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2018-2019学年四川省宜宾市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年四川省宜宾市高一(下)期末数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合A3,2,1,Bx|x2+x20,则ARB()A3,2,1B2,1C3D12(5分)若ab0,则下列不等式不一定成立的是()ABCa2b2Da3b33(5分)在等比数列an中,a2,a10是方程x25x+30的两根,则log3a6()A1BCD14(5分)若实数x,y满足,则zx+2y的最大值为()A5B3C5D75(5分)在ABC中,已知sinA:sinB:sinC5:7:8,则B的大小为()ABCD6(5分)在三棱锥PA

2、BC中,PA平面ABC,且PAACBC,则异面直线AB与PC所成角的正切值为()AB1CD7(5分)非零向量,满足:|,()0,则与夹角的大小为()ABCD8(5分)已知三个不同的平面,和两条不同的直线m,n,则下列结论正确的是()A若m,n,则mnB若,则C若m,n,则D若m,n,则mn9(5分)四边形ABCD是边长为1的正方形,延长CD至E,使得,若点F为线段BC上的动点,则的最小值为()ABCD210(5分)在各项均为正数的等差数列an中,Sn为其前n项和,S714,则的最小值为()A9BCD211(5分)在三棱锥SABC中,SA平面ABC,M是线段BC上的动点,记直线SM与平面ABC所

3、成角为,若tan的最大值为,则三棱锥SABC外接球的表面积为()A2B4C8D1612(5分)ABC中,则当AC最短时,BC等于()ABCD二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分13(5分)已知向量(1,1),(1,2),若()(3+t),则实数t   14(5分)某几何体的三视图如图所示,俯视图中的正方形的边长为2,该几何体棱长的最大值为4,则该几何体的体积为   15(5分)一艘海轮从港口A处出发,沿北偏东75的方向航行56nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15的方向航行64nmile后到达海岛C,则港口A与海岛C间的距离为   nmi

4、le16(5分)数列an满足,若a6+a202m,则实数m   三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量与向量互相垂直(1)求角B;(2)若a3,c6,且,求BD的长18(12分)已知各项均为正数的等比数列an满足:,且3a3是a4,a5的等差中项(1)求an;(2)若,求数列bn的前n项和Tn19(12分)如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,且DAB60,平面PAD平面ABCD,PAPDAD3,E,F分别在棱PD,AB上,且PE2ED,AF2BF(1)求证:AE平面PFC;(2)求

5、三棱锥BPFC的体积20(12分)如图,ABC中,AC2,D是边BC上一点(1)若,BD2,求C;(2)若BD3CD,求ACD面积的最大值21(12分)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,ADBC,ADAA12,ADCD,CDCB,直线BD1与平面ABCD所成角的正切值为,点F为棱DD1上的动点(1)求证:BCCF;(2)当CF平面B1C1F时,确定点F的位置并求点D到平面B1CF的距离22(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且,其中a11(1)求a2及数列an的通项公式;(2)若,m为整数,且对任意的nN*,恒成立,求m的最小值2018-2019学年四川省宜宾市高一

6、(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合A3,2,1,Bx|x2+x20,则ARB()A3,2,1B2,1C3D1【分析】可以求出集合B,然后进行补集、交集的运算即可【解答】解:Bx|x2,或x1;RBx|2x1;ARB2,1故选:B【点评】考查列举法、描述法表示集合的定义,一元二次不等式的解法,以及补集、交集的运算2(5分)若ab0,则下列不等式不一定成立的是()ABCa2b2Da3b3【分析】由ab0,取a2,b1,利用排除法可得答案【解答】解ab0,取a2,b1,则此时A不成立

