1、2018-2019学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（3，1）2（5分）若abc，则下列结论中正确的是（）Aa|c|b|c|BabbcCacbcD3（5分）在等差数列an中，a533，公差d3，则201是该数列的第（）项A60B61C62D634（5分）已知ABC中，a1，b2，则角B等于（）A30 B60或120C120D905（5分）等比数列an中，a
2、66，a99，则a3等于（）A4BCD26（5分）已知变量x，y满足约束条件则z2x+y的最大值为（）A1B2C3D47（5分）已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为（）ABC2D38（5分）已知，为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（）ABCD9（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为（）A8B4C4D410（5分）已知ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列则ABC是（）A直角三角形B等边三角形C锐角三角形D钝角三角形11（5分）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用
3、篱笆最短，最短的篱笆是（）A30B36C40D5012（5分）在ABC中，AB3，AC2，BAC60，点P是ABC内一点（含边界），若，则|的取值范围为（）A2，B2，C0，D2，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若向量（1，1）与（，2）的夹角为钝角或平角，则的取值范围是 14（5分）设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是 15（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD &nbs
4、p; m16（5分）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2且（2+b）（sinAsinB）（cb）sinC，则ABC面积的最大值为 三、解答题（本大题6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为120，求18（12分）关于x的不等式ax2+bx+20的解集为x|1x2，（1）求a，b的值；（2）求关于x的不等式bx2ax20的解集19（12分）已知Sn是等差数列an的前n项和，且，（1）求数列an的通项公式；（2）n为何值时，Sn取得最大值并求其最大值20（12分）如图，在直三棱柱ADFB
5、CE中，ABBCBE2，（1）求证：AC平面BDE；（2）若点K在线段BE上，且，求三棱锥KBDF的体积21（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足（1）求角A的大小；（2）若D为BC上一点，且，求a22（12分）已知数列an满足a1a（a0，且a1），其前n项和Sn（1an）（1）求证：an为等比数列；（2）记bnanlg|an|（nN*），Tn为数列bn的前n项和，那么：当a2时，求Tn；当a时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有bnbm如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由2018-2019学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本
6、大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（3，1）【分析】利用向量的加减法的运算法则求解即可【解答】解：点A（0，1），B（3，2），向量（0，1）（3，2）（3，1）故选：A【点评】本题考查向量的坐标运算，是基本知识的考查2（5分）若abc，则下列结论中正确的是（）Aa|c|b|c|BabbcCacbcD【分析】由已知中abc，结合不等式的基本性质，逐一分析四个不等式的正误，可得答案【解答】解：abc，当c0时，a|c|b|c|不成立，故A错误；当b0
7、时，abbc不成立，故B错误；acbc一定成立，故C正确；当a，b，c异号时，不成立，故D错误；故选：C【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质，难度不大，属于基础题3（5分）在等差数列an中，a533，公差d3，则201是该数列的第（）项A60B61C62D63【分析】由题意易得通项公式，令其等于201解n值可得【解答】解：由题意可得等差数列an的通项公式ana5+（n5）d33+3（n5）3n+18，令an3n+18201可得n61故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题4（5分）已知ABC中，a1，b2，则角B等于（）A30
8、B60或120C120D90【分析】直接利用正弦定理和特殊角的三角函数值求出结果【解答】解：ABC中，a1，b2，利用正弦定理，解得sinB1由于0B，故：B即B90故选：D【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的值的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型5（5分）等比数列an中，a66，a99，则a3等于（）A4BCD2【分析】在等比数列an中，若m，n，p，qN*，则amanapaq借助这个公式能够求出a3的值【解答】解：3+96+6，4故选：A【点评】本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比数列通项公式的灵活运用6（5分）已知变量x，y满足约束条件则z2
