CD2,若点P满足PD2,且BPD90,请直接写出点A到B

8、P的距离11课题学习:矩形折纸中的数学实践操作折纸不仅是一项有趣的活动,也是一项益智的数学活动数学课上,老师给出这样一道题将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B落在矩形所在平面内,BC和AD相交于点E,如图1所示探素发现(1)在图1中,请猜想并证明AE和EC的数量关系;连接BD,请猜想并证明BD和AC的位置关系;(2)第1小组的同学发现,图1中,将矩形ABCD沿对角线AC翻折所得到的图形是轴对称图形若沿对称轴EF再次翻折所得到的图形仍是轴对称图形,展开后如图2所示,请你直接写出该矩形纸片的长、宽之比;(3)若将图1中的矩形变为平行四边形时(ABBC),如图3所示,(1)中的结论和结论是否仍

9、然成立,请直接写出你的判断拓展应用(4)在图3中,若B30,AB2,请您直接写出:当BC的长度为多少时,ABD恰好为直角三角形12已知矩形ABCD,作ABC的平分线交AD边于点M,作BMD的平分线交CD边于点N(1)若N为CD的中点,如图1,求证:BMAD+DM;(2)若N与C点重合,如图2,求tanMCD的值;(3)若,AB6,如图3,求BC的长13如图,在RtABC中,ACB90,AC3,BC4,点D为AB边上一点,且AD1,点P从点C出发,沿射线CA以每秒1个单位长度的速度运动,以CP、DP为邻边作CPDE设CPDE和ABC重叠部分图形的面积为S(平方单位),点P的运动时间为t(秒)(t

10、0)(1)连结CD,求CD的长;(2)当CPDE为菱形时,求t的值;(3)求S与t之间的函数关系式;(4)将线段CD沿直线CE翻折得到线段CD当点D落在ABC的边上时,直接写出t的值14如图,在矩形ABCD中,AB4,BC5,E是BC边上的一个动点,DFAE,垂足为点F,连结CF(1)若AEBC求证:ABEDFA;求四边形CDFE的周长;求tanFCE的值;(2)探究:当BE为何值时,CDF是等腰三角形15如图,在平面直角坐标系xOy中有矩形OABC,A(4,0),C(0,2),将矩形OABC绕原点O逆时针旋转得到矩形OABC()如图1,当点A首次落在BC上时,求旋转角;()在()的条件下,求

11、点B的坐标;()如图2,当点B首次落在x轴上时,直接写出此时点A的坐标16我们定义:有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”如图1,四边形ABCD中,AC90,则四边形ABCD是“对直角四边形”(1)“对角线相等的对直角四边形是矩形”是 命题;(填“真”或“假”)(2)如图2,在对直角四边形ABCD中,DAB90,AD+CDAB+BC试说明ADC的面积与ABC的面积相等;(3)如图3,在ABC中,C90,AC6,BC8,过AB的中点D作射线DPAC,交BC于点O,BDP与ADP的角平分线分别交BC,AC于点E、F图中是“对直角四边形”的是 ;当OP的长是 时,四边形DEPF为对直角四边形参

12、考答案1解:(1)ADCP,APC76,DAP104,DAP2AMD,AMD52,又D90,DAM38,故答案为:38;(2)APC2DAM,理由如下:四边形ABCD是矩形,D90,ADBC,点P是射线BC上的点,ADCP,DAP+APC180,DAP2AMD,2AMD+APC180,在RtAMD中,D90,AMD90DAM,2(90DAM)+APC180,APC2DAM,故答案为:APC2DAM;(3)如图1,延长AM交BC的延长线于点E,延长BP到F,使PFAP,连接AF,四边形ABCD是矩形,ADBC,ADBC,ABC90,ADBE,ABBE,DAME,M是DC中点,DMCM,又12,A

13、MDEMC(AAS),ADCE,BEBC+CE2AD,APC2DAM,APC2E,PAPF,PAFF,APC2F,EF,AEAF,又ABBE,BEBF,又BFBP+PFBP+AP,2ADBP+AP;(4)如图2,延长MD到点E,使DEMD,连接AE,过点E作EFMA于点F, 设AM3x,AD2x,则DMDEx,AEAP3x,AMDEMF,ADMEFM90,ADMEFM,即,解得EFx,AFx,DEMD,ADCE,AMEAEM,则EAF2AMD,ADBC,DAP2AMD,APBDAP2AMD,EAFAPB,又EFAB90,AEAP,EAFAPB(AAS),PBAFx,由ADBC得x+152x,解

