1、2018-2019学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在ABC中，a3，b5，sinA，则sinB（）ABCD12（5分）若（1，2），（1，0）则与夹角的余弦值为（）ABCD13（5分）在等差数列an中，a1+a7+a13，则cos（a2+a12）的值（）ABCD4（5分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C，a+bl2，面积的最大值为（）A6B8C7D95（5分）设向量，满足|+|，|，则（）A1B2C3D56（5分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥CA
2、BD的外接球表面积为（）A8B12C16D47（5分）若0，则下列不等式中不正确的是（）Aa+babB+2Cabb2Da2b28（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数zx2y的最小值为（）A4B5C6D89（5分）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）A8B2CD410（5分）已知an为递增等比数列a4+a75，a5a66则a1+a10（）AB5C6D11（5分）在ABC中，则ABC是（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或直角三角形12（5分）已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
3、的最小值是（）A2BC3D6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）正项等比数列an中a11，a32，则公比q 14（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 15（5分）在ABC中，点M，N满足2，若x+y，则x ，y 16（5分）如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1h，若将圆锥形容器倒置，水面高为h，则h等于 （用含有h的代数式表示）三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知平面向量（1，x），（2x+3，x）（xR）（1）若，求x
4、的值； （2）若，求|18（12分）已知数列an的前n项和Sn，且Snn2+3n；（1）求它的通项an（2）若bn2n1an，求数bn的前n项和Tn19（12分）设函数f（x）mx2mx2（1）若对于一切实数x，f（x）0恒成立，求m的取值范围；（2）若对于x1，3，f（x）m+2（x1）恒成立，求m的取值范围20（12分）如图ABC中，ACBCAB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点（1）求证：GF平面ABC；（2）求证：平面EBC平面ACD；（3）求几何体ADEBC的体积V21（12分）如图，在ABC中，点D在边AB上，CDBC，AC5
5、，CD5，BD2AD（1）求cosADC的值；（2）求ABC的面积22（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足（1）求|的值；（2）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），x0，f（x）（2m+），若f（x）的最小值为g（m），求g（m）的最大值2018-2019学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在ABC中，a3，b5，sinA，则sinB（）ABCD1【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值【解答
6、】解：a3，b5，sinA，由正弦定理得：sinB故选：B【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键2（5分）若（1，2），（1，0）则与夹角的余弦值为（）ABCD1【分析】根据向量的坐标即可求出，从而可求出向量与夹角的余弦值【解答】解：；故选：A【点评】考查根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式3（5分）在等差数列an中，a1+a7+a13，则cos（a2+a12）的值（）ABCD【分析】由等差数列中项的性质，可得a1+a132a7，求得a7，再由a2+a122a7，结合特殊角的余弦函数值，即可得到所求值【解答】解：等差数列an中，a1
7、+a7+a13，由a1+a132a7，可得3a7，即a7，可得，故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，考查三角函数的求值，正确运用等差数列的中项性质是解题的关键，属于基础题4（5分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C，a+bl2，面积的最大值为（）A6B8C7D9【分析】由已知利用基本不等式可求ab的最大值，根据三角形的面积公式即可求解【解答】解：a+bl22，可得：ab36，当且仅当ab时等号成立；又C，SABCabsinC9，当且仅当ab时等号成立，故三角形的面积的最大值为9故选：D【点评】本题主要考查了基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基
8、础题5（5分）设向量，满足|+|，|，则（）A1B2C3D5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论【解答】解：|+|，|，分别平方得+2+10，2+6，两式相减得41064，即1，故选：A【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础6（5分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥CABD的外接球表面积为（）A8B12C16D4【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥CABD的外接球直径，从而求出外接球的表面积【解答】解：将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥CABD，如图所示：则BCCD，BAAD，OAOBOCOD，三棱锥
