1、2018-2019学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上1（5分）如果ab0，则下列不等式成立的是（）ABac2bc2Ca2b2Da3b32（5分）若向量，的夹角为60，且|2，|3，则|2|（）A2B14C2D83（5分）在等比数列an中，若a2，a9是方程x22x60的两根，则a4a7的值为（）A6B1C1D64（5分）已知向量（cos，sin），（2，1），且，则的值是（）A3B3CD5（5分）已知集合Ax|x2x20，Bx|logx1，则AB（）A
2、（1，2）B（1，2C（0，1）D（0，2）6（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若S9S4，则S13（）A13B7C0D17（5分）已知abc分别是ABC的内角A、B、C的对边，若cbcosA，则ABC的形状为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形8（5分）已知为锐角，角的终边过点（3，4），sin（+），则cos（）ABCD或9（5分）在ABC中，已知BAC90，AB6，若D点在斜边BC上，CD2DB，则的值为（）A48B24C12D610（5分）已知圆内接四边形ABCD各边的长度分别为AB5，BC8，CD3，DA5，则AC的长为（）A6B7C8D911（5分）九章算术中有
3、如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1参考数据：lg20.3010，lg30.4771）A2.2天B2.4天C2.6天D2.8天12（5分）在ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，且acosB+bcosA2，则ABC面积的最大值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题每小题5分，满分20分请把答案填在答案题卡上13（5分）已知两个正实数x，y满足+2，且恒有x+2ym0，则实数m的取值范
4、围是 14（5分）已知两点A（2，1）、B（1，1+）满足（sin，cos），（），则+ 15（5分）如图，O在ABC的内部，且+3，则ABC的面积与AOC的面积的比值为 16（5分）已知数列an的前n项和为Sn，满足：a22a1，且Sn+1（n2），则数列an的通项公式为 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（10分）（1）设0x，求函数yx（32x）的最大值；（2）解关于x的不等式x2（a+1）x+a018（12分）在等差数列an中，2a9a12+13，a37，其前n项和为Sn（1）求数
5、列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn，并证明Tn19（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为ABC的面积，满足S（a2+c2b2）（1）求角B的大小；（2）若边b，求a+c的取值范围20（12分）设函数f（x）2cos2xcos（2x）（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A），b+c2，求a的最小值21（12分）如图，在ABC中，cosC，角B的平分线BD交AC于点D，设CBD，其中tan1（1）求sinA的值；（2）若21，求AB的长22（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2（）求数列
6、an的通项公式；（）令，数列bn的前n项和为Tn，若不等式（n1）（Sn+2）Tnt+对任意nN*恒成立，求实数t的取值范围2018-2019学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上1（5分）如果ab0，则下列不等式成立的是（）ABac2bc2Ca2b2Da3b3【分析】根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可【解答】解：ab0，不妨令a2，b1，显然A、B、C不成立，D成立，故选：D【点评】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道
7、基础题2（5分）若向量，的夹角为60，且|2，|3，则|2|（）A2B14C2D8【分析】由已知可得|，根据数量积公式求解即可【解答】解：|故选：A【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，难度偏易3（5分）在等比数列an中，若a2，a9是方程x22x60的两根，则a4a7的值为（）A6B1C1D6【分析】由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a4a7的值【解答】解：等比数列an中，若a2，a9是方程x22x60的两根，a2a96，则a4a7a2a96，故选：D【点评】本题主要考查等比数列的性质，韦达定理，属于基础题4（5分）已知向量（cos，sin），（2，1），且，则的值是（）A3B3
8、CD【分析】由已知求得tan，然后展开两角差的正切求解【解答】解：由（cos，sin），（2，1），且，得2cossin0，即tan2故选：C【点评】本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题5（5分）已知集合Ax|x2x20，Bx|logx1，则AB（）A（1，2）B（1，2C（0，1）D（0，2）【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|x2x20x|1x2，Bx|logx1x|0x2，ABx|1x2（1，2故选：B【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若S9S4，则S13（）
9、A13B7C0D1【分析】由等差数列an的前n项和为Sn，S9S4，利用等差数列前n项和公式求出a16d，由此能求出S13的值【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，S9S4，4a1+，解得a16d，S1378d78d0故选：C【点评】本题考查等差数列的前13项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5分）已知abc分别是ABC的内角A、B、C的对边，若cbcosA，则ABC的形状为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形【分析】已知不等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到sinAcosB0，根据sinA不为0得