14、得x9,AB12,MCDCDMABDM3,故答案为:32解:(1)由题意知APt,BQ263t,故答案为:t,263t;(2)由题意可得:PDADAP24t,QC3t,ADBC,PDQC,设当运动时间为t秒时PDQC,此时四边形PQCD为平行四边形由PDQC得,24t3t,解得t6,当运动时间为6秒时,四边形PQCD为平行四边形(3)ADBC,APBQ,设当运动时间为t秒时APBQ,四边形ABQP为平行四边形由APBQ得:t263t,解得:t,又B90平行四边形ABQP为矩形当运动时间为秒时,四边形ABQP为矩形3解:(1)ABECAD,理由如下:以D为圆心,DC为半径画圆,交AC于F,连接D

15、F,则CDDF,DFCDCF,BECD,BECFCD,BECDFC,AEBAFD,BECBAE+ABE,BADBAE+DAF,BECBAD,ABEDAF,在ABE和DAF中,ABEDAF(AAS),ABECAD,ABEDAF,AEDF,CDDF,AECD;(3)过点D作DGCD交AC于点G,BECD,DCABEC45,AEBDGA135,DGDC,AEBDGA,ABEDAG,ABEDAG,BCDE,BECD,四边形BCDE为平行四边形,BECD,过点A作AH垂直于BE交BE的延长线于点H,设AHEHm,则AEm,DGCDBE2m,BHBE+EH2m+m,tanABE4解:(1)ABECBF理由

16、如下:ABCEBF90,ABECBF,且ACBC,EBBFABECBF(SAS)故答案为:ABECBF如图,过点B作BMAC于M,ABC90,ABBC,AC4,BMAC,AMCMBM2SABC424S四边形ABFC7SCBF3SABM,3AE3故答案为:3(2)4+mn理由如下:ABECBFSABESCBF,SABC+SCBD+SCDESCBD+SBDF,4+mnCDE的面积为1,m+4nn5SBDE5,如图,过点B作BGAC,BHFC,ABECBFAECF,ABCH45ACB,且BGAC,BHFC,BGBH2,ACF90SBDE5,DFBH5DF5,设CEx,则AE4+xCF,CD4+x5x

17、1SCDECDCE11x(x1)x2,x1(舍去)AE2+x6,5解:(1)APCQ,APCQ;理由如下:延长QC、AP交于点E,AP的延长线交BC于F,如图1所示:四边形ABCD是正方形,ADCD,ADCBCD90,ADBC,由旋转的性质得:PDQ90,DPDQ,ADPCDQ,在ADP和CDQ中,ADPCDQ(SAS),APCQ,DAPDCQ,BCD90,DCQ+ECF90,ADBC,DAPCFE,CFE+ECF90,CEF90,AEQE,APCQ;(2)作DHAP于H,如图2所示:O是BC边的中点,OBBC,当A,O,P三点共线时,由勾股定理得:AO5,四边形ABCD是正方形,B90,AD

18、BC,DAHBOA,sinDAHsinBOA,cosDAHcosBOA,DHADsinDAH24,AHADcosDAH22,PHAOAHOP5221,DP;(3)连接OD,如图3所示:DQDP,PDQ90,PQDP,OD5,OP+DPOD,DPODOP523,PQ3,线段PQ的最小值为36(1)证明:四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,ABAD,AEAGEF,BADEAGADC90,BAE+EADDAG+EAD,ADG90ABE,BAEDAG,在ADG和ABE中,ADGABE(AAS)(2)解:FCN45,理由如下:作FHMN于H,如图1所示:则EHF90ABE,AEFABE90,BAE+

19、AEB90,FEH+AEB90,FEHBAE,在EFH和ABE中,EFHABE(AAS),FHBE,EHABBC,CHBEFH,FHC90,FCN45(3)解:当点E由B向C运动时,FCN的大小总保持不变,理由如下:作FHMN于H,如图2所示:由已知可得EAGBADAEF90,结合(1)(2)得:EFHGAD,EFHABE,EHADBC8,CHBE,;在RtFEH中,tanFCN,当点E由B向C运动时,FCN的大小总保持不变,tanFCN7(1)证明:设正方形ABEF的边长为a,AE是正方形ABEF的对角线,DAG45,由折叠性质可知AGABa,FDCADC90,则四边形ABCD为矩形,ADG

20、是等腰直角三角形,ADDG,AB:ADa:1,四边形ABCD为矩形;(2)解:作OPAB,OQBC,垂足分别为P,Q,如图b所示:四边形ABCD是矩形,B90,四边形BQOP是矩形POQ90,OPBC,OQAB,O为AC中点,OPBC,OQAB,MON90,QONPOM,RtQONRtPOM,tanOMN;如图c所示:四边形ABCD为矩形,AB,BCAD1,BRCM,点R在以BC为直径的圆上,记BC的中点为I,CIBC,DR最小8(1)解:矩形OABC中,B(8,4),OA8,OC4,四边形ODEF为正方形,OEDF,OEDF,ODE沿DE翻折得到FDE,ODDF,OD2t,OE4t,2t4t

