1、2018-2019学年四川省广安市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）tan15（）A2B2+C32D3+22（5分）在等差数列an中，a12，a3+a510，则a7（）A5B8C10D143（5分）sin20cos40cos160sin40（）ABCsin20Dcos204（5分）已知，则zx2y的最小值为（）A2B0C2D45（5分）已知数列1，x，y，9是等差数列，数列1，a，b，c，9是等比数列，则（）ABCD6（5分）若cos（），则sin2（）ABCD7（5分）若三棱锥PABC中
2、，PAPB，PBPC，PCPA，且PA1，PB2，PC3，则该三棱锥外接球的表面积为（）AB14C28D568（5分）已知yf（x）是偶函数，且x0时f（x）x+若当x3，1时，f（x）的最大值为m，最小值为n，则mn（）A2B1C3D9（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A12BCD1610（5分）已知点A（1，2）在直线ax+by10（a0，b0）上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式m2+8m成立，则实数m的取值范围是（）A（，19，+）B（，91，+）C1，9D9，111（5分）若函数f（x）sinxcosxcos2x+（xR）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长
3、到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数yg（x）的图象，则函数yg（x）在区间2，4内的所有零点之和为（）ABC3D412（5分）已知数列an满足3an+1+an4（n1），且a19，其前n项之和为Sn，则满足不等式的最小正整数n是（）A6B7C8D9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在ABC中，已知a，b3，B，则角C 14（5分）已知数列an满足a11，an+1，nN*，则a2019 15（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，P为棱B1C1上一点，则异面直线MP与CN所成角的大小为 &nb
4、sp; 16（5分）给出以下四个结论：平行于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若a，是两个平面：m，n是异面直线：且m，n，m，n，则若三棱锥ABCD中，ABCD，ACBD，则点B在平面ACD内的射影，是ACD的垂心；其中错误结论的序号为 （要求填上所有错误结论的序号）三、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设f（x）（m+1）x2mx+m1（1）当m1时，解关于x的不等式f（x）0：（2）若关于x的不等式f（x）m0的解集为（1，2），求m的值18（12分）设Sn为等差数列an的前n项和，已知a35，S3
5、12（1）求数列an的通项公式：（2）令，且数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn19（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，点M，N分別为BC，PA的中点，且PAAD2，AB1，AC（1）证明：MN平面PCD；（2）求直线MN与平面PAD所成角的余弦值20（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且asinBbcos（A）（1）求角A的大小；（2）若a，b+c3，求ABC的面积21（12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产该款手机x（x40）万部且并全部销售完，每万部的收入为
6、R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部的函数关系式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润22（12分）设数列an的前n项和为Sn，且Sn（1）求数列an的通项公式；（2）若，Tn为数列bn的前项和，求Tn；（3）在（2）的条件下，是否存在自然数m，使得对一切nN*恒成立？若存在，求出m的值：若不存在，说明理由2018-2019学年四川省广安市高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）tan15（）A2B2+C32
7、D3+2【分析】tan15tan（6045），展开两角差的正切求解【解答】解：tan15tan（6045）故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题2（5分）在等差数列an中，a12，a3+a510，则a7（）A5B8C10D14【分析】由题意可得a45，进而可得公差d1，可得a7a1+6d，代值计算即可【解答】解：在等差数列an中a12，a3+a510，2a4a3+a510，解得a45，公差d1，a7a1+6d2+68故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题3（5分）sin20cos40cos160sin40（）ABCsin20Dcos20【分析】直接
8、利用诱导公式及两角和的正弦求解【解答】解：sin20cos40cos160sin40sin20cos40+cos20sin40sin60故选：A【点评】本题考查两角和的正弦，考查诱导公式的应用，是基础题4（5分）已知，则zx2y的最小值为（）A2B0C2D4【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件 ，画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最小值【解答】解：满足约束条件的平面区域如图：由图得当位于点B（0，2）时，zx2y的最小值为4故选：D【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函
9、数验证，求出最优解5（5分）已知数列1，x，y，9是等差数列，数列1，a，b，c，9是等比数列，则（）ABCD【分析】由题意利用等差数列的定义和性质，求得x+y和b的值，可得要求式子的值【解答】解：数列1，x，y，9是等差数列，x+y1+910；数列1，a，b，c，9是等比数列，b2ac9，b为正值且 b3，则，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题6（5分）若cos（），则sin2（）ABCD【分析】法1：利用诱导公式化sin2cos（2），再利用二倍角的余弦可得答案法：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sin+cos的值，再平方，即得sin2的值【解答】解：法1：c
