1、2018-2019学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A3，2，1，Bx|x2+x20，则ARB（）A3，2，1B2，1C3D12（5分）若ab0，则下列不等式不一定成立的是（）ABCa2b2Da3b33（5分）在等比数列an中，a2，a10是方程x25x+30的两根，则log3a6（）A1BCD14（5分）若实数x，y满足，则zx+2y的最大值为（）A5B3C5D75（5分）在ABC中，已知sinA：sinB：sinC5：7：8，则B的大小为（）ABCD6（5分）在三棱锥PA
2、BC中，PA平面ABC，且PAACBC，则异面直线AB与PC所成角的正切值为（）AB1CD7（5分）非零向量，满足：|，（）0，则与夹角的大小为（）ABCD8（5分）已知三个不同的平面，和两条不同的直线m，n，则下列结论正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，n，则D若m，n，则mn9（5分）四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC上的动点，则的最小值为（）ABCD210（5分）在各项均为正数的等差数列an中，Sn为其前n项和，S714，则的最小值为（）A9BCD211（5分）在三棱锥SABC中，SA平面ABC，M是线段BC上的动点，记直线SM与平面ABC所
3、成角为，若tan的最大值为，则三棱锥SABC外接球的表面积为（）A2B4C8D1612（5分）ABC中，则当AC最短时，BC等于（）ABCD二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量（1，1），（1，2），若（）（3+t），则实数t 14（5分）某几何体的三视图如图所示，俯视图中的正方形的边长为2，该几何体棱长的最大值为4，则该几何体的体积为 15（5分）一艘海轮从港口A处出发，沿北偏东75的方向航行56nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15的方向航行64nmile后到达海岛C，则港口A与海岛C间的距离为 nmi
4、le16（5分）数列an满足，若a6+a202m，则实数m 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量互相垂直（1）求角B；（2）若a3，c6，且，求BD的长18（12分）已知各项均为正数的等比数列an满足：，且3a3是a4，a5的等差中项（1）求an；（2）若，求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且DAB60，平面PAD平面ABCD，PAPDAD3，E，F分别在棱PD，AB上，且PE2ED，AF2BF（1）求证：AE平面PFC；（2）求
5、三棱锥BPFC的体积20（12分）如图，ABC中，AC2，D是边BC上一点（1）若，BD2，求C；（2）若BD3CD，求ACD面积的最大值21（12分）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，ADBC，ADAA12，ADCD，CDCB，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值为，点F为棱DD1上的动点（1）求证：BCCF；（2）当CF平面B1C1F时，确定点F的位置并求点D到平面B1CF的距离22（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且，其中a11（1）求a2及数列an的通项公式；（2）若，m为整数，且对任意的nN*，恒成立，求m的最小值2018-2019学年四川省宜宾市高一
6、（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A3，2，1，Bx|x2+x20，则ARB（）A3，2，1B2，1C3D1【分析】可以求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：Bx|x2，或x1；RBx|2x1；ARB2，1故选：B【点评】考查列举法、描述法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及补集、交集的运算2（5分）若ab0，则下列不等式不一定成立的是（）ABCa2b2Da3b3【分析】由ab0，取a2，b1，利用排除法可得答案【解答】解ab0，取a2，b1，则此时A不成立
7、故选：A【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题3（5分）在等比数列an中，a2，a10是方程x25x+30的两根，则log3a6（）A1BCD1【分析】由已知条件可得a2a103，求出a6的值，由此能求出log3a6的值【解答】解：在等比数列an中，a2，a10是方程x25x+30的两根，由韦达定理和等比数列的等比中项的性质可得a2+a105，a2a103，a2，a10均为正，故a60，即a6log3a6log3故选：B【点评】本题考查了等比数列的等比中项的性质，考查了二次方程根与系数的关系属于基础题4（5分）若实数x，y满足，则zx+2y的最大值为（）A5B3C5D7【分析】画可行域z
8、为目标函数纵截距画直线0x+2y，平移直线过（2，3）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数zx+2y，可看成是直线zx+2y的纵截距，画直线0x+2y，平移直线过A（1，4）点时z有最大值7zx+2y的最大值为：7故选：D【点评】本题考查线性规划问题，难度较小目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解5（5分）在ABC中，已知sinA：sinB：sinC5：7：8，则B的大小为（）ABCD【分析】利用正弦定理求出a、b、c的比值，然后利用余弦定理求解即可【解答】解：在ABC中，已知sinA：sinB：sinC5：7：8，a：b