10、到cosB0，进而可得B为钝角，即可得解【解答】解：cbcosA，利用正弦定理化简得：sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinBsinBcosA，整理得：sinAcosB0，sinA0，cosB0B（0，），B为钝角，三角形ABC为钝角三角形故选：A【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题8（5分）已知为锐角，角的终边过点（3，4），sin（+），则cos（）ABCD或【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sin和cos，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（+）的值，再利用两角差的余弦公式求得coscos（+）
11、的值【解答】解：为锐角，角的终边过点（3，4），sin，cos，sin（+）sin，+为钝角，cos（+），则coscos（+）cos（+） cos+sin（+） sin+，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题9（5分）在ABC中，已知BAC90，AB6，若D点在斜边BC上，CD2DB，则的值为（）A48B24C12D6【分析】根据CD2DB，得到BDBC，即，然后利用平面向量的关系，利用数量积的定义进行求值即可【解答】解：CD2DB，BDBC，即，+，（+）+，BAC90，ABAC，即0，6224故选：B【点评】本题
12、主要考查数量积的应用，利用数量积的定义确定向量长度和夹角是夹角本题的关键10（5分）已知圆内接四边形ABCD各边的长度分别为AB5，BC8，CD3，DA5，则AC的长为（）A6B7C8D9【分析】分别在ABC和ACD中使用余弦定理解出AC，列方程解出cosD，得出AC【解答】解：在ABC中，由余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcosB8980cosB，在ACD中，由余弦定理得AC2CD2+AD22ADCDcosD3430cosD，8980cosB3430cosD，A+C180，cosBcosD，cosD，AC23430（）49AC7故选：B【点评】本题考查了余弦定理的应用，三角形的解法，
13、属于中档题11（5分）九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1参考数据：lg20.3010，lg30.4771）A2.2天B2.4天C2.6天D2.8天【分析】设蒲的长度组成等比数列an，其a13，公比为，其前n项和为An莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为2，其前n项和为Bn利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出【解答】解：设蒲的长度组成等比数列an，其a13，公比为
14、，其前n项和为An莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为2，其前n项和为Bn则An，Bn，由题意可得：，化为：2n+7，解得2n6，2n1（舍去）n1+2.6估计2.6日蒲、莞长度相等，故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）在ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，且acosB+bcosA2，则ABC面积的最大值为（）ABCD【分析】首先利用同角三角函数的关系式求出sinC的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果【解答】解：ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，利用同角三角函
15、数的关系式sin2C+cos2C1，解得sinC，由于acosB+bcosA2，利用余弦定理，解得c2所以c2a2+b22abcosC，整理得4，由于a2+b22ab，故，所以则，ABC面积的最大值为，故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力二、填空题：本大题共4小题每小题5分，满分20分请把答案填在答案题卡上13（5分）已知两个正实数x，y满足+2，且恒有x+2ym0，则实数m的取值范围是（，4）【分析】由x+2y（x+2y）（+）（4+），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可
16、得mx+2y的最小值【解答】解：两个正实数x，y满足+2，则x+2y（x+2y）（+）（4+）（4+2）4，当且仅当x2y2时，上式取得等号，x+2ym0，即为mx+2y，由题意可得m4故答案为：（，4）【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题14（5分）已知两点A（2，1）、B（1，1+）满足（sin，cos），（），则+0或【分析】运用向量的加减运算和特殊角的三角函数值，可得所求和【解答】解：两点A（2，1）、B（1，1+）满足（sin，cos），可得（1，）（，）（sin，cos），即为sin，cos，（），可得，则+0或故答案为：
17、0或【点评】本题考查向量的加减运算和三角方程的解法，考查运能力，属于基础题15（5分）如图，O在ABC的内部，且+3，则ABC的面积与AOC的面积的比值为5：1【分析】取AB的中点D，运用向量的中点表示和向量共线定理，结合三角形的面积公式和性质，可得所求比值【解答】解：取AB的中点D，连接OD，可得+2，由+3，即为23，可得SACDSACB，SACOSACDSACBSACB，则ABC的面积与AOC的面积的比值为5：1故答案为：5：1【点评】本题考查中点的向量表示，向量共线定理的运用，考查三角形的面积关系，考查运算能力，属于中档题16（5分）已知数列an的前n项和为Sn，满足：a22a1，且S