21、,t;(2)证明:连接AC,作OGAC于G,如图1所示:t2,OEBE2,ODDE4,DE是OAC的中位线,DEAC,且DEAC,DE垂直平分OF,由折叠的性质得:DE垂直平分OF,G与F点重合,即A、C、F三点在同一条直线;(3)解:存在,理由如下:如图2所示:SBDESABCSBCESABDSODE32t84(82t)2t(4t)324t16+4t4t+t2t24t+16(t2)2+12,t2时,SBDE有最小值为12;即存在实数t,使BDE的面积最小,t2秒9解:(1)PQBD,解得t,当t时,PQBD(2)假设存在S五边形AFPQMSABF+S矩形ABCDSPQCSMQD(8t)6+6

22、8(8t)t(6t)(6t)t2t+又S五边形AFPQM:S矩形ABCD9:8,(t2t+):489:8,整理得:t220t+360,解得t2或18(舍弃),t2s时,S五边形AFPQM:S矩形ABCD9:8(3)PQPE,QPE90,EFPC90,EPF+QPC90,QPC+PQC90,EPFPQC,EPFPQC,解得t,当t时,PQPE故答案为10解:问题发现(1)ACB和DCE均为等边三角形,ACBC,DCCE,ACBDCECDE60CED点A、D、E在同一条直线上,ADC120ACBDCBDCEDCBACDBCE,且ACBC,DCCEACDBCE(SAS)ADCCEB120ABECEB

23、CED60ACDBCEADBE故答案为:60,ADBE(2)拓展研究:猜想:AEB90,AEBE+2CM理由:如图2,ACB和DCE均为等腰直角三角形,CACB,CDCE,ACBDCE90ACDBCE且ACBC,CDCEACDBCE(SAS)ADBE,ADCBECDCE为等腰直角三角形,CDECED45点A,D,E在同一直线上,ADC135BEC135AEBBECCED90CDCE,CMDE,DMMEDCE90,DMMECMAEAD+DEBE+2CM解决问题:(3)点P满足PD2,点P在以D为圆心,2为半径的圆上,BPD90,点P在以BD为直径的圆上,如图,点P是两圆的交点,若点P在AD上方,

24、连接AP,过点A作AHBP,CD2BC,BCD90BD4,BPD90BP2BPD90BAD点A,点B,点D,点P四点共圆APBADB45,且AHBPHAPAPH45AHHP在RtAHB中,AB2AH2+BH2,8AH2+(2AH)2,AH+1(不合题意),或AH1若点P在CD的右侧,同理可得AH+1综上所述:点A到BP的距离为: +1或111解:(1)如图1中,结论:EAEC理由:四边形ABCD是矩形,ADBC,EACACB,由翻折可知:ACBACE,EACECA,EAEC连接DB结论:DBACEAEC,EACECA,ADBCCB,EDEB,EBDEDB,AECDEB,EBDEAC,DBAC(

25、2)如图2中,当AB:AD1:1时,四边形ABCD是正方形,BACCADEAB45,AEAE,BAFE90,AEBAEF(AAS),ABAF,此时四边形AFEB是轴对称图形,符合题意当AD:AB时,也符合题意,此时DAC30,AC2CD,AFFCCDABAB,此时四边形AFEB是轴对称图形,符合题意(3)如图3中,当四边形ABCD是平行四边形时,仍然有EAEC,DBAC理由:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,EACACB,由翻折可知:ACBACE,EACECA,EAECEAEC,EACECA,ADBCCB,EDEB,EBDEDB,AECDEB,EBDEAC,DBAC(4)如图31中,当AB

26、C90时,易证BAC90,BC如图32中,当ADB90时,易证ACB90,BCABcos30如图33中,当DAB90时,易证BACB30,BC2ABcos302如图34中,当DAB90时,易证:BCAB30,BC,综上所述,满足条件的BC的长为或或2或12(1)证明:如图1,延长MN、BC交于点E,四边形ABCD是矩形,ADBC,ADBC,ABC90,DNCE,DMNNEC,N是DC的中点,DNCN,DNMCNE(AAS),DMCE,BM平分ABC,ABC90,ABMMBE45,ADBC,AMBEBM45,BMD18045135,MN平分BMD,BMNDMN67.5,EDMN67.5,BMNE

27、67.5,BMBEBC+CEAD+DM;(2)解:如图2,当N与C重合时,由(1)知:BMCDMNBCM,BCBM,设ABx,则BMBCx,ADBC,DMxx,RtDMC中,tanMCD1;(3)解:如图3,延长MN、BC交于点G,四边形ABCD是矩形,CDAB6,CN2,DN4,ABM是等腰直角三角形,BM6,由(1)知:BMBG6,DMCG,DMNCGN,2,设CGm,则DM2m,66+2m+m,m22,BC6+2m2+413解:(1)过点D作DFAC于点F如图1中在RtABC中,ACB90,AB5,DFBC,AFDACB,AF,DF,CFACAF3,在RtCDF中,CFD90,CD(2)

