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2019年中考数学最后一轮复习分层专项(压轴训练):反比例函数(附解析)

1、最后一轮复习分层专项(压轴训练):反比例函数1某公司用100万元研发一种市场急需电子产品,已于当年投入生产并销售,已知生产这种电子产品的成本为4元/件,在销售过程中发现:每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示,其中AB为反比例函数图象的一部分,设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元)(1)请求出y(万件)与x(元/件)的函数表达式;(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)的函数表达式,并求出第一年年利润的最大值解:(1)当4x8时,设y,将A(4,40)代入得k440160,y与x之间的函数关系式为y;当8x28时,设ykx+b,将B(8,20),C

2、(28,0)代入得,解得,y与x之间的函数关系式为yx+28,综上所述,y;(2)当4x8时,s(x4)y160(x4)100+60,当4x8时,s随着x的增大而增大,当x8时,smax+6020;当8x28时,s(x4)y80(x4)(x+28)80(x100)2+44,当x16时,smax44;4420,当每件的销售价格定为16元时,第一年年利润的最大值为44万元2在平面直角坐标系xOy中,直线ykx+2与双曲线y的一个交点是A(m,3)(1)求m和k的值;(2)设点P是双曲线y上一点,直线AP与x轴交于点B若AB3PB,结合图象,直接写出点P的坐标解:(1)把点A(m,3)的再把代入y得

3、到m2,再把A(2,3)的再把代入ykx+2,32k+2,解得k,所以m2,k(2)当点P在第四象限时,如图1,作AEx轴于E,PFx轴于F,AEPF,3,3,PF1,P(6,1)当点P在第一象限时,如图2,作AEx轴于E,PFx轴于F,AEPF,3,3,PF1,P(6,1),综上所述,满足条件的点P坐标为(6,1)或(6,1)3在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y的图象经过点P(3,4)(1)求k的值;(2)求OP的长;(3)直线ymx(m0)与反比例函数的图象有两个交点A,B,若AB10,直接写出m的取值范围解:(1)反比例函数的图象经过点P(3,4),k12,(2)过点P作PEx轴于点

4、E点P(3,4),OE3,PE4在RtEOP中,由勾股定理可求OP5;(3)由(2)可知,当A(3,4),B(3,4)或A(4,3),B(4,3)时,AB10,m或m若AB10,则或4有红、黄两个布袋,红布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字2和4黄布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字2,4和6小贤先从红布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从黄布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点M的一个坐标为(xy)(1)用列表或画树状图的方法写出点M的所有可能坐标;(2)求点M落在双曲线y上的概率解:(1)画树状图得:点M的所有可能坐标为:(2,2),(2,4),(2

5、,6),(4,2),(4,4),(4,6);(2)点M落在双曲线y上的有(2,4)与(4,2),点M落在双曲线y上的概率为:5如图,直线yx+b与反比例函数y的图形交于A(a,4)和B(4,1)两点(1)求b,k的值;(2)若点C(x,y)也在反比例函数y(x0)的图象上,求当2x6时,函数值y的取值范围;(3)将直线yx+b向下平移m个单位,当直线与双曲线没有交点时,求m的取值范围解:(1)直线 yx+b 过点 B(4,1),14+b,解得 b5,反比例函数y的图象过点 B(4,1),k4;(2)k40,当 x0 时,y 随 x 值增大而减小,当 2x6 时,y2;(3)将直线 yx+5 向

6、下平移 m 个单位后解析式为 yx+5m,设直线 yx+5m 与双曲线y只有一个交点,令x+5m,整理得 x2+(m5)x+40,(m5)2160,解得 m9 或 1直线与双曲线没有交点时,1m96如图所示,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB的一条边OB在x轴的正半轴上,点A在双曲线y(k0)上,其中点B为(2,0)(1)求k的值及点A的坐标(2)OAB沿直线OA平移,当点B恰好在双曲线上时,求平移后点A的对应点A的坐标解:(1)过A点作ACOB于C,OAB是等边三角形,点B为(2,0),OAABOB2,OC1,AC,A(1,),k1,(2)A(1,),直线OA为yxOAB沿直线OA平移,B