9、x+y的最大值为（）A1B2C3D4【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（1，2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选：B【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题7（5分）已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为（）ABC2D3【分析】设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得r，即可求出
10、该圆锥内切球的表面积【解答】解：设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得，r，该圆锥内切球的表面积为2，故选：C【点评】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键8（5分）已知，为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（）ABCD【分析】利用两个向量的数量积公式，以及两个向量的夹角公式，求得与的夹角的余弦值，可得与的夹角【解答】解：已知，为单位向量，与的夹角为，设与的夹角为，0，则cos，故选：B【点评】本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量的数量积公式，属于基础题9（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为（）A
11、8B4C4D4【分析】由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形据此即可得出体积【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形因此，故选：B【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键10（5分）已知ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列则ABC是（）A直角三角形B等边三角形C锐角三角形D钝角三角形【分析】依题意，可知B60，利用余弦定理b2a2+c22accosB结合边a、b、c依次成等比数列即可判断ABC的形状【解答】解：ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，A+C2B，又A+B+
12、C180，B60又边a、b、c依次成等比数列，b2ac，在ABC中，由余弦定理得：b2a2+c22accosBa2+c22accos60，a2+c22accos60ac，（ac）20，ac，AC，又B60，ABC为等边三角形故选：B【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理与等差数列与等比数列的概念及其应用，属于中档题11（5分）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）A30B36C40D50【分析】设矩形的长为xm，则宽为m （x0），所用篱笆为ym，求出y关于x的函数，利用基本不等式求出y的最小值，并求出此时的x【解答】解
13、：设矩形的长为xm，则宽为m （x0），所用篱笆为ym，则y2（x+），x0，y2（x+）2240，当且仅当x10不等式取“”ymin40故选：C【点评】本题考查了基本不等式的应用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题12（5分）在ABC中，AB3，AC2，BAC60，点P是ABC内一点（含边界），若，则|的取值范围为（）A2，B2，C0，D2，【分析】在AB上取一点D，使得过D，作DHAC，交AC于H，可得点P在线段DH上，当P在D处时，|最小为；当P在H处时，|最大，且B，P，C共线，即可得|的取值范围【解答】解：在AB上取一点D，使得过D，作DHAC，交AC于H
14、，且点P是ABC内一点（含边界），点P在线段DH上当P在D处时，|最小为，当P在H处时，|最大，且B，P，C共线，则|的取值范围为2，故选：D【点评】本题考查了向量的线性运算，向量的模运算，考查了转化思想，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若向量（1，1）与（，2）的夹角为钝角或平角，则的取值范围是（，2）【分析】根据与的夹角为钝角和平角即可得出，从而解出的范围即可【解答】解：的夹角为钝角或平角；2；的取值范围是（，2）故答案为：（，2）【点评】考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，以及向量数量积的坐标运算14（5分）设a0，b0，若是3a与3b的等比
15、中项，则+的最小值是4【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的范围，求得答案【解答】解：是3a与3b的等比中项3a3b3a+b3a+b1ab（当ab时等号成立）+4故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用使用基本不等式时要注意等号成立的条件15（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD100m【分析】设此山高h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC
16、中利用正弦定理求得h【解答】解：设此山高h（m），则BCh，在ABC中，BAC30，CBA105，BCA45，AB600根据正弦定理得，解得h100（m）故答案为：100【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解16（5分）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2且（2+b）（sinAsinB）（cb）sinC，则ABC面积的最大值为【分析】由正弦定理化简已知可得2ab2c2bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc4，再利用三角形面积公式即可计算得