28、当CPDE为菱形时,如图2中,连接BP交CD于O四边形PCED是菱形,PDPC,BDBC1,PB垂直平分线段CD,点E在直线PB上,CPO+PCO90,CPB+PBC90,PCOPBC,POCPCB,COPBCP,t(3)当0t时,如图3中,重叠部分是四边形PCEDStt当t3时,如图4中,重叠部分是四边形PCFDS(4+t)t+当t3时,如图 5中,重叠部分是四边形ACFD,S(4+3)综上所述,S(4)如图6中,当点D落在AB上时,延长CE交AB于O,易知OCAB,OCAO,ODOAAD,DEAC,DE,此时t,如图7中,当点D落在BC上时,延长DE交BC于F,作OMBC于M,ONCD于N

29、DCOOCB,ONCD,OMCB,ONOM,SDCBSCDO+SBCO,4ON+4OM,OM,OMAC,BM,CM,EFOM,可得EF,CPDE,此时t,综上所述,满足条件的t的值为s或s14解:(1)如图1中,四边形ABCD是矩形,ADBC,ADBC,B90,AEBDAFDFAE,AFD90BAFD90,又AEBC,AEAD,ABEDFA(AAS)如图1中,在RtABE中,B90,根据勾股定理,得 BE3,ABEDFA,DFABDC4,AFBE3AEBC5,EFEC2,四边形CDFE的周长2(DC+EC)2(4+2)12如图2中,过点F作FMBC于点MsinAEB,cosAEB,在RtFME

30、中,FMEF,MEEF,MCME+EC+2,在RtFMC中,tanFCE(2)如图31中,当DFDC时,则DFDCAB4AEBDAF,BAFD90,ABEDFA(AAS)AEAD5,由可知,BE3,当BE3时,CDF是等腰三角形(11分)如图32中,当CFCD时,过点C作CGDF,垂足为点H,交AD于点G,则CGAE,DHFHAGGD2.5CGAE,AGEC,四边形AECG是平行四边形,ECAG2.5,当BE2.5时,CDF是等腰三角形(13分)如图3中,当FCFD时,过点F作FQDC,垂足为点Q则ADFQBC,DQCQ,AFFEAEBAFD90,AEBDAF,ABEDFA,即ADBEAFAE

31、设BEx,5x,解得x12,x28(不符合题意,舍去)当BE2时,CDF是等腰三角形综上所述,当BE为3或2.5或2时,CDF是等腰三角形15解:()A(4,0),C(0,2),OA4,OC2,由旋转的性质得:OAOA4,四边形OABC是矩形,OCB90,OABC,在RtOCA中,OCOA,OAC30,OABC,AOAOAC30,即当点A首次落在BC上时,旋转角为30;()由矩形和旋转的性质得:OAOA4,ABABOC2,作BEBC于E,如图1所示:BCAO,OACAOA30,BAE60,BEsinBAEBB2,EAcosBAEBB21,ACcosOACOA42,CECAEA21,B的纵坐标为

32、:2+,点B的坐标为:(21,2+);()过点A作AFx轴于F,如图2所示:BAO90,AFBO,BO2,AFO90,AOFBOA,BAOAFO,即,解得:OF,AF,点A的坐标为(,)16(1)解:结论:真理由:如图11中,BADBCD90,A,B,C,D四点共圆,BD是O的直径,ACBD,AC也是O的直径,ADCABC90,四边形ABCD是矩形故答案为真(2)证明:如图2中,四边形ABCD是对直角四边形,DAB90,DB90,AD2+DC2AC2,AB2+BC2AC2,AD2+DC2AB2+BC2,AD+DCAB+BC(AD+DC)2(AB+BC)2,即:AD2+2ADDC+DC2AB2+

33、2ABBC+BC2,2ADDC2ABBC,ADDCABBC,即:SADCSABC(3)结论:四边形ECFD 是“对直角四边形”理由:如图3中,DE平分BDP,DF平分ADP,EDPBDP,FDPADP,EDF(BDP+ADP)90,C90,四边形ECFD是“对直角四边形”故答案为四边形ECFD如图3中,当OP2时,四边形DEPF是“对直角四边形”理由:在RtABC中,C90,BC8,AC6,AB10,BDAD5,DPAC,OBOC,ODAC3,OP2,DP5,PDFDFAADF,ADAF5,DPAF,DPAF,四边形ADPF是平行四边形,ADPF,DPDB,DEDE,EDBEDP,EDBEDP(SAS),DPEB,EPFDPE+DPFB+A90,EDF90,四边形DEPF是“对直角四边形”故答案为2