7、故选:A【点评】本题考查了不等式的基本性质,属基础题3(5分)在等比数列an中,a2,a10是方程x25x+30的两根,则log3a6()A1BCD1【分析】由已知条件可得a2a103,求出a6的值,由此能求出log3a6的值【解答】解:在等比数列an中,a2,a10是方程x25x+30的两根,由韦达定理和等比数列的等比中项的性质可得a2+a105,a2a103,a2,a10均为正,故a60,即a6log3a6log3故选:B【点评】本题考查了等比数列的等比中项的性质,考查了二次方程根与系数的关系属于基础题4(5分)若实数x,y满足,则zx+2y的最大值为()A5B3C5D7【分析】画可行域z

8、为目标函数纵截距画直线0x+2y,平移直线过(2,3)时z有最大值【解答】解:画可行域如图,z为目标函数zx+2y,可看成是直线zx+2y的纵截距,画直线0x+2y,平移直线过A(1,4)点时z有最大值7zx+2y的最大值为:7故选:D【点评】本题考查线性规划问题,难度较小目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解5(5分)在ABC中,已知sinA:sinB:sinC5:7:8,则B的大小为()ABCD【分析】利用正弦定理求出a、b、c的比值,然后利用余弦定理求解即可【解答】解:在ABC中,已知sinA:sinB:sinC5:7:8,a:b

9、:c5:7:8不妨设a5t,b7t,c8t,由余弦定理可得:49t225t2+64t225t8tcosB,cosBB故选:B【点评】本题主要考查余弦定理以及正弦定理的应用,求出cosB,是解题的关键,基本知识的考查6(5分)在三棱锥PABC中,PA平面ABC,且PAACBC,则异面直线AB与PC所成角的正切值为()AB1CD【分析】由平面向量的线性运算及异面直线所成的角得:cos,即,所以异面直线AB与PC所成角的正切值为tan,得解【解答】解:设PAACBCa,则()acos()a2,则cos,即,所以异面直线AB与PC所成角的正切值为tan,故选:D【点评】本题考查了平面向量的线性运算及异

10、面直线所成的角,属中档题7(5分)非零向量,满足:|,()0,则与夹角的大小为()ABCD【分析】令,可得OAAB,OAAB即可得与夹角的大小【解答】解:如图,令,|,()0,OAAB,OAABBOAOBA45则与夹角的大小为1350 故选:A【点评】本题考查了向量的运算及性质,属于中档题8(5分)已知三个不同的平面,和两条不同的直线m,n,则下列结论正确的是()A若m,n,则mnB若,则C若m,n,则D若m,n,则mn【分析】在A中,m与n平行或异面;在B中,与相交或平行;在C中,与相交或平行;在D中,由线面垂直的性质定理得mn【解答】解:由三个不同的平面,和两条不同的直线m,n,知:在A中

11、,若m,n,则m与n平行或异面,故A错误;在B中,若,则与相交或平行,故B错误;在C中,若m,n,则与相交或平行,故C错误;在D中,若m,n,则由线面垂直的性质定理得mn,故D正确故选:D【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题9(5分)四边形ABCD是边长为1的正方形,延长CD至E,使得,若点F为线段BC上的动点,则的最小值为()ABCD2【分析】建立平面直角坐标系,利用坐标求向量数量积【解答】解:如图建立平面直角坐标系,则E(1,1),F(1,y),(0y1),2+y(y1)y2y+2(y)2+,当y时,则取得最小值故选:

12、C【点评】本题考查了向量的坐标运算,属于中档题10(5分)在各项均为正数的等差数列an中,Sn为其前n项和,S714,则的最小值为()A9BCD2【分析】由已知可求得a1+a74,由等差数列性质可得a2+a64,对t进行变形,利用基本不等式可求最值【解答】解:由已知,得,即a1+a74,所以a2+a64,因为a20,a60,所以(a2+a6)(5+)当且仅当且S714,即a11,时,取得“”,此时t有最小值故选:B【点评】此题考查等差数列和基本不等式相关知识,属容易题11(5分)在三棱锥SABC中,SA平面ABC,M是线段BC上的动点,记直线SM与平面ABC所成角为,若tan的最大值为,则三棱