10、os（），sin2cos（2）cos2（）2cos2（）121，法2：cos（）（sin+cos），（1+sin2），sin221，故选：D【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题7（5分）若三棱锥PABC中，PAPB，PBPC，PCPA，且PA1，PB2，PC3，则该三棱锥外接球的表面积为（）AB14C28D56【分析】由已知把三棱锥补形为长方体，求得长方体的对角线长，得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解【解答】解：如图，把三棱锥PABC补形为长方体，则长方体的对角线即为该三棱锥外接球的直径设三棱锥外接球的半径为R，则（2R）
11、212+22+3214，该三棱锥外接球的表面积为4R214故选：B【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，是基础题8（5分）已知yf（x）是偶函数，且x0时f（x）x+若当x3，1时，f（x）的最大值为m，最小值为n，则mn（）A2B1C3D【分析】由题意可得f（x）在1，2递减，2，3递增，可得最小值4，最大值5，由偶函数的性质可得m，n，可得所求【解答】解：yf（x）是偶函数，且x0时f（x）x+，可得f（x）在1，3的单调性为1，2递减，2，3递增，可得f（2）取得最小值4，最大值为f（1）5，可得f（x）在3，1的最小值为4，最大值为5，即有mn541故选：B【
12、点评】本题考查函数的奇偶性和单调性，以及最值求法，考查运算能力，属于基础题9（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A12BCD16【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故，故选：C【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键10（5分）已知点A（1，2）在直线ax+by10（a0，b0）上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式m2+8m成立，则实数m的取值范围是（）A（，19，+）B（，91，+）C1，9D9，1【分析】由题意可得a+2b1，（a+2b）（），运用基本不等式
13、可得最小值9，进而得到9m2+8m，解不等式可得所求范围【解答】解：点A（1，2）在直线ax+by10（a0，b0）上，可得a+2b1，（a+2b）（）5+5+29，当且仅当ab取得等号，即最小值9，则9m2+8m，解得m1或m9故选：B【点评】本题考查基本不等式的运用，以及存在性问题解法，和一元二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题11（5分）若函数f（x）sinxcosxcos2x+（xR）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数yg（x）的图象，则函数yg（x）在区间2，4内的所有零点之和为（）ABC3D4【分析】运用正弦函数的图象变换可得g（
14、x）sinx，再由正弦函数的图象和性质，解方程可得所求和【解答】解：函数f（x）sinxcosxcos2x+sin2xcos2xsin（2x），f（x）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得ysin（x），再向左平行移动个单位长度得函数yg（x）sinx的图象，函数yg（x）在区间2，4内的所有零点，即为sinx的解之和，可得x2+arcsin，arcsin，arcsin，arcsin，2+arcsin，3arcsin，则解之和为3故选：C【点评】本题考查三角函数的图象变换，以及正弦函数的图象和性质，函数方程的转化思想，属于中档题12（5分）已知数列an满足3an+1+an4（
15、n1），且a19，其前n项之和为Sn，则满足不等式的最小正整数n是（）A6B7C8D9【分析】首先根据题意，将3an+1+an4变形为3（an+11）（an1），可得an1是等比数列，结合题意，可得其前n项和公式，进而可得|Snn6|6（）n；依题意，有|Snn6|，解可得答案【解答】解：根据题意，3an+1+an4，化简可得3（an+11）（an1）；则an1是首项为an18，公比为的等比数列，进而可得Snn（a11）+（a21）+（an1）61（）n，即|Snn6|6（）n；依题意，|Snn6|，即（）n，且nN*，分析可得满足不等式|Snn6|的最小正整数n是7故选：B【点评】本题考查数
16、列的应用，解题时注意将3an+1+an4转化为3（an+11）（an1），进而利用等比数列的相关性质进行解题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在ABC中，已知a，b3，B，则角C【分析】由已知利用正弦定理可求sinA的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求A的值，利用三角形的内角和定理可求C的值【解答】解：a，b3，B，由正弦定理，可得：sinA，ab，A为锐角，可得：A，CAB故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题14（5分）已知数列an满足a11，an+
17、1，nN*，则a20192【分析】直接根据已知求出a2，a3和a4即可发现数列是以3为周期的周期数列，进而求出a2019【解答】解：由已知得，1，所以数列an是以3为周期的周期数列，故a2019a3673a32，故答案为2【点评】本题考查数列递推公式的直接应用，难度较易15（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，P为棱B1C1上一点，则异面直线MP与CN所成角的大小为【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MP与CN所成角的大小【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建
18、立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则M（2，1，0），P（t，2，2），C（0，2，0），N（0，0，1），（t2，1，2），（0，2，1），02+20，异面直线MP与CN所成角的大小为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，是中档题16（5分）给出以下四个结论：平行于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若a，是两个平面：m，n是异面直线：且m，n，m，n，则若三棱锥ABCD中，ABCD，ACBD，则点B在平面ACD内的射影，是ACD的垂心；其中错误结论的序号为（要求填上所