9、：c5：7：8不妨设a5t，b7t，c8t，由余弦定理可得：49t225t2+64t225t8tcosB，cosBB故选：B【点评】本题主要考查余弦定理以及正弦定理的应用，求出cosB，是解题的关键，基本知识的考查6（5分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，且PAACBC，则异面直线AB与PC所成角的正切值为（）AB1CD【分析】由平面向量的线性运算及异面直线所成的角得：cos，即，所以异面直线AB与PC所成角的正切值为tan，得解【解答】解：设PAACBCa，则（）acos（）a2，则cos，即，所以异面直线AB与PC所成角的正切值为tan，故选：D【点评】本题考查了平面向量的线性运算及异
10、面直线所成的角，属中档题7（5分）非零向量，满足：|，（）0，则与夹角的大小为（）ABCD【分析】令，可得OAAB，OAAB即可得与夹角的大小【解答】解：如图，令，|，（）0，OAAB，OAABBOAOBA45则与夹角的大小为1350 故选：A【点评】本题考查了向量的运算及性质，属于中档题8（5分）已知三个不同的平面，和两条不同的直线m，n，则下列结论正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，n，则D若m，n，则mn【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，由线面垂直的性质定理得mn【解答】解：由三个不同的平面，和两条不同的直线m，n，知：在A中
11、，若m，n，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若，则与相交或平行，故B错误；在C中，若m，n，则与相交或平行，故C错误；在D中，若m，n，则由线面垂直的性质定理得mn，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9（5分）四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC上的动点，则的最小值为（）ABCD2【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标求向量数量积【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则E（1，1），F（1，y），（0y1），2+y（y1）y2y+2（y）2+，当y时，则取得最小值故选：
12、C【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题10（5分）在各项均为正数的等差数列an中，Sn为其前n项和，S714，则的最小值为（）A9BCD2【分析】由已知可求得a1+a74，由等差数列性质可得a2+a64，对t进行变形，利用基本不等式可求最值【解答】解：由已知，得，即a1+a74，所以a2+a64，因为a20，a60，所以（a2+a6）（5+）当且仅当且S714，即a11，时，取得“”，此时t有最小值故选：B【点评】此题考查等差数列和基本不等式相关知识，属容易题11（5分）在三棱锥SABC中，SA平面ABC，M是线段BC上的动点，记直线SM与平面ABC所成角为，若tan的最大值为，则三棱
13、锥SABC外接球的表面积为（）A2B4C8D16【分析】根据题意画出图形，结合图形找出ABC的外接圆圆心与三棱锥SABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积【解答】解：三棱锥SABC中，SA平面ABC，直线SM与平面ABC所成角为，如图所示；则sin，由tan的最大值为，得sin的最大值是，解得SM，即SM的最小值为，AM的最小值是，即A到BC的距离为，由AMBC，AB1，AM，得BM，CM，AC，则BAC90取ABC的外接圆圆心为O，作OOSA，OA1；取Q为SA的中点，OQOA1，SQ1，由勾股定理得ROS，三棱锥SABC的外接球的表面积是S4R24故选：C【点评】本题考查了几
14、何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，是中档题，是中档题12（5分）ABC中，则当AC最短时，BC等于（）ABCD【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2c22abcosC，将cb代得到关于a，b的方程，然后由b利用基本不等式求出b的最小值，从而得到a的值【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2c22abcosC，将cb代入上式，可得，化简可得b，当且仅当，即a时取等号，当b最短时，a，即当AC最短时，BC故选：A【点评】本题考查了余弦定理的应用和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题二、填空题：本大题共4
15、个小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量（1，1），（1，2），若（）（3+t），则实数t3【分析】可求出，根据即可得出2（2t+3）+3t0，解出t即可【解答】解：，；2（2t+3）+3t0；解得t3故答案为：3【点评】考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系14（5分）某几何体的三视图如图所示，俯视图中的正方形的边长为2，该几何体棱长的最大值为4，则该几何体的体积为【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件求出棱锥的高，然后求解体积即可【解答】解：几何体的直观图如图：所以PC4，所以PA2，所以几何体的体积为：故答案为：【点评】本题考查的知识点是三视图求解棱锥和棱柱
16、的体积，判断棱长是解题的关键，难度中档15（5分）一艘海轮从港口A处出发，沿北偏东75的方向航行56nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15的方向航行64nmile后到达海岛C，则港口A与海岛C间的距离为104nmile【分析】由题意，结合图形知，在ABC中，ABC120，AB56，BC64，故可由余弦定理求出边AC的长度【解答】解：由题意，在ABC中，ABC18075+15120，AB56，BC64，根据余弦定理得，AC2AB2+BC22ABBCcosABC10816，AC104，港口A与海岛C间的距离为104nmile故答案为：104【点评】本题是解三角形在实际问题中的应用，考查