17、解【解答】解：因为：（2+b）（sinAsinB）（cb）sinC（2+b）（ab）（cb）c2a2b+abb2c2bc，又因为：a2，所以：，ABC面积，而b2+c2a2bcb2+c2bca2b2+c2bc4bc4所以：，即ABC面积的最大值为故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题（本大题6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为120，求【分析】（1）利用向量共线定理、数量积运算性质即可得出（2）利用数量积运算性
18、质即可的【解答】解：（1），与共线的单位向量为，或（2），【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）关于x的不等式ax2+bx+20的解集为x|1x2，（1）求a，b的值；（2）求关于x的不等式bx2ax20的解集【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b的值；（2）把a、b的值代入不等式，求出解集即可【解答】解：（1）关于x的不等式ax2+bx+20的解集为x|1x2，a0，且1和2是方程ax2+bx+20的两实数根，由根与系数的关系知，解得a1，b1；（2）由（1）知，a1、b1时，不等式bx2ax
19、20为x2+x20，即（x+2）（x1）0，解x2或x1，不等式ax2+bx+20的解集是x|x2或x1【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题19（12分）已知Sn是等差数列an的前n项和，且，（1）求数列an的通项公式；（2）n为何值时，Sn取得最大值并求其最大值【分析】（1）分类讨论，当n2时，anSnSn1，即可求得数列an的通项公式；（2）根据二次函数的性质，即可求得Sn的最大值【解答】解：（1）由题意可知：，当n1时，a1S12+1513，当n2时，anSnSn1（2n2+15n）2（n1）2+15（n1）174n，当n1时，显然成立，数列an的通项公式an174
20、n；（2）Sn2n2+15n2（n2n+），2（n）2+，由nN*，则n4时，Sn取得最大值28，当n为4时，Sn取得最大值，最大值28【点评】本题考查数列通项公式的求法，考查二次函数的性质，等差数列前n项和的最值的求法，考查计算能力，属于中档题20（12分）如图，在直三棱柱ADFBCE中，ABBCBE2，（1）求证：AC平面BDE；（2）若点K在线段BE上，且，求三棱锥KBDF的体积【分析】（1）证明ABBE，ABBC，推出BEBC即可证明BE平面ABCD，推出BEAC然后证明AC平面BDE（2）通过VKBDFVDKBF，转化求解即可【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ADFBCE中，AB平面
21、BCE，所以ABBE，ABBC，又ABBCBE2，CE2，所以BC2+BE2CE2，且ACBD，所以BEBC因为ABBCB，所以BE平面ABCD，因为AC平面ABCD，所以BEAC因为BDBEB，所以AC平面BDE（2）由（1）可得，AD平面ABEF，因为ABBCBE2，EK，所以SKBF2，所以VKBDFVDKBFSKBFDA2【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力21（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足（1）求角A的大小；（2）若D为BC上一点，且，求a【分析】（1）由题意根据正弦定理求得（2sinCsinB）co
22、sAsinAcosB，由A（B+C），根据诱导公式及两角和正弦公式，即可求得A的值；（2）过D作DEAB于E，则ADE中，EDAC1，DEA，由余弦定理可知ABC为直角三角形，aBC3【解答】解：（1）由，则（2cb）cosAacosB，由正弦定理可知：2R，则a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，（2sinCsinB）cosAsinAcosB，整理得：2sinCcosAsinBcosAsinAcosB，由A（B+C），则sinAsin（B+C）sin（B+C），即2sinCcosAsin（A+B）sinC，由sinC0，则cosC，即A，角A的大小；（2）过D作DEAC于E则ADE
23、中，EDAC1，DEA，由余弦定理可知AD2AE2+ED22AEEDcos，又AC3，A，则ABC为直角三角形，aBC3，a的值为3【点评】本题考查正弦定理的即余弦定理的应用，考查两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题22（12分）已知数列an满足a1a（a0，且a1），其前n项和Sn（1an）（1）求证：an为等比数列；（2）记bnanlg|an|（nN*），Tn为数列bn的前n项和，那么：当a2时，求Tn；当a时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有bnbm如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由【分析】（1）利用ansnsn1得到整理得a，所以：an为等比数列；（2）根据（
24、1）anan化简得bn当a2时，Tn（2+222+n2n）lg2，2Tn22+223+（n1）2n+n2n+1lg2，两式相减得到Tn；如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数b2k+2b2k2a2k（a21）（k）lg|a|，其中kN+，判断b2k+2b2k的符号来求出m即可【解答】解：（1）当n2时，anSnSn1（1an1），整理得：a，所以an是公比为a的等比数列；（2）a1a，anan（nN*），bnanlg|an|anlg|an|nanlg|a|（nN*），当a2时，Tn（2+222+n2n）lg2，2Tn22+223+（n1）2n+n2n+1lg2，两式相减得：Tn（2+22+23+2nn2n+1）lg2，1a1，当n为偶数时，bnnanlg|a|0；当n为奇数时，bnnanlg|a|0，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数，又b2k+2b2k2a2k（a21）（k）lg|a|，其中kN*，当a时，a21，2a2k（a21）lg|a|0，又，当k时，b2k+2b2k，即bgb10b12；当k时，b2k+2b2k，即b8b6b4b2，故存在正整数m8，使得对于任意正整数n都有bnbm【点评】考查学生会确定等比关系的能力，运用数列求和的能力