13、锥SABC外接球的表面积为()A2B4C8D16【分析】根据题意画出图形,结合图形找出ABC的外接圆圆心与三棱锥SABC外接球的球心,求出外接球的半径,再计算它的表面积【解答】解:三棱锥SABC中,SA平面ABC,直线SM与平面ABC所成角为,如图所示;则sin,由tan的最大值为,得sin的最大值是,解得SM,即SM的最小值为,AM的最小值是,即A到BC的距离为,由AMBC,AB1,AM,得BM,CM,AC,则BAC90取ABC的外接圆圆心为O,作OOSA,OA1;取Q为SA的中点,OQOA1,SQ1,由勾股定理得ROS,三棱锥SABC的外接球的表面积是S4R24故选:C【点评】本题考查了几

14、何体外接球的应用问题,解题的关键求外接球的半径,是中档题,是中档题12(5分)ABC中,则当AC最短时,BC等于()ABCD【分析】设A,B,C所对的边a,b,c,则根据余弦定理可得a2+b2c22abcosC,将cb代得到关于a,b的方程,然后由b利用基本不等式求出b的最小值,从而得到a的值【解答】解:设A,B,C所对的边a,b,c,则根据余弦定理可得a2+b2c22abcosC,将cb代入上式,可得,化简可得b,当且仅当,即a时取等号,当b最短时,a,即当AC最短时,BC故选:A【点评】本题考查了余弦定理的应用和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和计算能力,属中档题二、填空题:本大题共4

15、个小题,每小题5分,共20分13(5分)已知向量(1,1),(1,2),若()(3+t),则实数t3【分析】可求出,根据即可得出2(2t+3)+3t0,解出t即可【解答】解:,;2(2t+3)+3t0;解得t3故答案为:3【点评】考查向量坐标的加法、减法和数乘运算,以及平行向量的坐标关系14(5分)某几何体的三视图如图所示,俯视图中的正方形的边长为2,该几何体棱长的最大值为4,则该几何体的体积为【分析】画出几何体的直观图,利用已知条件求出棱锥的高,然后求解体积即可【解答】解:几何体的直观图如图:所以PC4,所以PA2,所以几何体的体积为:故答案为:【点评】本题考查的知识点是三视图求解棱锥和棱柱

16、的体积,判断棱长是解题的关键,难度中档15(5分)一艘海轮从港口A处出发,沿北偏东75的方向航行56nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15的方向航行64nmile后到达海岛C,则港口A与海岛C间的距离为104nmile【分析】由题意,结合图形知,在ABC中,ABC120,AB56,BC64,故可由余弦定理求出边AC的长度【解答】解:由题意,在ABC中,ABC18075+15120,AB56,BC64,根据余弦定理得,AC2AB2+BC22ABBCcosABC10816,AC104,港口A与海岛C间的距离为104nmile故答案为:104【点评】本题是解三角形在实际问题中的应用,考查

17、了余弦定理和方位角等知识,属基础题16(5分)数列an满足,若a6+a202m,则实数m1【分析】由已知可得当n为偶数时,an+1an+2n1,an+2an+1+2n+1,即an+2+an2,进而可得答案【解答】解:数列an满足,当n为偶数时,an+1an+2n1,an+2an+1+2n+1,故an+2+an2,则a6a10a14a18,a6+a20a18+a202m2,m1,故答案为:1【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式,根据已知得到an+2+an2,是解答的关键三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向

18、量与向量互相垂直(1)求角B;(2)若a3,c6,且,求BD的长【分析】(1)根据即可得出,从而得出(c2a)cosB+bcosC0,根据正弦定理即可得出sinCcosB2sinAcosB+sinBcosC0,从而得出sinA2sinAcosB0,进而求出,根据B的范围即可求出;(2)可画出图形,根据条件知道,且,而根据即可求出,进行数量积的运算即可求出,从而求出【解答】解:(1);根据正弦定理,a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;sinCcosB2sinAcosB+sinBcosC(sinCcosB+cosCsinB)2sinAcosBsin(B+C)2sinAcosBsinA2