7、BOA,设直线BB解析式为yx+b,把B(2,0)代入得,02+b,b2,直线BB解析式为yx2,解方程组得或,平移后的点A的坐标为(,)或(,)7某数学兴趣小组对函数y的图象和性质进行探究,他们用描点法画此函数图象时,先列表如下(1)请补全此表;(2)根据表中数据,在如图坐标系中画出该函数的图象;(3)请写出此函数图象不同方面的三个性质;(4)若点(m,y1),(2,y2)都在此函数图象上,且y1y2,求m的取值范围x432101234y242解:(1)如下表:x432101234y242(2)如图所示:(3)函数值y0,当x0时,y随x的增大而减小;当x0时,y随x的增大而增大;图象的对称

8、轴是y轴;(4)由图象可知,若点(m,y1),(2,y2)都在此函数图象上,且y1y2,m的取值范围是x2或x28如图,在平面直角坐标系xOy中,直线ykx+k与双曲线y(x0)交于点A(1,a)(1)求a,k的值;(2)已知直线l过点D(2,0)且平行于直线ykx+k,点P(m,n)(m3)是直线l上一动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线,交双曲线y(x0)于点M、N,双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域(不含边界)记为W横、纵坐标都是整数的点叫做整点当m4时,直接写出区域W内的整点个数;若区域W内的整点个数不超过8个,结合图象,求m的取值范围解:(1)点A(1,a)在双曲

9、线y上,a4,点A的坐标为(1,4),将A(1,4)代入ykx+k,得:k+k4,k2(2)直线l过点D(2,0)且平行于直线y2x+2,直线l的解析式为y2x4当m4时,n2m44,点P的坐标为(4,4)依照题意画出图象,如图1所示观察图形,可知:区域W内的整点个数是3如图2所示:当2x24时,即x4,此时线段PM和PN上有5个整点;当2x25时,即x4.5,此时线段PM上有整点观察图形,可知:若区域W内的整点个数不超过8个,m的取值范围为4m4.59如图所示,反比例函数在第一象限内分支上有一动点A,连接AO并延长与另一分支交于点B,以AB为边作一个等边ABC,使得点C落在第四象限内(1)当

10、BC平行x轴时,试求出点C的坐标;(2)在点A运动过程中,直接写出ABC面积的最小值18;(3)在点C的运动路径上是否存在点D,使得以A、B、C、D四个点构成的四边形为菱形?如果存在,请求出一个点D的坐标;如果不存在,请说明理由解:(1)过点A作AEx轴于点E,如图1所示BCx轴,ABC为等边三角形,AOEABC60,AEOE又点A在反比例函数的图象上,AEOE3,OE,AE3,点A的坐标为(,3)点A,B关于原点O对称,点B的坐标为(,3)点B,C关于直线x对称,点C的坐标为(3,3)(2)ABC为等边三角形,SABCABABAB2设点A的坐标为(x,),则点B的坐标为(x,),AB2(xx

11、)2+()2(2x)2+()2(2x)2+22x(2x)20,AB222x24,SABCAB218故答案为:18(3)过点A作AFx轴于点F,过点C作CMx轴于点M,连接CO,如图2所示COM+AOF90,OAF+AOF90,COMOAF又CMOOFA90,COMOAF,CMOF,OMAF又OFAF3,CMOM9,点C在函数y(x0)的图象上当BCx轴时,如图3所示由(1)得:点A的坐标为(,3),点B的坐标为(,3),点C的坐标为(3,3)四边形ABDC为菱形,点D的坐标为(+3,333),即(,9)(9)9,存在点D(,9),使得以A、B、C、D四个点构成的四边形为菱形;当ACx轴时,如图

12、4所示ABC为等边三角形,BAC60同(1)可得出:点A的坐标为(3,),点B的坐标为(3,),点C的坐标为(3,3)四边形ABCD为菱形,点D的坐标为(3+3(3),3(),即(9,)9()9,存在点D(9,),使得以A、B、C、D四个点构成的四边形为菱形(写出一个点的坐标即可)10如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y与y(x0,0mn)的图象上,对角线BDy轴,且BDAC于点P已知点B的横坐标为4(1)当m4,n20时若点P的纵坐标为2,求点A和点B的坐标若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关