17、了余弦定理和方位角等知识，属基础题16（5分）数列an满足，若a6+a202m，则实数m1【分析】由已知可得当n为偶数时，an+1an+2n1，an+2an+1+2n+1，即an+2+an2，进而可得答案【解答】解：数列an满足，当n为偶数时，an+1an+2n1，an+2an+1+2n+1，故an+2+an2，则a6a10a14a18，a6+a20a18+a202m2，m1，故答案为：1【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式，根据已知得到an+2+an2，是解答的关键三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向
18、量与向量互相垂直（1）求角B；（2）若a3，c6，且，求BD的长【分析】（1）根据即可得出，从而得出（c2a）cosB+bcosC0，根据正弦定理即可得出sinCcosB2sinAcosB+sinBcosC0，从而得出sinA2sinAcosB0，进而求出，根据B的范围即可求出；（2）可画出图形，根据条件知道，且，而根据即可求出，进行数量积的运算即可求出，从而求出【解答】解：（1）；根据正弦定理，a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sinCcosB2sinAcosB+sinBcosC（sinCcosB+cosCsinB）2sinAcosBsin（B+C）2sinAcosBsinA2
19、sinAcosB0；0B；（2）如图，根据题意，且；【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，向量数量积的运算及计算公式，向量的数乘运算，以及正弦定理，两角和的正弦公式18（12分）已知各项均为正数的等比数列an满足：，且3a3是a4，a5的等差中项（1）求an；（2）若，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）设an的公比为q（q0）由6a3a4+a5解得q，又求得a1，即可求解（2）由，求得bn在分组求和求得Tn【解答】解：（1）设an的公比为q（q0）由6a3a4+a5，即q2+q60解得，q2或q3（舍）又，即a1a2a12q2a128a12，nN+（2），nN+Tn（2+2
20、2+2n）+（1+2+n）+2n+1+【点评】本题考查了等比数列的通项、求和，属于中档题19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且DAB60，平面PAD平面ABCD，PAPDAD3，E，F分别在棱PD，AB上，且PE2ED，AF2BF（1）求证：AE平面PFC；（2）求三棱锥BPFC的体积【分析】（1）在PC上取点H，使得PH2HC，连EH，HF，说明AEHF是平行四边形，得到AEHF，然后证明AE平面PFC（2）通过VBPFCVPFBC，取AD中点M连AM，转化求解几何体的底面面积与高，即可得到几何体的体积【解答】解：（1）证明：在PC上取点H，使得PH2HC，连E
21、H，HF，为平行四边形，AEHF，AE平面PFC，HF平面PFC，AE平面PFC（2）VBPFCVPFBC，取AD中点M连PM，PAPD，PMAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，【点评】本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）如图，ABC中，AC2，D是边BC上一点（1）若，BD2，求C；（2）若BD3CD，求ACD面积的最大值【分析】（1）在ADC中，应用正弦定理即可得出答案；（2）从面积公式入手，将面积的最大值问题转移到边的上面，然后通过已知条件，应用余弦定理找出边的关系【解答】解：（1）
22、B，BD2，ABD是等腰直角三角形，AD在ADC中，由正弦定理得：又，C（2）在ABC中，由余弦定理得：AC2AB2+BC22ABBCcosB，即，BD3CD，当且仅当时，取“”所以AC面积的最大值为【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及面积的运算21（12分）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，ADBC，ADAA12，ADCD，CDCB，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值为，点F为棱DD1上的动点（1）求证：BCCF；（2）当CF平面B1C1F时，确定点F的位置并求点D到平面B1CF的距离【分析】（1）只需证明BCCDD1C1，即可得BCCF（2）连BD
23、，BD1，可得CFC1F，设FDx，则，在利用等体积法求距离【解答】解：（1）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DD1ABCD，DD1BC，BCDC，且DD1DCD，BCCDD1C1，又CFCDD1C1，BCCF（2）设点到平面B1CF的距离为点d，连BD，BD1，由题可知直线BD1与平面ABCD所成角为DBD1，BCCD1，BCCF，BCB1CB1C1CF，要使CF平面B1C1F只需CFC1F，设FDx，则，F为DD1中点，【点评】本题考查了空间线线垂直的判定，考查了等体积法求距离，属于中档题22（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且，其中a11（1）求a2及数列an的通项公式；（2）若，m为整数，且对任意的nN*，恒成立，求m的最小值【分析】（1）根据已知构造新数列，从而求得an的通项公式（2）利用放缩法求得，即，再根据恒成立问题求解即可【解答】解：（I）a22（1分）n2，2Sn1（n1）an，2annan+1（n1）an，（n+1）annan+1，又为常数数列，ann（nN*）（5分）（II），m4（6分）当n2时， （8分）（10分）故，当m5时，对任意的nN*，都有，所以，整数m的最小值为5（12分）【点评】本题考查数列递推式和数列求和，以及利用放缩法确定数列之和的范围，难度较难