19、sinAcosB0;0B;(2)如图,根据题意,且;【点评】考查向量垂直的充要条件,向量坐标的数量积运算,向量数量积的运算及计算公式,向量的数乘运算,以及正弦定理,两角和的正弦公式18(12分)已知各项均为正数的等比数列an满足:,且3a3是a4,a5的等差中项(1)求an;(2)若,求数列bn的前n项和Tn【分析】(1)设an的公比为q(q0)由6a3a4+a5解得q,又求得a1,即可求解(2)由,求得bn在分组求和求得Tn【解答】解:(1)设an的公比为q(q0)由6a3a4+a5,即q2+q60解得,q2或q3(舍)又,即a1a2a12q2a128a12,nN+(2),nN+Tn(2+2

20、2+2n)+(1+2+n)+2n+1+【点评】本题考查了等比数列的通项、求和,属于中档题19(12分)如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,且DAB60,平面PAD平面ABCD,PAPDAD3,E,F分别在棱PD,AB上,且PE2ED,AF2BF(1)求证:AE平面PFC;(2)求三棱锥BPFC的体积【分析】(1)在PC上取点H,使得PH2HC,连EH,HF,说明AEHF是平行四边形,得到AEHF,然后证明AE平面PFC(2)通过VBPFCVPFBC,取AD中点M连AM,转化求解几何体的底面面积与高,即可得到几何体的体积【解答】解:(1)证明:在PC上取点H,使得PH2HC,连E

21、H,HF,为平行四边形,AEHF,AE平面PFC,HF平面PFC,AE平面PFC(2)VBPFCVPFBC,取AD中点M连PM,PAPD,PMAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,【点评】本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判断定理的应用,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力20(12分)如图,ABC中,AC2,D是边BC上一点(1)若,BD2,求C;(2)若BD3CD,求ACD面积的最大值【分析】(1)在ADC中,应用正弦定理即可得出答案;(2)从面积公式入手,将面积的最大值问题转移到边的上面,然后通过已知条件,应用余弦定理找出边的关系【解答】解:(1)

22、B,BD2,ABD是等腰直角三角形,AD在ADC中,由正弦定理得:又,C(2)在ABC中,由余弦定理得:AC2AB2+BC22ABBCcosB,即,BD3CD,当且仅当时,取“”所以AC面积的最大值为【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,以及面积的运算21(12分)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,ADBC,ADAA12,ADCD,CDCB,直线BD1与平面ABCD所成角的正切值为,点F为棱DD1上的动点(1)求证:BCCF;(2)当CF平面B1C1F时,确定点F的位置并求点D到平面B1CF的距离【分析】(1)只需证明BCCDD1C1,即可得BCCF(2)连BD

23、,BD1,可得CFC1F,设FDx,则,在利用等体积法求距离【解答】解:(1)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DD1ABCD,DD1BC,BCDC,且DD1DCD,BCCDD1C1,又CFCDD1C1,BCCF(2)设点到平面B1CF的距离为点d,连BD,BD1,由题可知直线BD1与平面ABCD所成角为DBD1,BCCD1,BCCF,BCB1CB1C1CF,要使CF平面B1C1F只需CFC1F,设FDx,则,F为DD1中点,【点评】本题考查了空间线线垂直的判定,考查了等体积法求距离,属于中档题22(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且,其中a11(1)求a2及数列an的通项公式;(2)若,m为整数,且对任意的nN*,恒成立,求m的最小值【分析】(1)根据已知构造新数列,从而求得an的通项公式(2)利用放缩法求得,即,再根据恒成立问题求解即可【解答】解:(I)a22(1分)n2,2Sn1(n1)an,2annan+1(n1)an,(n+1)annan+1,又为常数数列,ann(nN*)(5分)(II),m4(6分)当n2时,  (8分)(10分)故,当m5时,对任意的nN*,都有,所以,整数m的最小值为5(12分)【点评】本题考查数列递推式和数列求和,以及利用放缩法确定数列之和的范围,难度较难