18、n+1（n2），则数列an的通项公式为【分析】推导出a11，a2212，当n2时，anSnSn1，即，由此利用累乘法能求出数列an的通项公式【解答】解：数列an的前n项和为Sn，满足：a22a1，且Sn+1（n2），a2S2S1a2+1a1，解得a11，a2212，解得a34，解得a46，当n2时，anSnSn1，即，n2时，22n2，数列an的通项公式为故答案为：【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n项和公式的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（10分）（1）设0x，求函数yx
19、（32x）的最大值；（2）解关于x的不等式x2（a+1）x+a0【分析】（1）由题意利用二次函数的性质，求得函数的最大值（2）不等式即即（x1）（xa）0，分类讨论求得它的解集【解答】解：（1）设0x，函数yx（32x）2，故当x时，函数取得最大值为（2）关于x的不等式x2（a+1）x+a0，即（x1）（xa）0当a1时，不等式即 （x1）20，不等式无解；当a1时，不等式的解集为x|1xa；当a1时，不等式的解集为x|ax1综上可得，当a1时，不等式的解集为，当a1时，不等式的解集为x|1xa，当a1时，不等式的解集为x|ax1【点评】本题主要考查二次函数的性质，求二次函数的最值，一元二次不
20、等式的解集，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题18（12分）在等差数列an中，2a9a12+13，a37，其前n项和为Sn（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn，并证明Tn【分析】（1）等差数列an的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，求得（），再由数列的裂项相消求和可得Tn，再由不等式的性质即可得证【解答】解：（1）等差数列an的公差设为d，2a9a12+13，a37，可得2（a1+8d）a1+11d+13，a1+2d7，解得a13，d2，则an3+2（n1）2n+1；（2）证明：Snn（3+2n+1
21、）n（n+2），（），前n项和Tn（1+）（1+）（+）【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题19（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为ABC的面积，满足S（a2+c2b2）（1）求角B的大小；（2）若边b，求a+c的取值范围【分析】（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求tanB的值，结合B的范围可求B的值（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a+csin（A+），由题意可求范围A+（，），根据正弦函数的图象和性质即可求解【解答】解：（1）在ABC中，S（a2+c2b2）acs
22、inB，cosBtanB，B（0，），B（2）B，b，由正弦定理可得1，可得：asinA，csinC，a+csinA+sinCsinA+sin（A）sinA+cosA+sinAsin（A+），A（0，），A+（，），sin（A+）（，1，a+csin（A+）（，【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数恒等变换的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）设函数f（x）2cos2xcos（2x）（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A），b+c2，求a的最小值【分析】（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的
23、余弦，把函数的关系式变形成余弦形函数，进一步求出函数的周期及最值；（2）由f（A）求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值【解答】解：（1）函数f（x）2cos2xcos（2x）1+cos2xcos（2x+）+1，1cos（2x+）1，T，f（x）的最大值为2；（2）由题意，f（A）f（A）cos（2A+）+1，即：cos（2A+），又0A，2A+，2A+，即A在ABC中，b+c2，cosA，由余弦定理，a2b2+c22bccosA（b+c）2bc，由于：bc，当bc1时，等号成立a2413，即a则a的最小值为【点评】本题考查三角函数的恒等变换，余弦形函数的性质的应用，余弦定理和基本不
24、等式的应用，是中档题21（12分）如图，在ABC中，cosC，角B的平分线BD交AC于点D，设CBD，其中tan1（1）求sinA的值；（2）若21，求AB的长【分析】（1）根据tan结合万能公式，求出ABC，进而可求出sinA；（2）根据正弦定理求出AC，BC的关系，利用向量的数量积公式求出AC，可得BC，正弦定理可得答案【解答】解：（1）由CBD，且tan1，所以（0，），所以cosABC，则sinABC，由cosC，得：sinC，sinAsin（ABC+C）sin（ABC+C）（2）由正弦定理，得，即BCAC；又 AC221，AC5，ABAC4【点评】本题考查了二倍角公式和正弦定理的灵活
25、运用和计算能力，是中档题22（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2（）求数列an的通项公式；（）令，数列bn的前n项和为Tn，若不等式（n1）（Sn+2）Tnt+对任意nN*恒成立，求实数t的取值范围【分析】（I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出（II）由（）得，利用错位相减法可得Tn代入不等式（n1）（Sn+2）Tnt+，利用函数的单调性即可得出【解答】解：（）当n1时，a12a12，解得a12；当n2时，anSnSn12an2（2an12）2an2an1，an2an1，故数列an是以a12为首项，2为公比的等比数列，故（）由（）得，Tnb1+b2+bn（2+222+323+n2n）（1+2+n）令，则，两式相减得，故Tnb1+b2+bn，又由（）得，不等式即为（n1）2n+1（n1）2n+12+，即为对任意nN*恒成立设，则，nN*，故实数t的取值范围是【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题