9、CABD的外接球直径为BD2，外接球的表面积为4R2（2）28故选：A【点评】本题考查了平面图形的折叠问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目7（5分）若0，则下列不等式中不正确的是（）Aa+babB+2Cabb2Da2b2【分析】根据不等式性质进行判断即可【解答】解：若0，则ba0，则a2b2，其余不正确，故选：D【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据倒数的性质求出a，b的关系是解决本题的关键比较基础8（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数zx2y的最小值为（）A4B5C6D8【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z对应的直线进行平移，
10、可得当x0且y4时，目标函数取得最小值为8【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（0，4），B（1，3），C（2，4）设zF（x，y）x2y，将直线l：zx2y进行平移，观察可得：当l经过点A时，目标函数z达到最小值z最小值F（0，4）8故选：D【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题9（5分）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）A8B2CD4【分析】根据题意，得出该几何体左视图的高和宽的长度，
11、求出它的面积即可【解答】解：根据题意，该几何体左视图的高是正视图的高，为4，左视图的宽是俯视图三角形底边上的高，为4sin602；所以该几何体的左视图的面积为428故选：A【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目10（5分）已知an为递增等比数列a4+a75，a5a66则a1+a10（）AB5C6D【分析】根据题意，设等比数列an的公比为q，分析可得a4a76，又由a4+a75，解可得a42，a73以及q3的值，又由a1+a10+a7q3，计算可得答案【解答】解：根据题意，等比数列an中，设其公比为q，若a5a66，则有a4a76，又由a4+a75，且a4a7，解可得：a42，
12、a73，则q3，则a1+a10+a7q3+3；故选：D【点评】本题考查等比数列的性质以及应用，属于基础题11（5分）在ABC中，则ABC是（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或直角三角形【分析】先根据正余弦定理进行化简得到a，然后进行整理可得到a2b2+c2，即可判断三角形的形状【解答】解：应用正弦定理、余弦定理，可得a，b（a2b2）+c（a2c2）bc（b+c）（b+c）a2（b3+c3）+bc（b+c）a2b2bc+c2+bca2b2+c2ABC是直角三角形故选：C【点评】本题主要考查正余弦定理的应用考查考生的计算能力和对基础知识的灵活运用能力12（5分）已知ABC是边长为4的
13、等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A2BC3D6 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用坐标法结合平面向量数量积的定义，求最小值即可【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，2），B（2，0），C（2，0），设P（x，y），则（x，2y），（2x，y），（2x，y），所以（+）x（2x）+（2y）（2y）2x24y+2y22x2+2（y）23；所以当x0，y时，（+）取得最小值为2（3）6故选：D【点评】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分
14、）正项等比数列an中a11，a32，则公比q【分析】根据题意，由等比数列的性质可得q22，进而分析可得答案【解答】解：根据题意，等比数列an中a11，a32，则q22，又由an是正项等比数列，则q；故答案为：【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意an是正项等比数列，属于基础题14（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是2+【分析】根据斜二测化法规则画出原平面图形，即可求出其面积【解答】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，这个平面图形的面积故答案为【点评】由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则正
15、确画出原平面图形是解题的关键15（5分）在ABC中，点M，N满足2，若x+y，则x，y【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值【解答】解：由已知得到；由平面向量基本定理，得到x，y；故答案为：【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立16（5分）如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1h，若将圆锥形容器倒置，水面高为h，则h等于h（用含有h的代数式表示）【分析】根据水的体积不变，列方程解出h2的值【解答】解：设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为S，水的体积