19、有错误结论的序号）【分析】由平行公理可判断；由面面的位置关系可判断；由线面和面面平行的判定定理可判断；由线面垂直的判定和性质，可判断【解答】解：由平行公理4可得平行于同一直线的两条直线互相平行，正确；垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，错误；若a，是两个平面：m，n是异面直线：且m，n，m，n，由线面平行的性质定理可得过n的平面与平面交于n'，可得nn'，且n'，由面面平行的判定定理可得，正确；若三棱锥ABCD中，ABCD，ACBD，设点B在平面ACD内的射影为H，连接AH，CH，DH，由BH平面ACD，可得BHCD，CDAB，可得CD平面ABH，即CDAH，同理可
20、得ACDH，可得H是ACD的垂心，正确故答案为：【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于基础题三、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设f（x）（m+1）x2mx+m1（1）当m1时，解关于x的不等式f（x）0：（2）若关于x的不等式f（x）m0的解集为（1，2），求m的值【分析】（1）由二次不等式的解法可得所求解集；（2）由题意可得1，2为方程（m+1）x2mx10的两根，运用韦达定理，解方程可得所求值【解答】解：（1）f（x）0即2x2x0，即x（2x1）0，解得x或x0，即解
21、集为（，0）（，+）；（2）关于x的不等式f（x）m0的解集为（1，2），即为1，2为方程（m+1）x2mx10的两根，可得1+2，12，解得m【点评】本题考查二次不等式的解法，以及二次方程的韦达定理，化简运算能力，属于基础题18（12分）设Sn为等差数列an的前n项和，已知a35，S312（1）求数列an的通项公式：（2）令，且数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn【分析】（1）等差数列an的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得（），运用数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）等差数列an的公差设为d，a3
22、5，S312可得a1+2d5，3a1+3d12，解得a13，d1，可得an3+n1n+2；（2）证明：（），可得为Tn（1+）（1+）（+）【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题19（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，点M，N分別为BC，PA的中点，且PAAD2，AB1，AC（1）证明：MN平面PCD；（2）求直线MN与平面PAD所成角的余弦值【分析】（1）推导出ABAC，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN平面PCD（2）求出平面PAD的法
23、向量，利用向量法能求出直线MN与平面PAD所成角的余弦值【解答】证明：（1）底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，点M，N分別为BC，PA的中点，且PAAD2，AB1，ACAB2+AC2BC2，ABAC，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，0），M（，0），N（0，0，1），P（0，0，2），D（1，0），（，1），（0，2），（1，2），设平面PCD的法向量（x，y，z），则，取z，得（0，2，），0，MN平面PCD，MN平面PCD解：（2）（0，0，2），（1，0），设平面PAD的法向量（x，y，z），则，取x，得（，1，0
24、），设直线MN与平面PAD所成角为，则sin，cos直线MN与平面PAD所成角的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，是中档题20（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且asinBbcos（A）（1）求角A的大小；（2）若a，b+c3，求ABC的面积【分析】（1）利用两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA，结合范围A（0，），可得A的值（2）由余弦定理可得：bc，利用三角形的面积公式即可求解【解答】解：（1）asinBbcos（A）b（cos
25、A+sinA），由正弦定理可得：sinAsinBsinBcosA+sinAsinB，可得：sinAsinBsinBcosA，sinB0，sinAcosA，可得：tanA，A（0，），A（2）A，a，b+c3，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得：5b2+c2bc（b+c）23bc93bc，可得：bc，SABCbcsinA【点评】本题主要考查了两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题21（12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产
26、该款手机x（x40）万部且并全部销售完，每万部的收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部的函数关系式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润【分析】（1）当x100时，WxR（x）（400+160x），化简即可求出；（2）利用基本不等式即可求出【解答】解：（1）WxR（x）（160x+400）x（）（160x+400）74000160x40073600160x，（2）由（1）可得W73600160x736002736001600057600，当且仅当当且仅当160，即x50时取等号，所以当x50时，y取得最大值57600万元
27、【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法属于中档题22（12分）设数列an的前n项和为Sn，且Sn（1）求数列an的通项公式；（2）若，Tn为数列bn的前项和，求Tn；（3）在（2）的条件下，是否存在自然数m，使得对一切nN*恒成立？若存在，求出m的值：若不存在，说明理由【分析】（1）令n1，则S11，又S1a1，所以，当n2时，由得anSnSn1an+an1，即，利用等比数列求解即可；（2）有（1）知，所以，所以，用错位相减法求和即可；（3）由（2）知，所以数列Tn单调递增，所以，又，故，要恒成立，则，解不等式组可得解【解答】解：（1）由Sn1，令n1，则S11，又S1a1，所以，当n2时，由得anSnSn1an+an1，即，所以an是以为首项，为公比的等比数列，于是（2）有（1）知，从而（3）由（2）知，数列Tn单调递增，又，要恒成立，则，解得，又mN*，故存在符合题意的m，且m3【点评】本题考查数列的递推式，涉及等比数列的通项公式和前n项和公式，错位相减法求和等知识，属于中档题