13、系;若不能,试说明理由解:(1)当x4时,y1,点B的坐标为(4,1);当y2时,2,解得:x2,点A的坐标为(2,2)四边形ABCD为菱形,理由如下:由得:点B的坐标为(4,1),点D的坐标为(4,5),点P为线段BD的中点,点P的坐标为(4,3)当y3时,3,解得:x,点A的坐标为(,3);当y3时,3,解得:x,点C的坐标为(,3)PA4,PC4,PAPCPBPD,四边形ABCD为平行四边形又BDAC,四边形ABCD为菱形(2)四边形ABCD能成为正方形当四边形ABCD为正方形时,设PAPBPCPDt(t0)当x4时,y,点B的坐标为(4,),点A的坐标为(4t, +t)点A在反比例函数

14、y的图象上,(4t)(+t)m,化简得:t4,点D的纵坐标为+2t+2(4)8,点D的坐标为(4,8),4(8)n,整理,得:m+n32即四边形ABCD能成为正方形,此时m+n3211如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BCy轴,垂足为点C,连结AB,AC(1)求该反比例函数的解析式;(2)若ABC的面积为6,求B点的坐标解:(1)由题意得,kxy236反比例函数的解析式为:(2)设B点坐标为(a,b),如图,作ADBC于D,则D(2,b),反比例函数的图象经过点B(a,b)解得a6B(6,1)12在平面直角坐标系xOy中,直线l:ykx+b(k0)与反

15、比例函数y的图象的一个交点为M(1,m)(1)求m的值;(2)直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B,连接OM,设AOB的面积为S1,MOB的面积为S2,若S13S2,求k的取值范围解:(1)M(1,m)在反比例函数y的图象上,m4;(2)由题意得OA3,当直线ykx+b经过(3,0),(1,4)时,解得k2,当直线ykx+b经过(3,0),(1,4)时,解得k1,若S13S2,求k的取值范围是2k0或0k113如图,已知直线yx+b与y轴交于点B(0,3),与反比例函数y(x0)的图象交于点A,与x轴交于点C,BC3AC(1)求反比例函数的解析式;(2)若P是y轴上一动点,M是直线AB上方的反

16、比例函数y(x0)的图象上一动点,直线MNx轴交直线AB于点N,求PMN面积的最大值解:(1)直线与y轴交于点B(0,3),b3,直线为y3,作ADx轴于D,ADOB,点B(0,3),BC3AC,AD1,把y1代入y3得,13,解得x8,A(8,1),反比例函数y(x0)的图象经过点A,k818,反比例函数的解析式为y;(2)设M(x,),则N(x, x3),MN+3,SPMN(+3)xx2+x+4(x3)2+,0,PMN面积的最大值是14如图,在平面直角坐标系中,一次函数yax+b的图象与反比例函数y(k为常数,k0)的图象交于二、四象限内的A、B两点,与y轴交于C点点A的坐标为(m,3),

17、点B与点A关于yx成轴对称,tanAOC(1)求k的值;(2)直接写出点B的坐标,并求直线AB的解析式;(3)P是y轴上一点,且SPBC2SAOB,求点P的坐标解:(1)作ADy轴于D,点A的坐标为(m,3),OD3,tanAOC,即,AD1,A(1,3),在反比例函数y(k为常数,k0)的图象上,k133;(2)点B与点A关于yx成轴对称,B(3,1),A、B在一次函数yax+b的图象上,解得,直线AB的解析式为yx+2;(3)连接OC,由直线AB为yx+2可知,C(0,2),SAOBSAOC+SBOC21+234,P是y轴上一点,设P(0,t),SPBC|t2|3|t2|,SPBC2SAO

18、B,|t2|24,t或t,P点的坐标为(0,)或(0,)15如图,横坐标为1的点A在反比例函数y上(x0)的图象上,将线段AO绕着点A逆时针旋转90得到线段AB,且点B也落在反比例函数y(x0)的图象上(1)求反比例函数的解析式;(2)求线段AO扫过的面积解:(1)过A作AEx轴,过B作BDAE,OAB90,OAE+BAD90,AOE+OAE90,BADAOE,在AOE和BAD中, ,AOEBAD(AAS),AEBDm,OEAD1,DEm1,OE+BDm+1,则B(m+1,m1);A与B都在反比例图象上,得到m(m+1)(m1),解得:m(负值舍去),A(1,),k反比例函数的解析式为:;(2)OE1,AE,OA,线段AO扫过的面积