16、VShS（hh1）Sh；设倒置后液面面积为S，则（）2，S；水的体积为VSh2；Sh，解得h2h故答案为：h【点评】本题考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的体积计算问题，是中档题三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知平面向量（1，x），（2x+3，x）（xR）（1）若，求x的值； （2）若，求|【分析】（1）由，0，我们易构造一个关于x的方程，解方程即可求出满足条件的x的值（2）若，根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，构造一个关于x的方程，解方程求出x的值后，分类讨论后，即可得到|【解答】解：（1），（1，x）（2x+3，x）2x+3x20整理
17、得：x22x30解得：x1，或x3（2）1（x）x（2x+3）0即x（2x+4）0解得x2，或x0当x2时，（1，2），（1，2）（2，4）|2当x0时，（1，0），（3，0）（2，0）|2故|的值为2或2【点评】本题考查的知识是数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，平行向量与共线向量，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键18（12分）已知数列an的前n项和Sn，且Snn2+3n；（1）求它的通项an（2）若bn2n1an，求数bn的前n项和Tn【分析】（1）当n1时，a1s1，当n2时，ansnsn1，即可求解（2）错位相
18、减法求和【解答】解：（1）Snn2+3n；当n1时，a1S14当n2时，anSnSn12n+2经检验，a14满足an2n+2an2n+2（2）可得Tn221+322+（n+1）2n2Tn222+323+n2n+（n+1）2n+1，两式相减可得Tn4+22+23+2n（n+1）2n+1n2n+1Tnn2n+1【点评】本题考查了数列的递推式、错位相减法求和，属于中档题19（12分）设函数f（x）mx2mx2（1）若对于一切实数x，f（x）0恒成立，求m的取值范围；（2）若对于x1，3，f（x）m+2（x1）恒成立，求m的取值范围【分析】（1）由mx2mx20恒成立，结合二次函数的性质进行分类讨论即
19、可求解；（2）要使f（x）m+2（x1）在x1，3恒成立，只要m，结合恒成立与最值求解的相互转化即可求【解答】解：（1）要使得mx2mx20恒成立，若m0，显然20成立，若m0，只要，解可得，8m0，综上可得，m的范围（8，0；（2）要使f（x）m+2（x1）在x1，3恒成立，只要mx2mx22x恒成立，m（x2x+1）2x，0，只要mx，当且仅当x即x1时取等号，x1，3，m2【点评】本题主要考查了含有参数的不等式的恒成立与最值求解的相互转化，体现了分类讨论思想的应用20（12分）如图ABC中，ACBCAB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED平面ABC，若G、F分别是EC、BD的
20、中点（1）求证：GF平面ABC；（2）求证：平面EBC平面ACD；（3）求几何体ADEBC的体积V【分析】（1）取BE的中点H，连接HF，GH通过证明GF所在的平面HGF，平面HGF平面ABC然后说明GF平面ABC；（2）通过证明AC平面BCE，AC平面ACD，然后证明平面EBC平面ACD；（3）取AB的中点N，连接CN，说明CN平面ABED，求出底面面积，即可求解几何体ADEBC的体积V【解答】解：（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GHG，F分别是EC和BD的中点，HGBC，HFDE又四边形ADEB为正方形，DEAB，从而HFABHF平面ABC，HG平面ABC平面HGF平面ABCG
21、F平面ABC（2）证明：ADEB为正方形，EBAB又平面ABED平面ABC，BE平面ABCBEAC又CA2+CB2AB2，ACBCAC平面BCE从而平面EBC平面ACD（3）取AB的中点N，连接CN，ACBC，CNAB，且CNABa又平面ABED平面ABC，CN平面ABEDCABED是四棱锥，VCABEDSABEDCNa2aa3【点评】本题考查直线与平面平行平面与平面垂直，几何体的体积的求法，考查空间想象能力转化思想以及计算能力21（12分）如图，在ABC中，点D在边AB上，CDBC，AC5，CD5，BD2AD（1）求cosADC的值；（2）求ABC的面积【分析】（1）假设ADx，分别在ACD
22、和ABC中使用余弦定理计算cosA，列方程解出x，由余弦定理可求cosADC的值（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算即可得解【解答】解：（1）设ADx，则BD2x，BC在ACD中，由余弦定理得cosA，在ABC中，由余弦定理得cosA，解得x5AD5由余弦定理可得cosADC（2）由（1）知AB3AD15，cosA，sinASABCACABsinA【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题22（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足（1）求|的值；（2）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），x0，f（
23、x）（2m+），若f（x）的最小值为g（m），求g（m）的最大值【分析】（1）由已知得：，所以进行向量运算可得，继而可得结果；（2）f（x）1+（cosxm）2+1m2，对m进行讨论，求得不同情况下的最小值，写成关于m的函数式g（m），继而可以求得结果【解答】解：（1）由已知得：，；（2）f（x）1+（cosxm）2+1m2，x，cosx0，1，当m0时，当cosx0时，f（x）取得最小值g（m）1；当0m1时，当cosxm时，f（x）取得最小值g（m）1m2；当m1时，当cosx1时，f（x）取得最小值g（m）22m，综上所述，g（m），g（m）的最大值为1【点评】本题考查三角函数和向量的综合，属于较难题目